精品解析：甘肃省临夏州2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷

临夏州高中2023-2024学年度第二学期期末质量监测试卷 高一数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前．考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：A 2. 若复数，共轭复数为，则（ ） A. －1 B. －i C. 1 D. i 【答案】C 【解析】 【分析】先求出其共轭复数为，然后由复数的乘法运算求解即可. 【详解】复数，则其共轭复数为， 所以. 故答案为：C 3. 石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（ ） A. 8036cm2 B. 13000cm2 C. 7840cm² D. 12804cm² 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值． 【详解】设，，，可得正四棱台的斜高为， 所以棱台的侧面积为． 故选：C． 4. 如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. －2 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的推论与线性关系，求解系数再结合向量减法即可求参. 【详解】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故选：B. 5. 在中，若，则此三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得求解. 【详解】由可得， 又， 所以， 由于为的内角，所以， 故为等腰三角形， 故选：B 6. 在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D． 7. 从11，12，13，，30中任意选一个数，则这个数是奇数或能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型计算即可. 【详解】从11，12，13，，30中任意选一个数， 则这个数是奇数或能被3整除有,共14个， 所以. 故选：D. 8. 已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球O的内接正方体的棱长为，则球心O到平面ABC的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设球心O到平面ABC的距离为，的外接圆的半径为，球的半径为，则，计算即可. 【详解】设球心O到平面ABC的距离为，的外接圆的半径为，球的半径为， 球O的内接正方体的棱长为，所以， 因为，所以，所以， 由球的性质可知，，即，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 八卦图是中国古代哲学的重要符号，被广泛应用于易经、中医等领域，如图1为八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数量积的定义求解数量积，即可判定AD，根据相等向量的定义即可求解B，根据模长的定义即可求解C. 【详解】对于A,由正八边形可得，则，A正确； 对于B，方向相反，故不是相等向量，B错误， 对于C, 由正八边形可得,C正确， 对于D，，故D错误． 故选：AC． 10. 下列四个式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两角和的正切公式计算求解即可判断A；应用两角差的正弦公式计算即可判断B；由二倍角的正弦公式计算即可判断C；应用辅助角公式化简计算即可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 若，则，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（ ） A. B. 平面平面OMN C. D. 四棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据中位线可判断A，根据线线平行求证线面平行，即可求解B，根据三角形的边长关系，即可求解C，根据锥体的体积公式即可求解D. 【详解】对于A，由于分别为侧棱的中点,所以,又，故，A正确， 对于B, 连接,由于分别为侧棱的中点,所以，平面,平面,所以平面,同理，平面,平面,故平面,，平面，所以平面平面，故B正确． 对于C，由于,所以，故，又，故，C正确， 对于D，由于，故D错； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为______cm2． 【答案】 【解析】 【分析】几何体是由圆锥和圆柱组成的，由圆柱与圆锥的表面积公式计算求解即可. 【详解】此几何体是由圆锥和圆柱组成的， 圆锥的底面半径为，高为，所以母线长为， 所以其侧面积为：， 圆柱的底面积为：，侧面积为：， 所以该几何体的表面积为：. 故答案为：. 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 14. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为______． 【答案】 ①. 0.21## ②. 0.18## 【解析】 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率. 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，4＋4i．－2＋4i． （1）求向量对应的复数； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由复数的几何意义求解即可； （2）计算向量的模长，判断出为等腰三角形，求解其面积即可. 【小问1详解】 对应的复数为． 对应的复数为． 对应的复数为； 【小问2详解】 因为，，，所以， 所以为等腰三角形． 所以． 16. 在中，，，设点P是所在平面内的任意一点，． （1）求m的最小值； （2）当m取最小值时，求在方向上的投影数量． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，建立平面直角坐标系，表示出，求最小值即可； （2）由（1）得m取最小值时，点，然后计算在方向上的投影数量即可. 【小问1详解】 由，得． 以A为坐标原点，直线AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则，，．设， 则， 所以的最小值为30，即m的最小值为30； 【小问2详解】 由（1）得m取最小值时，点，得，， 所以，，， 所以在方向上的投影数量为． 17. 某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，． （1）若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率； （2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件分别表示“被评为等级A，B，C，D”.由题意，事件两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可； （2）设事件，且事件互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可. 【小问1详解】 设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”． 由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以． 又因为被罚分，所以． 因此其被罚分的概率为； 【小问2详解】 设事件，，，表示“第i次被评定为等级A，B，C，D”，，2． 则“两次射击得分之和为0分”为事件，且事件，，互斥， ， ， 所以两次射击得分之和为0分的概率 . 18. 如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点P，D分别为AB，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求点C到平面的距离． 【答案】（1） 如图，连接，在中，D，P分别是，AB的中点，则， 而平面，平面，所以平面. （2） 由，得，则，即， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，又，所以． （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理即得. （2）利用线面垂直的判定、性质推理即得. （3）连接，交于点E，连接BE，过点C作于，利用线面垂直的判定、性质推证平面，再借助直角三角形求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，交于点E，连接BE，过点C作，F为垂足， 由，侧棱垂直于底面，得且， 又，，CB，平面CBE，则平面CBE， 又平面CBE，则，又，，平面， 因此平面，即CF为点C到平面的距离， 由平面，平面，得，， 所以点C到平面的距离． 19. “费马点”是由法国数学家费马提出的一个问题．该问题是：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答．当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当内有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求； （3）若，设点P为的费马点．求． 【答案】（1） （2） （3）-2 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用余弦定理结合面积公式求解； （3）利用费马点的性质等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案． 【小问1详解】 已知中． 即， 故，由正弦定理可得， 由余弦定理得，又，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知， 所以，则， 则； 【小问3详解】 由（1）知，所以的三个角都小于120°， 则由费马点定义可知：， 设，，，由， 得， 整理得， 则 ． 【点睛】关键点点睛：由面积分割关系得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临夏州高中2023-2024学年度第二学期期末质量监测试卷 高一数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前．考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，共轭复数为，则（ ） A. －1 B. －i C. 1 D. i 3. 石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（ ） A. 8036cm2 B. 13000cm2 C. 7840cm² D. 12804cm² 4. 如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. －2 D. －1 5. 在中，若，则此三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 从11，12，13，，30中任意选一个数，则这个数是奇数或能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球O的内接正方体的棱长为，则球心O到平面ABC的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 八卦图是中国古代哲学的重要符号，被广泛应用于易经、中医等领域，如图1为八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（ ） A. B. 平面平面OMN C. D. 四棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为______cm2． 13. 计算：______． 14. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，4＋4i．－2＋4i． （1）求向量对应的复数； （2）求的面积． 16. 在中，，，设点P是所在平面内的任意一点，． （1）求m的最小值； （2）当m取最小值时，求在方向上的投影数量． 17. 某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，． （1）若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率； （2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率． 18. 如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点P，D分别为AB，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求点C到平面的距离． 19. “费马点”是由法国数学家费马提出的一个问题．该问题是：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答．当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当内有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求； （3）若，设点P为的费马点．求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $