第6讲 实数综合-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

第6讲 实数综合 教学目标：1、构建实数的知识系统； 2、理解实数的相关概念； 3、通过实际问题，使学生感受实数四则运算特点； 4、会运用相反数、绝对值，完全平方式性质帮助解题； 5、使学生初步认识数形结合、转化和分类讨论思想。 教学重点：注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用，理解实数的相关概念及运算。 教学难点： 二次根式的性质及应用，实数的混合运算。 【知识回顾】 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。如π=3.1415926…，，－1.010010001…，都是无理数。 注意： ①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； ③凡是整数开方开不尽的都是无理数，如、等。 2．实数：有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。 实数的分类： 3. 平方根与立方根 平 方 根 立 方 根 定 义 如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根。即：若时，则x称为a的平方根，记作，其中a是被开方数，根指数是3 如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根（也称作a的三次方根）。即：若，则x称为a的立方根，记作x=，其中a是被开方数，根指数是3 性 质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 1. 正数有一个正的立方根 2. 0的平方根是0 2. 0的立方根是0 3. 负数没有平方根 3. 负数有一个负的立方根 开平方与平方互为逆运算 开立方与立方互为逆运算 n 次 方根 偶数次方根与平方根性质相同 奇数次方根与立方根性质相同 4. 算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作；0的算术平方根是0。 算术平方根的双重非负性：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，≥0。 注意：关于、、 ①表示非负数的算术平方根，其结果也是非负数；②若，则=；③而总有意义，且当时，=；当时，=，即 算术平方根的双重非负性（）和常见公式，，， 5.二次根式 ①二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 ②最简二次根式：必须同时满足下列条件： （1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根式。 ③同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 ④二次根式的性质： ( （ ＞0） （ ＜0） 0 （ =0）； )（1）（）2= （≥0）； （2） ⑤二次根式的运算： （1）二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。 （2）二次根式的乘除运算：①=（≥0,b≥0）； ② （3）平方差公式：-）（+=a-b(a≥0，b≥0) （4）完全平方公式： ⑥分母有理化 分母有理化，又称“有理化分母”，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。 1）分母是一个单项式 2）分母是一个多项式 例如，下面将之分母有理化： 例如，下面将之分母有理化： 对于分母是一个多项式，思路仍然是将分子分母同乘相同的数，这里使用平方差公式，同时乘上，分子变为，分数值为，再约分即可。也就是说，为了有理化多项式的分母，原来分母是减号，我们乘上一个数字相同但用加号连接的式子，再用平方差公式。 ⑦常见公式 ，，， 【例题解析】 考点一：算术平方根的非负性 例1：有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程． （1）解题与归纳：①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空．=　 　； =　 　； =　 　；=　 　； =　 　； =　 　； ②归纳：对于任意数a，有=　 　 ③小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空．（）2=　 ；（）2=　 ；（）2=　 　；（）2=　 　；（）2=　 　； （）2=　 　； ④归纳：对于任意非负数a，有（）2=　 　 （2）应用：根据他们归纳得出的结论，解答问题． 数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣﹣﹣（）2． 变式练习1：（1）若式子有意义，则的取值范围是 ； （2）已知，求xyz+的值为 。 （3）若，则3x-y的值为 ； （4）已知有理数a,b,x,y满足，，试求a,b,x,y的值。 考点二：平方根与立方根的个数 例2：若5a+2和a+10是实数m的两个平方根，求m的立方根． 变式练习2：（1）如果一个非负数的两个不同的平方根是a+3和2a-15，那么这个数是 。 （2）已知是M的立方根，是的相反数，且，请你求出的平方根。 考点三：估算与比较大小 例3：观察：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2，请你观察上述式子规律后解决下面问题． （1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]=0，[π]=3， 填空：[+2]=　 　；[5﹣]=　 　． （2）如果5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，求a+b的值． 变式练习3：（1）设的小数部分是a，求a（a+2）的值． （2）（比较倒数法）设，则的大小关系是（ ） A、 B、 C、 D、 考点四：计算与化简 例4：计算：1） 2） 变式练习4： 1） 2） 3） 4） 例5：已知，求代数式的值；2）求当时，代数式的值。 变式练习5：已知： 例6：计算： 变式练习6： 例7：计算求值 a，b为实数，且a+b=﹣8，ab=8，求b+a的值 变式练习7：（1）计算：，其中，。 （2）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一） ==（二） ===﹣1（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ====﹣1（四） ①请用不同的方法化简． 参照（三）式得=　 　； �参照（四）式得=　 　． ②化简：+++…+． 考点五、综合题 例8：对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：=　 　；=　 　． （2）若，写出满足题意的x的整数值　 　． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次 ，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　 　次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是　 　． 变式练习8：（1）一个三角形的三边长分别为5，，． （1）求它的周长（要求结果化简）； （2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。 （2）某同学在解答题目：“化简并求值，其中a=，”时：解答过程是：=+=； （1）请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程． （2）设S=+++…+（n为正整数）， 考察所求式子的结构特征： ①先化简通项公式； ②求出与S最接近的整数是多少？ （3）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn． ∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： ①当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　 　，b=　 　； ②利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　=（　 　+　 　 ）2； ③若a+6=（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 课后作业 1、已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣ 2、（1）通过计算，比较各组数中两数的大小（在横线上填写“＞，＜，＝”符号）： __，__，__，__，… （2） 从以上结果中归纳出规律，并猜想出与的大小关系是 。 （3） 根据上面猜想的结论，比较下列两数的大小：__。 3、（1）（＋－1）（－＋1） （2） 4、已知，，求下列各式的值：（1）（2） 5、计算： 6、已知，求的值。 7、某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2． （1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？ （2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？ 8、阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=，则把x±2变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵3+2=1+2+2=12+（）2+2×1×=（1+）2 ∴==1+； 请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$