第3章　一次方程(组) 训练提升课件 2024-2025学年 湘教版（2024）数学七年级上册

第3章　一次方程(组) 3.1　等量关系和方程 湘教 七年级上册 1. 含有 的表示 的等式叫作方程. 2. 只含有 个未知数，并且未知数的次数是1，这样的 方程叫作一元一次方程. 3. 对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使 方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的 ⁠ .习惯上记作x＝c. 未知数　 等量关系　 一　 一 个解　 核心必知 方程与一元一次方程的概念 1. [2023·长沙期末]下列各式中，属于方程的是(　C　) A. 6＋(－2)＝4 B. －2 C. 2x－1＝5 D. 7x＞5 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1星题　基础练 2. 在下列各式：①x＋1≥2；②2x－y＝5；③y2－3y＝－2；④x＋3－4x；⑤x＝0；⑥ 2中， ⁠是方程， 是一元一次方程.(填序号) ②③⑤⑥　 ⑤　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3. 【易错题·对三者之间的从属关系不理解而致错】我们学 习了等式、方程、一元一次方程，它们之间有着密切的联 系.下列包含图能正确表示它们之间关系的是 .(填 序号) ④　 ① ② ③ ④ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 建立一元一次方程模型 4. 有甲、乙两个水池共贮水40 m3.若甲水池再注入4 m3水， 乙水池放出8 m3水，则甲、乙两水池的贮水量相等.设甲 水池原来贮水x m3，则乙水池原来贮水 m3， 甲水池现贮水 m3，乙水池现贮水 ⁠ m3，根据题意可列方程为 ⁠. (40－x)　 (x＋4)　 (40－x－ 8)　 x＋4＝40－x－8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有 题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱； 每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？设合 伙人数为x，所列方程正确的是(　B　) A. 5x－45＝7x－3 B. 5x＋45＝7x＋3 C. D. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 6. 一个长方形的周长为30 cm，若这个长方形的长减少2 cm，宽增加3 cm，则可成为一个正方形，设长方形的长为x cm，则可列方程为(　B　) A. x－2＝(30－x)＋3 B. x－2＝(15－x)＋3 C. x＋2＝(30－x)－3 D. x＋2＝(15－x)－3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 方程的解 7. 【教材改编题】(多选题)按照下面表格中的步骤，估算方程3(x＋1) －7x＝2.2的解，第3次估算时x可以取的值是(　AC　) AC 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值2.2比较 第1次估算 0 3 大了 第2次估算 1 －1 小了 第3次估算 A. 0.1 B. 2 C. 0.3 D. －1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 8. [2023·长春期末]若关于m的方程2m＋b＝m－1的解是 m＝－4，则b＝ ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 9. 【教材改编题】检验括号中的未知数的值是不是方程的解： (x－2)(x＋1)＝0.　 (x＝－1，x＝1，x＝2) 解：将x＝－1代入，左边＝0，右边＝0，左边＝右边， 所以x＝－1是方程的解. 将x＝1代入，左边＝－2，右边＝0，左边≠右边， 所以x＝1不是方程的解. 将x＝2代入，左边＝0，右边＝0，左边＝右边， 所以x＝2是方程的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 10. 小明在编写数学谜题时，列出式子：3×2□＋5＝□2， “□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为 x，则下面列出的方程正确的是(　D　) A. 3×2x＋5＝2x B. 3×20x＋5＝10x×2 C. 3×20＋x＋5＝20x D. 3×(20＋x)＋5＝10x＋2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2星题　中档练 11. 【创新题·新定义】[2024年1月株洲期末]小明用“尝试检验法”解关于x的方程 14(a，b，c均为不等于0的常数).他通过估计，依次取x的值为11，12，13，14，15，16，17，代入方程左边的代数式 ，求出代数式的值，如下表： x 11 12 13 14 15 16 17 ？ 12 ？ ？ ？ 那么该方程的解可能为(　C　) A. x＝11 B. x＝13 C. x＝15 D. x＝17 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 12. 若单项式a4b－2m＋1与－2a4bm＋7是同类项，符合题意的 方程是 ⁠. －2m＋1＝m＋7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 13. 已知关于x的方程(m－3)xm＋4＋18＝0是一元一次方 程.则： (1)m的值为 ⁠； (2)2(3m＋2)－3(4m－1)的值为 ⁠. －3　 25　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 【变式题】若(k－2)x｜k｜－1－3＝0是关于x的一元一次方 程，则k2－2k＋1的值为 ⁠. 9　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 14. 【教材改编题】根据条件，设出未知数，列出方程： (1)小华的年龄是14岁，小华的年龄比小强年龄的2倍小4岁，求小强的年龄； 解：(1)设小强的年龄为x岁，则列出方程为2x－4＝14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)某校七年级学生外出参观，如果每辆汽车坐45人，那么有15名学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出1辆汽车，求一共有多少辆汽车. 解：(2)设一共有x辆汽车.则可列出方程为 45x＋15＝60(x－1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 15. 【新情境题】下表是学习等量关系和方程时老师板书的 问题和两名同学所列的方程： 3.1 等量关系和方程 问题：我校体育室里篮球数比排球数的2倍多2，篮球数比排球数多16，求体育室里的篮球数和排球数.小明：2x＋2－x＝16；小红：2(y－16)＋2＝y. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (1)小明所列的方程中的x表示 ，并尝试描述等量关系： ⁠； (2)小红所列的方程中的y表示 ，并尝试描述等量关系： ⁠. 体育室里的排球数　 篮球数－排球数＝16　 体育室里的篮球数　 排球数的2倍＋2＝篮球数　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 16. 已知x＝2是方程ax－4＝0的解，检验x＝3是不是方程 2ax－5＝3x－4a的解. 解：因为x＝2是方程ax－4＝0的解， 所以把x＝2代入，得2a－4＝0，解得a＝2. 将a＝2代入方程2ax－5＝3x－4a，得4x－5＝3x－8①. 将x＝3代入方程①左边，则左边＝7， 代入方程①右边，则右边＝1.因为左边≠右边， 所以x＝3不是方程2ax－5＝3x－4a的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 $$第3章　一次方程(组) 3.2　等式的基本性质 第1课时　等式的基本性质 湘教 七年级上册 1. 等式的基本性质1：等式两边都加上或减去 ⁠ ，等式两边仍然相等.如果a＝b，那么a±c ＝ ⁠. 2. 等式的基本性质2：等式两边都乘 ，或除 以 ，等式两边仍然相等.如果a＝ b，那么ac＝bc，  　 　(d≠0). 同一个数(或 整式)　 b±c　 同一个数　 同一个不为0的数　 　 核心必知 等式的基本性质1 1. 【知识初练】图①中的天平处于平衡状态，用等式表示 是 ；如图②，在天平两边托盘中同时加入砝码 c，天平仍然处于平衡状态，用等式表示是 ⁠ ⁠. a＝b　 a＋c＝b ＋c　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　基础练 2. 下列不属于等式的基本性质1的应用的是(　C　) A. 由a＋2＝2＋b，得a＝b B. 由x＋2＝1，得x＝－1 C. 2m＋m＝3m D. 由x－1＝2，得x＝3 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. [2024·石家庄月考]已知m＋x＝n＋y，根据等式的基本 性质变形为m＝n，那么x，y必须符合的条件是(　C　) A. x＝－y B. x C. x＝y D. x，y为任意有理数 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4. (1)已知等式x＋2＝4，根据等式的基本性质1，等式两 边 ，得x＝ ⁠； (2)已知等式4x＝3x＋7，根据等式的基本性质1，等式两 边 ，得x＝ ⁠. 同时减2　 2　 同时减3x　 7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 等式的基本性质2 5. 【知识初练】图①中的天平处于平衡状态，用等式表示 是 ；如图②，在天平两边托盘中同时加入相同 数量的物体，天平仍然处于平衡状态，用等式表示 为 ⁠. a＝b　 3a＝3b　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. 要得到方程0.1x＝0.7的解，最简便的方法是在方程两边 (　C　) A. 同时乘0.7 B. 同时乘0.1 C. 同时乘10 D. 同时加上0.9 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7. 【教材改编题】[2024·郴州月考]下列等式变形正确的是 (　C　) A. 由 0，得x＝4 B. 由－2x＝6，得x＝3 C. 由x－1＝3，得x＝4 D. 由x＝2x，得1＝2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. 先将方程6x＝3(x＋2)的两边都除以 ，再将方程两边 同时减去 ，可以得到方程的解是x＝ ⁠. 3　 x　 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. 【易错题·忽略除数不为0而致错】下列等式变形不一定 正确的是(　D　) A. 若x＝y，则x＋3＝y＋3 B. 若x＝y，则3x－1＝3y－1 C. 若x＝y，则ax＝ay D. 若x＝y，则 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　中档练 10. [2024·合肥月考]设a，b，c为互不相等的有理数，且 b a＋ c，则下列结论正确的是(　D　) A. a＞b＞c B. c＞b＞a C. a－b＝4(b－c) D. a－c＝5(a－b) D 点拨：因为b a＋ c，所以a－b＝a－ a－ a－ c (a－c)，即a－c＝5(a－b). . a－b＝a－ a－ a－ c (a－c)，即a－c＝5(a－b). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11. 【教材改编题】求下列代数式的值. (1)若5m－5n＝10，则m－n＝ ⁠； (2)若2x－y－1＝0，则y－2x＝ ⁠. 2　 －1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 12. 已知5＋ 9－ y. (1)用含y的式子表示x； 解：(1)两边都减去5，得 4－ y， 两边都乘 ，得x＝14－2y. (2)用含x的式子表示y. 解：(2)两边都减去9，得－4＋ － y， 即－ y＝－4＋ ，两边都乘－ ，得y＝7－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. [2024·邵阳月考]阅读理解： 下面是小明利用等式的基本性质将等式x－4＝3x－4进 行变形的过程： x－4＋4＝3x－4＋4，① x＝3x，② 1＝3.③ (1)小明得出①的依据是 ⁠ ⁠； (2)小明开始出错的步骤是 (填序号)，错误的原因 是 ⁠； 等式两边都加上或减去同一个数 (或整式)，等式两边仍然相等 ③　 等式两边都除以x，x可能为0　 (3)写出正确的解题过程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：x－4＝3x－4，两边同时加上4，得x－4＋4＝3x－4＋4，即x＝3x，两边同时减去3x， 得x－3x＝0， 即－2x＝0，两边同时除以－2，得x＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. 【创新题·新设问】“*”是规定的一种运算法则：a*b ＝a2－b. (1)求4*(－1)的值； 解：(1)由题意得，原式＝42－(－1)＝16＋1＝17. (2)若(－4)*x＝2＋x，请运用等式的基本性质求x的值. 解：(2)由题意，得16－x＝2＋x， 两边同时加上x，得16＝2＋2x， 两边同时减去2，得14＝2x， 两边同时除以2，得7＝x，即x＝7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. [推理能力]能否由等式(3a＋7)x＝4a－b得到x ？为什么？反过来，能否由等式x 得到(3a＋7)x＝4a－b？为什么？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　提升练 解：由(3a＋7)x＝4a－b不一定能得到x . 理由：因为当a＝－ 时，3a＋7＝0，根据等式的基本性质2， 等式的两边不能同时除以0，此时不能得到x . 当a≠ 时，3a＋7≠0，此时，根据等式的基本性质2， 能得到x . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 能由等式x 得到(3a＋7)x＝4a－b. 理由：由x 知3a＋7≠0， 等式两边同时乘3a＋7，得(3a＋7)x＝4a－b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第3章　一次方程(组) 3.2　等式的基本性质 第2课时　移项 湘教 七年级上册 把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边， 方程的这种变形叫作移项.必须牢记：移项要 ⁠. 变号　 核心必知 移项 1. 【知识初练】2x－7＝3.① 解：两边都加7，得 2x－7＋7＝3＋7. 抵消左边的相反数，得2x＝3＋7.② 观察方程①到方程②的变形过程可知，位置改变了的项 是 ，它的变化是 ⁠ ，这个变形的依据是 ⁠. －7　 改变符号后从等号左边移到了 右边　 等式的基本性质1　 2 3 4 5 6 7 8 1 1星题　基础练 2. [2023·沧州期末]将方程3x＋6＝2x－8移项后正确的是 (　D　) A. 3x＋2x＝－8＋6 B. 3x－2x＝－8＋6 C. 3x－2x＝8－6 D. 3x－2x＝－8－6 D 2 3 4 5 6 7 8 1 3. [2023·岳阳期中]下列移项正确的是(　C　) A. 由2＋x＝8，得x＝8＋2 B. 由5x＝－8＋x，得5x＋x＝－8 C. 由4x＝2x＋1，得4x－2x＝1 D. 由5x－ 0，得5x＝3 C 2 3 4 5 6 7 8 1 4. 【创新题·新考法】如图是方程移项的过程，“ ”里面 应填的内容是 ⁠. ＋2x　 2 3 4 5 6 7 8 1 利用移项将方程化为x＝a的形式 5. 补全将方程5x－8＝－3x－2化成x＝a的形式的过程： 解：移项，得5x＋ ＝－2 ⁠. 合并同类项，得 ＝ ⁠. 两边同乘 ，得x＝ 　 　. 3x　 ＋8　 8x　 6　 　 2 3 4 5 6 7 8 1 【变式题】将方程3x＋20＝4x－25化为x＝a的形式的过程 补充完整： 3x＋20＝4x－25， 3x－4x＝－25－20， －x＝－45， x＝45. 移项，得　 合并同类项，得　 两边都除以(－1)，得　 2 3 4 5 6 7 8 1 6. 用等式的基本性质将方程3x－9＝0化为x＝a的形式. 解：移项，得3x＝9，两边都除以3，得x＝3. 2 3 4 5 6 7 8 1 7. [2024年1月郑州期末]下列通过移项变形错误的是(　C　) A. 由x＋2＝2x－7，得x－2x＝－7－2 B. 由y＋3＝2－4y，得y＋4y＝2－3 C. 由2t－3＋t＝2t－4，得2t＋t＋2t＝－4＋3 D. 由1－2m＝3，得2m＝1－3 C 2 3 4 5 6 7 8 1 2星题　中档练 8. 将方程 ＋5＝－ －1化成x＝a的形式. 佳佳的化简过程如下： 解：移项，得 5－1.① 合并同类项，得3x＝4.② 两边乘 ，得x .③ 化简过程有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并将 正确的化简过程写出来. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：有误，从第①步开始出错的. 正确的化简过程：移项，得 －5－1， 合并同类项，得3x＝－6，两边乘 ，得x＝－2. 2 3 4 5 6 7 8 1 $$第3章　一次方程(组) 3.2　等式的基本性质 第3课时　去括号、去分母 湘教 七年级上册 1. 运用 ，将方程中的括号去掉，方 程的这种变形叫作去括号. 2. 在原方程的两边都乘 ，从而将 分母去掉，方程的这种变形叫作去分母. 乘法对加法的分配律　 各个分母的最小公倍数　 核心必知 利用去括号对方程变形 1. 【知识初练】将方程4－3(8－x)＝5(x－2)变形时，为了 便于移项，我们可以先将方程中的括号外面的系数分别与 括号里面的每一项 ，去掉括号后得到4－ ⁠ ＝5x－ ⁠. 相乘　 24＋ 3x　 10　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1星题　基础练 2. 下列方程的变形中，属于去括号的是(　C　) A. 若5x＋4＝0，则5x＝－4 B. 若 2，则x＝6 C. 若3x－(2－4x)＝5，则3x－2＋4x＝5 D. 若5x＝2＋1，则5x＝3 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3. [2024·永州模拟]将方程2(x－3)－3(2x＋1)＝9去括号，得 (　D　) A. 2x＋6－6x＋3＝9 B. 2x－3－6x－1＝9 C. 2x－6－6x＋3＝9 D. 2x－6－6x－3＝9 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4. 将方程4(x－1)－x＝2(x＋1)化为x＝a的形式，步骤如 下：①去括号，得4x－1－x＝2x＋1；②移项，得4x－ 2x－x＝1＋1；③合并同类项，得x＝2，其中开始出错 的一步是(　A　) A. ① B. ② C. ③ D. 都正确 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5. 把下列方程化成x＝a的形式： (1)3＝1＋3(4＋x)； 解：去括号，得3＝1＋12＋3x， 移项，得－3x＝1＋12－3， 合并同类项，得－3x＝10， 两边都除以－3，得x＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)x＋1－2(x－1)＝1－3x. 解：去括号，得x＋1－2x＋2＝1－3x， 移项，得x－2x＋3x＝1－2－1， 合并同类项，得2x＝－2， 两边都除以2，得x＝－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 利用去分母对方程变形 6. 【知识初练】将方程 去分母，分母4、6的 最小公倍数为 ，则方程两边同乘 ，可得 到 ⁠. 12　 12　 3(x＋2)＝2(2x＋3)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7. 对方程 变形时，去分母最简便的是将方 程两边同乘(　D　) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8. 【易错题·对去分母的过程理解有误】下列对一元一次方 程去分母的叙述错误的是(　B　) A. 去分母的方法是方程两边同乘各分母的最小公倍数 B. 去分母的依据是分数的基本性质 C. 去分母的目的是将方程的系数从分数转化为整数 D. 去分母后的方程与原方程的解相同 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9. [2024·长春月考]将方程 1去分母得到3y＋2 ＋4y－1＝12，错在(　C　) A. 分母的最小公倍数找错 B. 去分母时，漏乘了分母为1的项 C. 去分母时，分子部分没有加括号 D. 去分母时，各项所乘的数不同 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10. 把下列方程化成x＝a的形式： (1) 1； 解：去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6， 去括号，得4x＋2－5x＋1＝6， 移项，得4x－5x＝6－2－1， 合并同类项，得－x＝3， 两边都除以－1，得x＝－3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2) ＋1 . 解：去分母，得3(1－x)＋12＝4(2x＋1)， 去括号，得3－3x＋12＝8x＋4， 移项，得－3x－8x＝4－3－12， 合并同类项，得－11x＝－11， 两边都除以－11，得x＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11. [2024·宜宾月考]下列做法正确的是(　A　) A. 由2(x＋1)＝x＋7去括号、移项、合并同类项，得x＝5 B. 由 1＋ 去分母，得2(2x－1)＝1＋3(x－3) C. 由2(2x－1)－3(x－3)＝1去括号，得4x－2－3x－9＝1 D. 由7x＝4x－3移项，得7x－4x＝3 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2星题　中档练 12. [2024年1月天津期末]若单项式 am＋1b3与－2a3bn的和仍 是单项式，则将方程 1化为x＝a的形式为 (　A　) A. x＝－23 B. x＝23 C. x＝－29 D. x＝29 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 点拨：因为单项式 am＋1b3与－2a3bn的和仍是单项式，所以m＋1＝3，n＝3，所以m＝2. 所以方程为 1，去分母，得2(x－7)－3(1＋x)＝6，去括号，得2x－14－3－3x＝6，移项，得2x－3x＝6＋14＋3，合并同类项，得－x＝23，两边同除以－1，得x＝－23.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13. 将方程化为x＝a的形式： (1)3(x－7)＋5(x－4)＝15； 解：去括号，得3x－21＋5x－20＝15， 移项，得3x＋5x＝15＋21＋20， 合并同类项，得8x＝56，两边都除以8，得x＝7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)4(2x－1)－3(x－2)＝12； 解：去括号，得8x－4－3x＋6＝12， 移项，得8x－3x＝12－6＋4，合并同类项，得5x＝10，两边都除以5，得x＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：整理，得 －6， 去分母，得3(3x－1)－2(2x＋9)＝－36， 去括号，得9x－3－4x－18＝－36， 移项，得9x－4x＝－36＋3＋18， 合并同类项，得5x＝－15，两边都除以5，得x＝－3. (3) －6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14. [推理能力]如下表，方程1、方程2、方程3……是按照一 定规律排列的一列方程： 序号 方程 化为x＝a的形式 1 －(x－2)＝1 x＝ ⁠ 2 －(x－3)＝1 x＝ ⁠ 3 －(x－4)＝1 x … … … 　 　 (1)将表格补充完整； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3星题　提升练 (2)写出第4个方程： ⁠； (3)将方程 －(x－b)＝1化为x＝a的形式是x ，求b的值.该方程是否是表中所给出的一列方程中的一个？如果是，它是第几个方程？ －(x－5)＝1　 解：(3)把x 代入方程，得 1，解得b＝8.此时，方程即为 －(x－8)＝1.观察可知，它是表中所给出的一列方程中的一个，它是第7个方程. (4)第n(n为正整数)个方程是 ⁠ ⁠. －[x－(n＋1)]＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $$第3章　一次方程(组) 3.3　一元一次方程的解法 第1课时　认识解方程 湘教 七年级上册 对于只含有未知数x的一元一次方程，可以通过 ⁠ 、 、 、 ，然后再除 以未知数的 ，从而将其化为 的形式，这 实质上是求 的过程.求方程的解的过程叫作解 方程. 去分 母　 去括号　 移项　 合并同类项　 系数　 x＝a　 方程的解　 核心必知 解方程 1. 下列方程中，解为x＝1的是(　D　) A. 2x－2＝1 B. 2x＋3＝1 C. 0.5＝1＋ D. 2x－3＝－x D 2 3 4 5 6 7 1 1星题　基础练 2. [2024·南阳月考]解方程 3有下列四步，其 中开始出错的一步是(　A　) A. 2(2x＋1)－x＋1＝3 B. 4x＋2－x＋1＝3 C. 3x＝0 D. x＝0 A 2 3 4 5 6 7 1 3. [2024·南京模拟]若关于x的方程ax＋2x＝1的解为x＝ 1，则a＝ ⁠. －1　 2 3 4 5 6 7 1 4. 解方程： (1)3x－2＝5x－4；　　(2)8y－3(3y＋2)＝6； 解：(1)移项，得3x－5x＝－4＋2， 合并同类项，得－2x＝－2， 两边都除以－2，得x＝1. (2)去括号，得8y－9y－6＝6， 移项，得8y－9y＝6＋6， 合并同类项，得－y＝12， 两边都除以－1，得y＝－12. 2 3 4 5 6 7 1 解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6， 去括号，得4x＋2－10x－1＝6， 移项，得4x－10x＝6＋1－2， 合并同类项，得－6x＝5， 两边都除以－6，得x＝－ . (3) 1. 2 3 4 5 6 7 1 5. [2023·滕州期末]若关于x的方程6n＋4x＝7x－3m的解 是x＝1，则m和n满足的关系式是(　B　) A. m＋2n＝－1 B. m＋2n＝1 C. m－2n＝1 D. 3m＋6n＝11 B 2 3 4 5 6 7 1 2星题　中档练 6. 【新情境题】课外兴趣小组进行一个混合运算题目的游戏，给出一个数，按照四名同学提供的运算方式及先后顺 序运算，可得运算结果. 小齐：乘－4.小家：除以2. 小治：加上1.小国：减去▲. (1)若给出的数为－1，▲为－2，求运算结果； 解：(1)－1× ÷2＋1－ 2＋1＋2＝5. (2)若给出的数为3，运算结果为最大的负整数，求▲表示的数. 解：(2)设▲表示的数为x，由题意，得3× ÷2＋1－x＝ －1，解得x＝－4，所以▲表示的数为－4. 2 3 4 5 6 7 1 7. m取什么整数时，关于x的方程4x＋m(x－6)＝2(2－3m) 的解是正整数，并求出方程的解. 解：化简，得(4＋m)x＝4，解得x .因为关于x 的方程4x＋m(x－6)＝2(2－3m)的解是正整数， 所以可得4＋m＝4或4＋m＝2或4＋m＝1， 所以m＝0或m＝－2或m＝－3. 当m＝0时，x＝1； 当m＝－2时，x＝2；当m＝－3时，x＝4. 2 3 4 5 6 7 1 $$第3章　一次方程(组) 3.3　一元一次方程的解法 第2课时　解较复杂的一元一次方程 湘教 七年级上册 解较复杂的一元一次方程 1. 下列方程中，解是x＝3的是(　B　) A. 3x－2＝6 B. 6－x ＋1 C. 2(x＋1)＝x＋4 D. (x－1)－5＝0 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1星题　基础练 2. 解方程：(1)4 7； 解：去括号，得8x－12－5x＋1＝7， 移项、合并同类项，得3x＝18， 两边都除以3，得x＝6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2) 2－ ； 解：去分母，得5(y－1)＝2×10－2(y＋2)， 去括号，得5y－5＝20－2y－4， 移项、合并同类项，得7y＝21， 两边都除以7，得y＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解：整理，得 ＋2.5 ， 去分母，得5(x＋3)＋25＝2(4x－10)， 去括号，得5x＋15＋25＝8x－20， 移项、合并同类项，得－3x＝－60， 两边都除以－3，得x＝20. (3) ＋2.5 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 和解方程相关的计算 3. 若3x＋1与2x－3互为相反数，则x的值为(　C　) A. －4 B. 4 C. D. － C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 4. [2024·北京月考]如果关于x的方程 与 2 －x的解相同，那么m的值是(　D　) A. 7 B. ±7 C. 3.5 D. ±3.5 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 5. [2024·北京月考]设M＝2y－2，N＝3y＋1，且M－2N ＝4，则M＋N的值是 ⁠. －11　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 6. 【原创题】已知式子A：7＋6x，式子 B： 5－4x. (1)若A＝B，则满足条件的x的值为 ⁠； (2)若A比B大7，则满足条件的x的值为 ⁠； (3)若A与B互为相反数，求满足条件的x的值； － 　 　 解：(3)因为A与B互为相反数， 所以7＋6x＋5－4x＝0，解得x＝－6， 所以当x＝－6时，A与B互为相反数. (4)定义：若A＋B＝m，则称A 是 B的“补足m数”.若A是B的“补足6数”，求满足条件的x 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解：(4)因为A是B的“补足6数”， 所以7＋6x＋5－4x＝6，解得x＝－3， 所以当x＝－3时，A是B的“补足6数” . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 7. 【创新题·新考法】嘉嘉和琪琪在玩一个圆珠(透明)游戏， 如图，三个标有不同式子的圆珠可以在槽内左右滚动.当 圆珠发生碰撞时，相撞圆珠上的式子的和为y.若三个圆 珠同时相撞时，y＝23，则x的值为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2星题　中档练 8. [2024·郑州月考]设a，b，c，d为有理数，现规定一种 新的运算 ad－bc，则满足 0的x的 值为(　D　) A. 3 B. C. D. －4 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 9. 若 ＋2与5－2x互为相反数，且x是方程3x＋ x－6(3a＋2)的解，则a的值为(　B　) A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 10. 解方程： (1)45％x＋75％x＝2.4； 解：合并同类项，得1.2x＝2.4， 两边都除以1.2，得x＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解：去括号，得 ， 去分母，得10x－5x－5＝8x－8， 移项，得10x－5x－8x＝－8＋5， 合并同类项，得－3x＝－3， 两边都除以－3，得x＝1. (2) ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (3) . 解：原方程可化为 ， 去分母，得3 2 ， 去括号，得150x－9＋18－80x＝60x－24， 移项，得150x－80x－60x＝－24＋9－18， 合并同类项，得10x＝－33， 两边都除以10，得x＝－3.3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 11. [2024年1月苏州期末]已知关于y的方程 y＋ 与关于x的方程 3x－2的解互为倒数，求m的值. 解： 3x－2，去分母，得x＋1＝2(3x－2)， 去括号，得x＋1＝6x－4， 移项，得x－6x＝－4－1， 合并同类项，得－5x＝－5， 两边都除以－5，得x＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 因为关于y的方程 y＋ 与关于x的方程 3x－2的解互为倒数，所以关于y的方程 y＋ 的解为y＝1，所以 1＋ ，解得m＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 12. [2024·周口月考]解关于x的方程 －1时，小琪 在去分母的过程中，右边的“－1”漏乘了公分母4，因 而求得方程的解为x＝－1，则原方程正确的解是多少？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解：依题意，得x＝－1是方程2 x＋a－1的解，所以2× －1＋a－1. 整理，得－4＝－2＋a，解得a＝－2， 所以原方程为 －1， 解得x＝－4，即原方程正确的解是x＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 13. [推理能力]【创新题·新考法】我们规定：若关于x的一 元一次方程ax＝b的解为x＝2a＋b，则称该方程为 “合并式方程”.例如：2x＝－8的解为x＝－4，又－4 ＝2×2＋(－8)，所以2x＝－8是“合并式方程”. (1)请判断 1是不是“合并式方程”，并说明理由； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3星题　提升练 解：(1) 1是“合并式方程”，理由如下： 解 1，得x＝2.因为2＝2× ＋1， 所以 1是“合并式方程”. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 13. [推理能力]【创新题·新考法】我们规定：若关于x的一 元一次方程ax＝b的解为x＝2a＋b，则称该方程为 “合并式方程”.例如：2x＝－8的解为x＝－4，又－4 ＝2×2＋(－8)，所以2x＝－8是“合并式方程”. (2)若关于x的一元一次方程3x＝m＋1是“合并式方程”，求m的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解：(2)解3x＝m＋1，得x . 因为关于x的一元一次方程3x＝m＋1是“合并式方程”，所以 2×3＋m＋1， 所以m＝－10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 $$第3章　一次方程(组) 3.4　一元一次方程的应用 第1课时　一元一次方程的应用(1) 湘教 七年级上册 和差倍分问题 1. 