第7讲 勾股定理、实数综合复习-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

第7讲 勾股定理、实数综合复习 教学目标：掌握勾股定理、勾股定理逆定理内容与应用、实数的概念、分类与运算 教学重点：勾股定理、勾股定理逆定理的应用、二次根式 教学难点：勾股定理、勾股定理逆定理的应用、二次根式 考点一： 平方根、立方根与算术平方根 平 方 根 立 方 根 定 义 如果一个数的平方等于，那么，这个数就叫做的 。即：若时，则称为的平方根，记作 ，其中是被 ，根指数是 . 如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的 （也称作的三次方根）。即：若，则称为的立方根，记作 ，其中是 ，根指数是 . 性 质 1. 一个正数有 个平方根，它们互为 ， 1. 正数有 个正的立方根 2. 0的平方根是 ， 2. 0的立方根是 ， 3. 负数 平方根 3. 负数 负的立方根 开平方与平方互为逆运算 开立方与立方互为逆运算 n 次 方 根 偶数次方根与平方根性质相同 奇数次方根与立方根性质相同 算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作；0的算术平方根是0。 算术平方根的双重非负性：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，≥0。 注意：关于、、 ①表示非负数的算术平方根，其结果也是非负数；②若，则=；③而总有意义，且当时，=；当时，=，即 例1：（1） 若x﹣3是4的平方根，则x的值为（　　） A．2 B．±2 C．1或5 D．16 2. 已知2a﹣1的平方根是±3，则a= ． 3.已知：x满足（x﹣1）=9，根据平方根的意义可求得x= ． 4.的平方根是__________。 5.下列说法中正确的是（ ） A.－4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.的立方根是 D.－5的立方根是 变式练习1：下列说法中，正确的是（ ）[来源:学&科&网Z&X&X&K] A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 例2、已知一个数的平方根是3a+1和a+11，这个数是 ． 变式练习2：已知2a﹣1的平方根是±，3a﹣2b﹣1的平方根是±3． 求：5a﹣3b的平方根． 例3.一个数的算术平方根与这个数的立方根的和为0，则这个数是（　　） A．﹣1 B．±1 C．0 D．不存在 变式练习3： 1、已知，则的算术平方根是 。 2、的立方根是 ；若，则= ；若，则= 。 例4、解方程 (1) （2） (3) （4） 变式练习4：（1） （2） （3） (4)来源0 考点二：无理数与实数相关概念与分类 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。如π=3.1415926…，，－1.010010001…，都是无理数。 注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； ③凡是整数开方开不尽的都是无理数，如、等。 2．实数：有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。 实数的分类： 例5：（1）下列实数中：无理数的个数是（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 变式练习5：（1）有九个实数：0，，，0.60660666066660…，，， ，，，其中，无理数的个数为a，整数的个数为b，非正整数的个数为c，则a＋b＋c＝ 。 （2）把下列各数填在相应的集合内： 100，﹣0.82，﹣30，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1，，﹣，2.010010001…， 正分数集合：{　 　 …} 整数集合：{　 　…} 负有理数集合：{　 　 …} 非正整数集合；{　 　…} 无理数集合：{　 　 …}． 考点三：二次根式 ①二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 ②最简二次根式：必须同时满足下列条件： （1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根式。 ③同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 ④常见公式：，，， ，，， 例6. 下列各式无意义的是（ ） A． － B． C． D． 2.把x根号外的因数移到根号内，结果是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 变式练习6： 1、若有意义，则a能取的最小整数为____．：若有意义，则x范围是________． 2、若有意义，则x范围是________；使式子有意义的x的取值范围是 。 3、已知｜x－4｜+=0，那么x=________，y=________ 例7.已知a、b两数表示点A、B在数轴上的位置，请化简： 变式练习7：已知、、在数轴上的位置如图所示，且，化简 例8： （2） 变式练习8： 、 、 、 、 考点四：勾股定理与勾股定理的逆定理及应用 直角三角形两锐角________． 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么________． 即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 1． 用面积法证明勾股定理： （1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。 （Ⅰ）。(Ⅱ) 。 ∴ ∴. 2.勾股定理各种表达式：在中，，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. 则，，。 3．勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）利用勾股定理解决实际问题。 （3）用于证明平方关系的问题。 （二）勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是________． 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。 即：在△ABC中，若，则△ABC为Rt△。 1.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数． 2．如何判定一个三角形是否是直角三角形。 ①首先求出最大边（如c）； ②验证与是否具有相等关系。 若，则△ABC是以∠C＝90°的直角三角形； 若，则三角形是________； 若，则三角形是________． 例9：直角三角形三边关系 已知直角三角形的两边长分别为7、9，则第三边长为_________ _． 变式练习9：1．在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，则BC的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．无法确定 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（　　） A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1 3．在△ABC中，已知AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为（　　） A．14 B．42 C．32 D．42或32 例10：判断直角三角形 4△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6 变式练习10：在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是 （　　） A．a=2 b=3 c=4 B．a=6 b=8 c=10 C．a=3 b=4 c=5 D．a=1 b= c=2 例11：翻折问题 如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长. 变式练习11：如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm．求EC的长。 例12：勾股定理与面积的综合应用 如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式练习12：如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（　　） A．86 B．64 C．54 D．48 例13：关于勾股定理在实际中的应用 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h） 变式练习13：如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响． （1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由． （2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？ 课后作业 一．选择题（共8小题） 1．下列说法错误的有（　　） ①无限小数是无理数；②无理数都是带根号的数； ③只有正数才有平方根；④3的平方根是；⑤﹣2是（﹣2）2的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下面的等式总能成立的是（　　） A．=a B．a=a2 C．•= D．=• 3．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且X≠1 4．若a＜0，b＞0，则化简的结果为（　　） A．ab B．﹣ab C．ab D．ab2 5．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 6．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a=1.5 b=2 c=2.5 B．a：b：c=5：12：13 C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 7．下列四组数：①3、4、5；②、、；③0.3、0.4、0.5；④、、，其中是勾股数的有（　　） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 8．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 9．如图所示，一个圆柱高为8cm，底面圆的半径为5cm，则从圆柱左下角A点出发．沿圆柱体表面到右上角B点的最短路程为（　　） A． B． C． D．以上都不对 二．填空题（共5小题） 10．已知x＜0，化简二次根式的结果是　 　． 11．在实数﹣π，﹣，，0.333333333…，，0，1.732，2.010010001…中，无理数有　 　个． 12．如果的整数部分是m，小数部分是n，则m+=　 　． 13．已知，则的算术平方根为　 　． 14．一个直角三角形两边长的比为3和4，那么它的另一边长是　 　cm． 三．解答题（共4小题） 15． 已知x=﹣1，y=+1，求代数式x2+xy+y2的值． 16．已知a是实数，求﹣的值． 17．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=+1，BC=﹣1，求斜边AB的长． 18．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高． （1）求AB的长； （2）求△ABC的面积； （3）求CD的长． 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $$