第一章 集合与常用逻辑用语 单元检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（单元检测） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已集合A＝{x|ax＋3＝0}，B＝{x|x2＝9}，若A⊆B，则实数a的取值集合是(　　) A.{1} B.{－1，1} C.{－1，0，1} D.{0，1} 2.下列表述中正确的是(　　) A.{0}＝ B.{(1，2)}＝{1，2} C.{}＝ D.0∈N 3.设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，2}，则A∩(∁UB)＝(　　) A.{0，1}　 B.{0，1，2} C.{－1，1，2}　 D.{0，－1，1，2} 4.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∪B＝(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|－1≤x≤4} 5.设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是(　　) A.A⊆B B.A＝B C.AB D.BA 7.已知全集U＝R，集合M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A.{x|x≤0或x≥1} B.{x|x≤－1或x≥2} C.{x|0＜x＜1} D.{x|－1＜x＜2} 8.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x，使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使＞2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.下列说法错误的是(　　) A.在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0} B.方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2,2} C.集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的 D.若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A 10.下列命题正确的有(　　) A.A∪＝ B.(A∪B)＝(A)∪(B) C.A∩B＝B∩A D.(A)＝A 11.下列条件能成为“x＞y”的充分条件的是(　　) A.xt2＞yt2 B.xt＞yt C.x2＞y2 D.0＜＜ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上． 12.已知集合A＝{2，3}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则实数a的所有可能的取值组成的集合为__________ 13.设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0．若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________ 14.已知集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，若A∩B＝，则实数a的值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，﹁q为假命题，求实数m的取值范围． 16.（14分）已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－2或x＞6}． (1)若a＝5，求A∪B； (2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 17.（16分）已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}． (1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－； (2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，求证：x1＋x4＝x2＋x3． 18.（16分）已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求满足下列条件的a的值． (1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B． 19.（18分）已知P＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案及解析： 一、单选题 1.C　解析：∵B＝{－3，3}，∴当a＝0时，A＝，满足A⊆B；当a≠0时，若A⊆B，则A＝{3}时，a＝－1，A＝{－3}时，a＝1．∴a的取值集合是{－1，0，1}．故选C． 2.D　解析：由集合的性质可知，表示没有任何元素的集合，而{0}表示有一个元素0，故A错误；{(1，2)}表示有一个元素，是点的集合，而{1，2}表示有2个元素的集合，是数集，故B错误；表示没有任何元素的集合，而{}表示有一个元素，故C错误．故选D． 3.A　解析：∵U＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{－1，2}，∴∁UB＝{－2，0，1}．又∵A＝{0，1，2}，∴A∩(∁UB)＝{0，1，2}∩{－2，0，1}＝{0，1}．故选A． 4.D　解析：在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由并集的定义知，A∪B＝{x|－1≤x≤4}．故选D． 5.B 解析：当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素． 6.D 7.B 解析：题图中阴影部分对应的集合为∁U(M∪N)，因为M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，所以M∪N＝{x|－1＜x＜2}，所以∁U(M∪N)＝{x|x≤－1或x≥2}．故选B． 8.B　解析：A是全称量词命题；B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确；因为＋（－）＝0，所以C为假命题；对于任何一个负数x，都有＜0，所以D错误．故选B． 二、多选题 9.BCD 解析：根据集合的概念易知A正确．B错误，方程的根为故其解集应写成{(2，－2)}．C错误，{(x，y)|y＝1－x}是由直线y＝1－x上的所有点组成的集合，{x|y＝1－x}是由符合y＝1－x的所有x的值构成的集合，二者不相等．D错误，由题意可知，A＝{－1,0,1}，∴－1.1∉A.故选B、C、D. 10.CD　解析：A∪＝A，故A错误；(A∪B)＝(A)∩(B)，故B错误；A∩B＝B∩A，故C正确；(A)＝A，故D正确．故选CD． 11.AD　解析：由xt2＞yt2可知，t2＞0，故x＞y，故A为充分条件；由xt＞yt可知，t≠0，当t＜0时，有x＜y，当t＞0时，有x＞y，故B不是；由x2＞y2，则|x|＞|y|，推不出x＞y，故C不是；由0＜＜，因为函数y＝ 在区间(0，＋∞)上单调递减，可得x＞y＞0，故D是充分条件．故选AD． 三、填空题 12.答案: 解析：由A∩B＝B，得B⊆A，则B＝或B＝{2}或B＝{3}，当B＝时，a＝0；当B＝{2}时，＝2，解得a＝；当＝3，解得a＝．所以实数a的所有可能的取值组成的集合为． 13.答案： 解析：因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，所以或 解得0≤a≤． 14.答案：－2　 解析：集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，A∩B＝，则1×(－4)＝－a·a，解得a＝±2，当a＝2时，直线x－ay＋2＝0与ax－4y＋4＝0重合，不符合题意，当a＝－2时，直线x－ay＋2＝0与ax－4y＋4＝0不重合，符合题意，故实数a的值为－2． 四、解答题 15.解：由题意知命题p，q都是真命题． 由∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3． 由∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1， 因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 16.解：(1)若a＝5，则A＝{x|5≤x≤8}． 又因为B＝{x|x＜－2或x＞6}，所以A∪B＝{x|x＜－2或x≥5}． (2)因为A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－2或x＞6}，A∩B＝∅， 所以解得－2≤a≤3， 所以实数a的取值范围是{a|－2≤a≤3}． 17.(1)解：根据题意，由A＝{－1，1}，则A＋＝{－2，0，2}，A－＝{0，2}． (2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A， 所以A－中也只包含四个元素，即A－＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}， 剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1， 所以x1＋x4＝x2＋x3． 18.解：(1)因为9∈(A∩B)，所以9∈B且9∈A， 所以2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3， 检验知a＝5或a＝－3． (2)因为{9}＝A∩B，所以9∈(A∩B)， 所以a＝5或a＝－3． 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去； 当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，满足题意．综上可知，a＝－3． 19.解：(1)要使x∈P是x∈S的充要条件，需使P＝S，即此方程组无解， 故不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． (2)要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S⊆P． 当S＝∅时，1－m＞1＋m，解得m＜0，满足题意； 当S≠∅时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S⊆P，则有 解得m≤0，所以m＝0． 综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$