已知x的3倍比x的 大16，则x的值为(　B　) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1星题　基础练 2. 根据下面的对话，算出小亮今年的年龄为(　A　) A. 8岁 B. 6岁 C. 10岁 D. 7岁 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3. 《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿， 每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一 头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则 下列方程正确的是(　C　) A. x＋ 100 B. 3x＋1＝100 C. x＋ 100 D. (x＋1)＝100 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4. 某班有52名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少17， 则女生有 名. 23　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5. 相传有个缺乏说话艺术的人请客，到了吃饭时间还有几位 客人没来，他脱口而出：“怎么该来的还不来呢？”客人 听了，心想难道我们是不该来的吗？于是已到的客人走了 一半，他一看十分着急，又说：“不该走的倒走了！”剩 下的人一听，是我们该走啊！剩余客人又有 离开了，他 着急地一拍大腿，说：“我说的不是他们.”于是剩下的6 位客人也走了，请问最开始来了多少位客人？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：设最开始来了x位客人，根据题意， 得x－ × 6，解得x＝18. 答：最开始来了18位客人. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 工程问题 6. 某项工程甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做 1天，然后甲、乙合作完成此项工程，设甲一共做了x 天，则所列方程为(　C　) A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7. 某隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队 独立工作20天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作5 天，这25天共掘进425 m.已知甲工程队平均每天比乙工程 队多掘进5 m，求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多 少米. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：设甲工程队平均每天掘进x m，则乙工程队平均每天 掘进(x－5) m.由题意，得20x＋5(x＋x－5)＝425， 解得x＝15，所以x－5＝10. 答：甲工程队平均每天掘进15 m，乙工程队平均每天掘进 10 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 8. 在西方国家流传着这样的一个数学故事：甲、乙、丙、丁 四人各持金，乙为甲的二倍，丙为乙的三倍，丁为丙的四 倍，并知四人持金的总数为132卢比，则乙的持金数为 (　B　) A. 4卢比 B. 8卢比 C. 12卢比 D. 16卢比 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2星题　中档练 9. 某校今年3月开展植树活动.按班级顺序领取树苗，七(1)班先领取全部的 ，七(2)班领取100棵后，再领取余下部分的 ，两班领取的树苗相等，则树苗总棵数为 ⁠. 9 000 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10. [2024·宿州月考]整理一批图书，由1人做要30 h完成.现计划由一部分人先做1 h，然后增加6人与他们一起做3 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排 人工作. 点拨：设应先安排x人工作，依题意，得 ×3＝1，解得x＝3，所以应先安排3人工作. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11. 北京市“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆的总建 筑面积约7.5万平方米，藏书量达800万册，建有世界最 大的单体图书馆阅览室.图书馆内的功能区设置阅览坐 席，方便读者使用.其中，山体阅览区、非遗文献馆、少 年儿童馆的坐席总数为1 900个，非遗文献馆的坐席数与 少年儿童馆坐席数之比为2∶3，山体阅览区的坐席数比少 年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文 献馆、少年儿童馆的坐席数量. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：设非遗文献馆的坐席数量为2x个，则少年儿童馆的坐席数量为3x个，山体阅览区的坐席数量为(12x＋200)个， 根据题意，得2x＋3x＋12x＋200＝1 900， 解得x＝100， 所以2x＝200，3x＝300，12x＋200＝1 400. 答：非遗文献馆的坐席数量为200个，少年儿童馆的坐席数量为300个，山体阅览区的坐席数量为1 400个. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12. [数学建模][2024·南宁模拟]如图所示是2024年2月份的月历，2024年2月10日恰逢春节，也是农历甲辰龙年的开始. “凹型”阴影部分在月历中移动， 必须覆盖其中五个数. (1)设覆盖的最小数为x，请用式子表 示所覆盖的五个数之和； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3星题　提升练 解：(1)因为覆盖的最小数为x， 所以另外四个数分别为x＋2、x＋7、x＋8、x＋9， 所以x＋x＋2＋x＋7＋x＋8＋x＋9＝5x＋26. 答：所覆盖的五个数之和是5x＋26. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)甲同学所覆盖的五个数之和为86，请求出所覆盖的五个数中最大的是几； 解：(2)根据题意，得5x＋26＝86， 解得x＝12，所以x＋9＝21. 答：所覆盖的五个数中最大的是21. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (3)乙同学想覆盖的五个数之和为98，能办到吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由. 解：(3)不能办到，理由如下： 假设所覆盖的五个数之和为98，则5x＋26＝98，解得x . 因为x是整数，所以x 不符合题意， 所以所覆盖的五个数之和不能为98. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 $$第3章　一次方程(组) 3.4　一元一次方程的应用 第2课时　一元一次方程的应用(2) 湘教 七年级上册 实际问题 设出未知数，列出方程→解方程→检验解的合理性. 核心必知 行程问题 1. A，B两地相距28 km，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，经过t h相遇.若甲的步行速度是4 km/h，乙的步行速度是3 km/h.从出发到相遇的过程中，下列说法不正确的是(　C　) C A. 甲、乙所走路程之和为28 km B. 甲、乙步行所用时间相同 C. 甲、乙所走路程相同 D. 步行时间t满足方程4t＋3t＝28 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1星题　基础练 2. 一艘轮船在A，B两个码头之间航行，顺水航行需4 h， 逆水航行需5 h.已知水流速度为2 km/h，求轮船在静水中 的航行速度.若设轮船在静水中的航行速度为x km/h，则 可列一元一次方程为(　B　) B A. 4x＋2＝5x－2 B. 4(x＋2)＝5(x－2) C. 4x－2＝5x＋2 D. 4(x－2)＝5(x＋2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3. [2024·宜宾中考]元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载 了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五 十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大 意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12 天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是 (　D　) D A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 计数间隔问题 4. 【教材改编题】某市在城区内某一段道路的一侧全部栽上 梧桐树，要求路的两端各栽一棵，且每相邻2棵树的间隔 相等，如果每隔4 m栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔5 m 栽1棵，则树苗正好用完.设原有树苗x棵，根据题意列方 程，正确的是(　A　) A A. 4(x＋21－1)＝5(x－1) B. 4(x＋21)＝5(x－1) C. 4(x＋21－1)＝5x D. 4(x＋21)＝5x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 【变式题】某校在校运会期间，计划对操场一边全部插上彩 旗，要求两端各插一面，并且每两面彩旗的间隔相等，若每隔3 m插1面，则缺5面彩旗；若每隔4 m插1面，则彩旗正好用完，设原有彩旗x面，则根据题意可列出方程为 ⁠ ⁠. 3(x＋5－1)＝4(x－1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 调配问题 5. [2024·长春月考]有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程 队有28人，若要使甲工程队的人数是乙工程队人数的2 倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？ 解：设需从乙工程队抽调x人到甲工程队， 根据题意，得32＋x＝2(28－x)，解得x＝8. 答：需从乙工程队抽调8人到甲工程队. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 6. [2024·益阳月考]甲班有35人，乙班有26人.现在需要从 甲、乙两班各抽调一些同学去养老院参加敬老活动.如果 从甲班抽调的人数比乙班多3人，那么甲班剩余的人数恰 好是乙班剩余人数的2倍.问从乙班抽调了多少人参加了这 次敬老活动？ 解：设从乙班抽调了x人参加了这次敬老活动，则从甲班 抽调了(x＋3)人，根据题意列方程，得 35－(x＋3)＝2(26－x).解得x＝20. 答：从乙班抽调了20人参加了这次敬老活动. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 7. [2024年1月南充期末]某市对迎宾大道进行绿化，计划把 某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一 棵，并且每两棵树的间隔相等.若每隔3 m栽1棵，则树苗 缺15棵；若每隔4 m栽1棵，则树苗缺1棵，则原有树苗的 棵数是(　B　) A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2星题　中档练 8. 【中考趋势题】【新情境题】根据下面李老师和张老师的 对话，可知张老师买平板电脑的预算是(　B　) 李老师：“张老师，你之前提到的平板电脑买了没？” 张老师：“还没，它的售价比我的预算多1 500元呢！” 李老师：“这台平板电脑现在正在打7折呢！” 张老师：“太好了，这样比我的预算还要少750元！” B A. 5 000元 B. 6 000元 C. 7 000元 D. 7 200元 思路点睛：设张老师买平板电脑的预算是x元，则原售价为(x＋1 500)元，现售价为0.7(x＋1 500)元，根据“预算－现售价＝750”，列出一元一次方程，解方程即可. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 9. [立德树人·数学优秀传统文化传承]《九章算术》中记载了 这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐， 七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安.请问甲经过 多少日与乙相逢？ 解：设甲经过x日与乙相逢，则乙出发(x＋2)日. 根据题意，得 1，解得x . 答：甲经过 日与乙相逢. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 10. 某公司销售甲、乙两种运动鞋，2022年这两种鞋共卖出 11 000双.2023年甲种运动鞋卖出的数量比2022年增加 6％，乙种运动鞋卖出的数量比2022年减少5％，且这两种 鞋的总销量增加了2％. (1)求2022年甲、乙两种运动鞋各卖了多少双. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解：(1)设2022年甲种运动鞋卖了x双，则乙种运动鞋卖了 (11 000－x)双，由题意， 得6％x－5％(11 000－x)＝11 000×2％， 解得x＝7 000，所以11 000－x＝4 000. 答：2022年甲种运动鞋卖了7 000双，乙种运动鞋卖了 4 000双. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 10. 某公司销售甲、乙两种运动鞋，2022年这两种鞋共卖出 11 000双.2023年甲种运动鞋卖出的数量比2022年增加 6％，乙种运动鞋卖出的数量比2022年减少5％，且这两种鞋的总销量增加了2％. (2)某制鞋厂组织工人生产甲、乙两种运动鞋.原计划安排 的工人生产甲种运动鞋，现抽调其中的16人去生产乙种运动鞋，已知每名工人一天可生产甲种运动鞋6双或乙种运动鞋4双，若调配后制成的两种运动鞋数量相等，求该鞋厂工人的人数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解：(2)设该鞋厂有y名工人，则生产甲种运动鞋的人数为 y－16，生产乙种运动鞋的人数为 y＋16，由题意，得6 4 ，解得y＝60. 答：该鞋厂工人的人数为60. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 11. [几何直观]【创新题·新考法】如图所示，在数轴上有两 个边长相同的正方形.已知正方形ABCD的顶点A，B分 别对应－4，－3；正方形MNPQ的顶点M，N分别对应 3，4.现正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向右运 动，正方形MNPQ以每秒0.5个单位长度的速度也向右 运动. (1)2 s后，点B对应的数是 ，点M对应的数是 ⁠； －1　 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3星题　提升练 (2)设运动时间为t s. ①经过多长时间后正方形ABCD刚好追上正方形MNPQ(即边BC与边MQ重合)？ ②正方形ABCD从刚好追上正方形MNPQ到完全超过需要 s. 解：①依题意，得－3＋t＝3＋ t，解得t＝12. 答：经过12 s后正方形ABCD刚好追上正方形MNPQ(即边BC与边MQ重合). 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 $$第3章　一次方程(组) 3.5　认识二元一次方程组 湘教 七年级上册 1. 含有 未知数，并且含未知数的项的次数都 是 ，这样的方程叫作二元一次方程. 2. 只含有 未知数，并且含未知数的项的次数都 是 的方程组叫作二元一次方程组. 3. 一般地，使二元一次方程左右两边的值 ⁠的两个未 知数的值，叫作二元一次方程的解. 两个　 1　 两个　 1　 相等　 核心必知 4. 一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x， y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相 等，则把 叫作这个方程组的一个解.习惯上记 作 ，求方程组的解的过程叫作解方程组. (c1，c2)　 　 二元一次方程及其解 1. 下列方程中，是二元一次方程的有(　A　) ①2x－5＝y；②x－4＝1；③2xy＝3；④2x＋y＋z＝ 7；⑤5x＋ 2；⑥x2＋ y＝8. A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 6个 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　基础练 2. [2024·衡阳月考]下面4组数值中，只有一组值是二元一次 方程3x－2y＝6的解，它是(　C　) A. B. C. D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. 已知关于x，y的方程xa＋1－2yb－2＋3＝0是二元一次方 程，则a＋b＝ ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4. [2024年1月益阳期末]若是关于x，y的二元一次 方程x－ay＝4的一个解，则a的值为 ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 二元一次方程组及其解 5. 下列方程组中是二元一次方程组的是(　A　) A. B. C. D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. [2023·益阳期中]是下列哪个方程组的解？(　D　) A. B. C. D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7. 【教材改编题】写一个解为的二元一次方程组， 这个方程组可以是 ⁠. (答案不唯一)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. [2023·永州月考]若是方程组的 解，则m＋n＝ ⁠. － 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 建立二元一次方程(组)模型 9. [立德树人·关注传统文化]“方程”二字最早见于我国《九 章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方 程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x＋4y＝23，则 表示的方程是 ⁠ ⁠. x＋2y＝32 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组为(　A　) A A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11. 【易错题·忽略x的系数不为0而致错】已知(m－2)x｜m｜－1＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝(　D　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 点拨：因为｜m｜－1＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，所以解得m＝－2，故选D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　中档练 12. 如果方程组的解为那么被“★、■”遮住的两个数分别为(　C　) A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3 点拨：把x＝6代入2x＋y＝16，得12＋y＝16， C 所以y＝4，所以被“■”遮住的数是4. 再把代入x＋y，得x＋y＝6＋4＝10， 所以被“★”遮住的数是10.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. [2024·聊城月考]暑假时，一批中学生参加夏令营，途经 某旅店住宿.如果每间客房安排住7人，就会有3人没地方 住；如果每间客房安排住8人，就会出现一间客房还有5 人没住满.设中学生的人数为x，旅店的客房数为y，则 可列方程组为(　A　) A A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. 【教材改编题】为支援抗灾前线，某企业采购甲、乙两种抗灾物资共540 t，甲物资的价格为3万元/t，乙物资的价格为2万元/t，采购这两种物资共花费1 380万元. (1)为了求出甲、乙两种物资各采购了多少吨，设甲种物 资采购了x t，乙种物资采购了y t，你能建立关于x，y的二元一次方程组吗？ 解：(1)根据题意建立关于x，y的二元一次方程组为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)是列出的二元一次方程组的解吗？ 解：(2)把代入方程①中，左边＝右边， 把代入方程②中，左边＝右边， 所以是方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. [运算能力]已知｜5－2m｜＋(5－n)2＝0，m，n分别是 关于x的方程ax－1＝0和关于y的方程2y－b＋1＝0的 解，求代数式(5a－4)2(b－10 )3的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　提升练 解：因为｜5－2m｜＋(5－n)2＝0， 所以5－2m＝0，5－n＝0，解得m ，n＝5. 因为m，n分别是关于x的方程ax－1＝0和关于y的方程2y－b＋1＝0的解， 所以 a－1＝0，10－b＋1＝0，解得a ，b＝11， 所以原式 ×(11－10 )3＝(－2)2× . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第3章　一次方程(组) 3.6　二元一次方程组的解法 3.6.1　代入消元法 湘教 七年级上册 把其中一个方程的某一个未知数用 ⁠ 表示，然后把这个代数式代入另一个方程中，便消去 了一个未知数，得到一个 ，解这个 ⁠ 就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未 知数的值代入 中，就可以求出另一个未知 数的值，至此就求出了二元一次方程组的解.这种解二元一 次方程组的方法叫作代入消元法. 含有另一个未知数的代 数式　 一元一次方程　 一元 一次方程　 前面的代数式　 核心必知 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 1. [2023·武汉月考]将式子3x＋y－1＝0改写成用含x的式子 表示y，正确的是(　B　) A. y＝3x－1 B. y＝1－3x C. y＝3x＋1 D. y B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1星题　基础练 2. [2024·福州月考]已知方程3x－4y＝6，用含y的式子表示 x为(　C　) A. y B. y C. x D. x C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3. [2024·南阳月考改编]在方程－ 1中，用含y的代数 式表示x，则x＝ ；用含x的代数式表示y， 则y＝ ⁠. y－4　 ＋3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 用代入消元法解二元一次方程组 4. 用代入消元法解方程组时，将方程①代入 ②中，所得的方程正确的是(　B　) A. 3x＋4x－3＝8 B. 3x＋4x－6＝8 C. 3x－2x－3＝0 D. 3x＋2x－6＝8 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5. 用代入消元法解方程组的正确解法 是 ；最好的解法是 .(填序号) (1)先将①变形为x ，再代入②； (2)先将①变形为y ，再代入②； (3)先将②变形为x ，再代入①； (4)先将②变形为y＝4x－1，再代入①. (2)(4)　 (4)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6. 用代入消元法解方程组把 ⁠代 入 ，可以消去未知数 ，方程变为 ⁠ (不用化简). ①　 ②　 y　 2x＋3(x －3)＝7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7. 二元一次方程组的解为 　　. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 8. 用代入消元法解下列方程组： (1) 解： 把①代入②，得2y－y＝6，解得y＝6. 把y＝6代入①，得x＝12， 因此原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2) 解：由②，得x＝7－3y，③ 将③代入①，得3(7－3y)－2y＝－1， 解得y＝2.把y＝2代入③，得x＝1， 因此原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9. 由方程组可得出x与y的关系是(　C　) A. x＋y＝1 B. x＋y＝－1 C. x＋y＝7 D. x＋y＝－7 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2星题　中档练 10. [2023·盐城期中]把二元一次方程2x＋3y－4＝0化为y＝ kx＋m的形式，则(m－k)(k＋m)＝ ⁠. 点拨：由2x＋3y－4＝0，得y＝－ ， 所以k＝－ ，m ， 所以 × ＝2× . 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11. 用代入消元法解下列方程组： (1) 解：由方程②，得3x－4y＝－48，④ 由①，得x＝－2－y，⑤ 把方程⑤代入方程④，得3(－2－y)－4y＝－48， 解得y＝6.把y用6代入方程⑤，得x＝－8. 因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2) 解：整理方程①②，得 由③，得y＝－1－3x，⑤ 把方程⑤代入方程④，得2x－(－1－3x)＝－4， 解得x＝－1.把x用－1代入方程⑤，得y＝2. 因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12. [推理能力][2024·邢台月考]阅读下列解题方法： 解方程组时，可由①得x－y＝1，③ 然后再将③代入②，得4×1－y＝5，求得y＝－1， 从而进一步求得这种方法被称为“整体代入 法”，请用同样的方法解答下列问题： (1)直接写出方程组的解为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3星题　提升练 解：(1)点拨： 把①变形，得x＋y＝7③， 把③代入②，得4×7－y＝25，即y＝3. 把y用3代入③，得x＝4， 因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)解方程组 解：(2) 由②，得y－2x＝3，即2y－4x＝6，③ 把③代入①，得2＋2x＝4，解得x＝1.把x用1代入②， 得y＝5.因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 $$第3章　一次方程(组) 3.6　二元一次方程组的解法 3.6.2　加减消元法 第1课时　加减消元法 湘教 七年级上册 对于二元一次方程组，把一个方程进行适当变形后，再 ⁠ 另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含 另一个未知数的 ，解这个 ⁠ 求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元一次方 程组的 ，就可以求出被消去的未知数的 值，从而得到原二元一次方程组的解，这种解二元一次方程 组的方法叫作加减消元法. 加 上(或减去)　 一元一次方程　 一元一次方 程　 任意一个方程　 核心必知 用加减消元法解某未知数的系数的绝对值相等的 方程组 1. [2024·益阳月考]解方程组时，①－②可 得 ⁠. 4y＝－1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1星题　基础练 2. 【教材改编题】解二元一次方程组适合的 消元方法是(　B　) A. 加减消元法，消去x B. 加减消元法，消去y C. 代入消元法，消去x D. 代入消元法，消去y B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3. [2024·北京月考]在解二元一次方程组 时，若①－②可直接消去未知数y，则⊕和※(　B　) A. 互为倒数 B. 相等 C. 都等于0 D. 互为相反数 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 4. 用加减消元法解下列方程组： (1)[2023·连云港中考] 解：①＋②，得5x＝15，解得x＝3. 把x用3代入方程①，得3×3＋y＝8，解得y＝－1.因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2) 解： ①－②，得4y＝－8，解得y＝－2. 把y用－2代入方程①，得2x－2＝－2， 解得x＝0. 因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 用加减消元法解某未知数的系数的绝对值有倍数 关系的方程组 5. 解方程组用加减消元法消去y，需要用 (　C　) A. ①×2－② B. ①×3－②×2 C. ①×2＋② D. ①×3＋②×2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6. 用“加减消元法”解二元一次方程组时， 若消去x，则②×3－①，得 ；若消去y， 则 ，得 ⁠. 7y＝－19　 ①×3－②×2　 7x＝15　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7. 用加减消元法解下列方程组： (1)[2023·常德中考] 解：①×2，得2x－4y＝2，③ ③＋②，得5x＝25，解得x＝5. 把x用5代入方程①，得5－2y＝1，解得y＝2. 因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2) 解：①×3，得9x＋15y＝3，③ ③－②，得7y＝－14，解得y＝－2. 把y用－2代入方程①，得3x＋5×(－2)＝1， 解得x .因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 8. 张明与刘芳两名同学解二元一次方程组 的思路是：张明认为由①＋②消除y比较简单；刘芳认为 由①－②消除x比较简单.你认为他们的思路(　C　) C A. 只有张明正确 B. 只有刘芳正确 C. 张明与刘芳都正确 D. 张明与刘芳都错误 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2星题　中档练 9. [2024·石家庄月考]用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元的是(　C　) A. ①×2－② B. ②×3＋① C. ①－②×3 D. ①×(－2)＋② C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10. [2024·天津月考]若(x－2y＋1)2与｜x－y－2｜互为相反 数，则x＋y的值为 ⁠. 点拨：因为(x－2y＋1)2与 互为相反数，且(x－2y＋1)2≥0， ≥0， 所以解得所以x＋y＝8. 8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11. 用加减消元法解下列方程组： (1) 解：原方程组可化为 ②×3，得－3x＋27y＝6，③ ①＋③，得28y＝28，解得y＝1. 把y用1代入方程①，得3x＋1＝22，解得x＝7， 因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解：原方程组可化为①－②，得y＝4. 把y用4代入方程①，得3x－4＝8，解得x＝4. 因此，是原二元一次方程组的解. (2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12. [运算能力]阅读下面的材料： 解方程组时，由于系数及常数项 较大，如果用常规的代入消元法或加减消元法来解， 不仅计算量大，而且易出现运算错误.采用下面的解 法比较简单. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3星题　提升练 ②－①，得3x＋3y＝3，所以x＋y＝1.③ ③×14，得14x＋14y＝14.④ ①－④，得y＝2， 把y＝2代入③，得x＝－1. 所以原方程组的解是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 请你运用上述方法解方程组： 解： ①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③ ③×2 023，得2 023x＋2 023y＝2 023.④ ④－②，得y＝2.把y＝2代入③，得x＝－1. 所以原方程组的解是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 $$第3章　一次方程(组) 3.6　二元一次方程组的解法 3.6.2　加减消元法 第2课时　选择合适的方法解二元一次方程组 湘教 七年级上册 解二元一次方程组的两种方法： 和 ⁠ ⁠. 代入消元法　 加减消 元法　 核心必知 解系数不成整数倍关系的二元一次方程组 1. 解方程组如果用加减消元法消去y，那么 下列方法可行的是(　D　) A. ①×4＋②×3 B. ①×4－②×3 C. ①×3－②×4 D. ①×3＋②×4 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1星题　基础练 2. [2024·重庆月考]用加减消元法解方程组下 列四种变形中正确的有 .(填序号) ①②③ ④ ③④　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3. [2024·长沙月考]解下列方程组： (1)　 解：(1)①×4，得12x＋16y＝－4，③ ②×3，得12x＋9y＝－18，④ ③－④，得7y＝14，解得y＝2. 把y用2代入方程①，得3x＋8＝－1， 解得x＝－3.因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2) 解：(2)①×3，得15x－6y＝27，③ ②×2，得16x＋6y＝4，④ ③＋④，得31x＝31，解得x＝1. 把x用1代入方程①，得5－2y＝9，解得y＝－2. 因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 选择合适的方法解二元一次方程组 4. 下列方程组中不适合用加减消元法求解的是(　C　) A. B. C. D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 5. 解方程组的最优解法是(　C　) A. 由①，得y＝3x－2，再将它代入② B. 由②，得3x＝11－2y，再将它代入① C. 由②－①，消去x D. 由①×2＋②，消去y C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 6. 解方程组： (1)若用代入消元法，可把方程②变形，得x＝ ⁠ ，代入方程①，得 (不用化简)； (2)用加减消元法解，可将①×2，得③，再把②③两边分 别 ，得到的一元一次方程是 ⁠. 12＋2y 3(12＋2y)＋y＝1　 相加　 7x＝14　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 7. [2024·成都月考]解下列方程组： (1)　 解：(1)把②代入①，得2(1－y)＋4y＝5， 解得y .把y用 代入②式，得x＝－ . 因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2) 解：(2)由①，得2x－5y＝20，③ ②－③，得8y＝－16，解得y＝－2. 把y用－2代入方程②，得2x－6＝4，解得x＝5. 因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 8. [2024·株洲月考]用加减消元法解方程组下列结果正确的是(　C　) C A. 要消去x，可以将①×3－②×5 B. 要消去y，可以将①×5＋②×2 C. 要消去x，可以将①×5－②×2 D. 要消去y，可以将①×3＋②×2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2星题　中档练 9. [2024·聊城月考]若是方程组的解， 则a2 024＋2b2 024的值为(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 10. 已知｜2x＋y－3｜＋(x－3y＋2)2＝0，则x－y＝ ⁠. 0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 11. [2024·衡阳月考]请根据李老师所给的内容，完成下列各 小题： 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定： a○b＝ax＋by.例如：3○2＝3x＋2y. (1)若x＝－5，2○4＝－18，求y的值； 解：(1)由题意知，2○4＝2× ＋4y＝－18， 解得y＝－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2)若1○(－2)＝6，4○3＝2，求x，y的值. 解：(2)由题意可得， ①×4－②，得－11y＝22，解得y＝－2. 把y用－2代入方程①，得x－2×(－2)＝6， 解得x＝2，所以x＝2，y＝－2. 11. [2024·衡阳月考]请根据李老师所给的内容，完成下列各 小题： 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定： a○b＝ax＋by.例如：3○2＝3x＋2y. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 12. 解下列方程组： (1) 解：化简方程组，得 ②×2，得2x＋8y＝－4，③ ③－①，得11y＝－22，解得y＝－2.把y用－2代入方程②， 得x－8＝－2，解得x＝6.因此，是原二元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2) 解：化简方程组，得 ②×2，得8x－2y＝10，③ ①＋③，得11x＝22，解得x＝2.把x用2代入方程②， 得8－y＝5，解得y＝3.因此，是原二元一次方程 组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 13. [运算能力]阅读下面的材料，解答问题. 解方程组 解：若设x＋y＝m，x－y＝n，则原方程组可变形为 用加减消元法解得所以再解这个方程组得 请你用上述方法解方程组： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3星题　提升练 解：设x＋y＝A，x－y＝B，则原方程组可变形为整理，得 ①×3－②×2，得5A＝－48，解得A＝－9.6. 把A用－9.6代入①，得B＝－14.4， 所以解得 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 $$第3章　一次方程(组) 3.7　二元一次方程组的应用 第1课时　二元一次方程组的应用(1) 湘教 七年级上册 找出两个 等量关系 验根　 核心必知 和差倍分问题 1. [2024·太原月考]某年级学生共有244人，其中男生人数y 比女生人数x的2倍少2，则下面所列的方程组中符合题意 的是(　B　) B A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1星题　基础练 2. [2023·娄底期末]某校七年级学生开展义务植树活动，参加 者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加 者人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍，求该校 七年级学生共有多少人. 解：设最初的参加者为x人，未参加者为y人，由题意，得 解得 所以x＋y＝96，所以该校七年级学生共有96人. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 行程问题 3. [2023·长沙月考]甲、乙两人练习跑步，若乙先跑10 m，则 甲跑5 s就可以追上乙；若乙先跑2 s，则甲跑4 s就可以追 上乙.若设甲的速度为x m/s，乙的速度为y m/s，则下列方 程组中正确的是(　A　) A A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4. 小刚从家出发，去距家28 km的景点游玩，先乘车，后步 行，全程共用了1 h.已知汽车的速度为每小时36 km，步 行的速度为每小时4 km，问小刚乘车路程和步行路程分 别是多少？ 解：设小刚乘车路程是x km，步行路程是y km，由题意，得解得 故小刚乘车路程和步行路程分别是27 km和1 km. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 百分数问题 5. 小李家去年结余5 000元，今年可结余9 500元，并且今年 收入比去年高15％，支出比去年低10％，今年的收入与支 出各是多少？设去年的收入为x元，支出为y元，则可列 方程组为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6. [2024·益阳月考]某所中学现有学生4 200人，计划一年后 初中在校生人数增加8％，高中在校生人数增加11％，这 样全校学生人数将增加10％，求这所中学现在的初中在校 生和高中在校生人数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：设这所中学现在的初中在校生人数为x，高中在校生人数为y，根据题意，得 解得 所以这所中学现在的初中在校生和高中在校生人数分别是 1 400，2 800. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7. [2024·福州月考]《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱，不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲、乙持钱各几何？”译文是：现有甲、乙二人各自带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的 ，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的 ，则乙的钱数也能为50.问：甲、乙各有多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，则下列符合题意的方程组是(　C　) C A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2星题　中档练 8. 某企业去年的总收入比总支出多500万元，今年的总收入 比去年增加10％，总支出节约15％，因此总收入比总支出 多800万元，则去年的总收入和总支出分别为 ⁠ ⁠. 点拨：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元， 根据题意，得解得 所以去年的总收入为1 500万元，总支出为1 000万元. 1 500万 元，1 000万元　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9. [2024·重庆月考]甲、乙二人分别从相距40 km的A，B两 地出发，相向而行，如果甲比乙早出发1 h，那么乙出发 后2 h，他们相遇；如果他们同时出发，那么2.5 h后，两 人相距5 km，求甲由A地到B地所需要的时间. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 分两种情况：当同时出发2.5 h后，两人相遇前相距5 km时，解得当同时出发2.5 h后，两人相遇后相距5 km时，解得当甲的速度为12 km/h时，由A地到B地所需要的时间为40÷12 (h)，当甲的速度为4 km/h时，由A地到B地所需要的时间为40÷4＝10(h). 解：设甲、乙二人的速度分别为x km/h，y km/h， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. [2024年1月成都期末]“沉睡数千年，一醒惊天下”，三 星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象.某校组 织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动.该校计划向 运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型 车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5 辆，B型车4辆，则还有15人没有座位. (1)求A，B两种车型各有多少个座位； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3星题　提升练 解：(1)设A型车有x个座位，B型车有y个座位， 根据题意，得解得 答：A型车有45个座位，B型车有60个座位. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. [2024年1月成都期末]“沉睡数千年，一醒惊天下”，三 星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象.某校组 织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动.该校计划向 运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型 车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5 辆，B型车4辆，则还有15人没有座位. (2)若要求租用的每辆车都坐满，则共有多少种租车方案？请列出所有的租车方案. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(2)设租用A，B两种车型的辆数分别为m和n， 根据题意，得45m＋60n＝480，则n 8－ m. 当m＝4时，n＝8－ ×4＝5；当m＝8时，n＝8－ ×8＝2. 所以，共有2种租车方案：租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $$第3章　一次方程(组) 3.7　二元一次方程组的应用 第2课时　二元一次方程组的应用(2) 湘教 七年级上册 用二元一次方程组解决有关实际问题的关键是 ⁠ ⁠. 找等量关系 核心必知 图表信息问题 1. [2023·长春月考]欣欣幼儿园购买了90张等边三角形彩纸与 50张正方形彩纸(如图①)，准备制作如图②所示的甲、乙 两种图案，如果购买的彩纸刚好全部用完，则可以制作 甲、乙两种图案共(　C　) A. 10个 B. 20个 C. 30个 D. 40个 C 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1星题　基础练 2. 某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况 如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 总量/t 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)设甲种货车满载时，每辆能运输原料x t，乙种货车满载时每辆能运输原料y t， 依题意，得解得 答：甲种货车满载时每辆能运输原料4 t，乙种货车满载时每辆能运输原料3 t. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，求该公司这两次共付租金多少元. 解：(2)(4＋3)×300＋(5＋6)×200＝4 300(元). 答：该公司这两次共付租金4 300元. 2. 某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况 如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 总量/t 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 2 3 4 5 6 7 8 9 1 配套问题 3. 某家具加工厂有15名木工加工桌子和椅子，1张桌子配4把 椅子，已知每名木工一天能加工3张桌子或6把椅子，若安 排x名木工加工桌子，y名木工加工椅子，恰好一天加工 的桌子能与椅子配套，则可列方程组为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. [2024·陕西宝鸡模拟]某车间有68名工人，每人每天能生产 8个甲种部件或5个乙种部件，已知2个甲种部件和3个乙种 部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，求有 多少名工人生产甲种部件. 解：设有x名工人生产甲种部件，y名工人生产乙种部件， 依题意，得解得 答：有20名工人生产甲种部件. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 赋值问题 5. 【原创题】对于多项式x2＋bx＋c(其中b，c为常数)， 当x分别用－1，3代入时，x2＋bx＋c的值都为0，则这 个多项式为(　A　) A. x2－2x－3 B. x2－2x＋3 C. x2＋2x－3 D. x2＋2x＋3 A 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. 对于等式y＝kx＋b，当x＝3时，y＝5；当x＝－4时， y＝－9，求k和b的值. 解：因为对于等式y＝kx＋b，当x＝3时，y＝5； 当x＝－4时，y＝－9， 所以解得 所以k的值为2，b的值为－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. [2024·保定月考]已知代数式x2＋bx＋c. (1)当x＝2时，代数式的值是5，请用含c的代数式表示b； 解：(1)因为当x＝2时，代数式的值是5， 即22＋2b＋c＝5，所以2b＋c＝1， 所以用含c的代数式表示b为b . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2星题　中档练 7. [2024·保定月考]已知代数式x2＋bx＋c. (2)当x＝1时，代数式的值是0；当x＝－2时，代数式的值是15，求b，c的值. 解：(2)因为当x＝1时，代数式的值是0；当x＝－2时，代数式的值是15，所以解得 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. [2024·南昌月考]用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正 方形.长方形硬纸板以如图两种方法裁剪.A方法：剪3个 侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面.现有35张硬纸板， 裁剪时x张用A方法，其余y张用B方法. (1)裁剪出的侧面个数为 ，底面的个数为 . (用含x，y的代数式分别表示)； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 3x＋2y　 2y　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：根据题意，得解得 21×2÷2＝21(个). 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做21个盒子. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【跨学科·语文】[2023·张家口三模]《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水.根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入1个小球水面升高 cm； (2)如果放入大球、小球共10个球且使水面恰好上升到52 cm，求应放入大球多少个； 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3星题　提升练 解：(2)设1个大球使得水面升高y cm，由题图可知， 2y＝32－26，所以y＝3. 设放入大球a个，小球b个，根据题意，得 解得 答：应放入大球6个. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (3)若放入1个钢珠可以使水面上升k cm，当在瓶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到39 cm，则k的整数值为 .(球和钢珠完全在水面以下) 11　 解：(3)点拨：设在瓶内同时放入m个小球和m个钢珠时，水面上升到39 cm，根据题意，得mk＋2m＝39－26， 所以k －2. 因为k、m为正整数， 所以当m＝1时，k＝13－2＝11， 故k的整数值为11. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $$第3章　一次方程(组) *3.8　三元一次方程组 湘教 七年级上册 1. 含有 未知数，并且含未知数的项的次数都 是 的方程，叫作三元一次方程. 2. 含有 未知数，并且含未知数的项的次数都 是 的方程组叫作三元一次方程组. 3. 解三元一次方程组的基本方法是 和 ⁠ ⁠. 三个　 1　 三个　 1　 代入消元法　 加减 消元法　 核心必知 三元一次方程的概念 1. 下列方程中是三元一次方程的是(　B　) A. x＋y2－2z＝5 B. 6x－y＝z C. ＋y－ 0 D. y＋3z＝7 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1星题　基础练 2. 若方程2xa＋1－3y2b＋3＋4z1－c＝0是关于x，y，z的三元 一次方程，则a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠. 0　 －1　 0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 三元一次方程组及其解的概念 3. 下列不是三元一次方程组的是(　B　) A. B. C. D. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4. [2024·娄底月考]下列四组数值中，是方程组的解的是(　D　) D A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解三元一次方程组 5. 解方程组最简便的消元方法是(　B　) A. 先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 先消去常数项 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6. 利用加减消元法解方程组下列做法 正确的是(　A　) A A. 要消去z，先①＋②，再①×2＋③ B. 要消去z，先①＋②，再①×3－③ C. 要消去y，先①－③×2，再②－③ D. 要消去y，先①－②×2，再②＋③ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7. 解下列三元一次方程组： (1)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：(1)由①，得z＝x－y， 把z＝x－y代入方程②，得x＋y＋x－y＝10， 解得x＝5. 把x＝5代入方程③，得15－y＝9，解得y＝6. 把x＝5，y＝6代入z＝x－y，得z＝－1. 因此，是原三元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝22， 两边同时除以2，得x＋y＋z＝11，④ ④－①，得z＝6，④－②，得x＝2， ④－③，得y＝3， 因此，是原三元一次方程组的解. 三元一次方程组的应用 8. 某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如 下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？设每队胜1场 积x分，平1场积y分，负1场积z分，根据题意，可列方 程组为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9. 已知等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝4；当x＝1时，y＝8；当x＝2时，y＝25，则当x＝3时，y＝ ⁠. 52　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10. 若关于x，y，z的方程x｜a｜－1＋3y｜a＋1｜－5z＝0是三 元一次方程，则a＝ ⁠. －2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2星题　中档练 11. 三元一次方程组消去一个未知数后，所 得二元一次方程组是(　A　) A A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12. [2024·周口月考]已知是三元一次方程组 的解，那么a＋b＋c的值为(　A　) A A. B. 6 C. 9 D. 18 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 点拨：已知是三元一次方程组 的解，所以 三式相加，得4(a＋b＋c)＝18，解得a＋b＋c＝ ，故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13. 解下列三元一次方程组： (1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：由①×2＋②，得5x＋8y＝7.④ ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组得把x＝3，y＝－1代入方程①， 得3＋3×(－1)＋2z＝2，解得z＝1. 因此，为原三元一次方程组的解. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 解：①＋②－③，得z＝1， 把z＝1代入①，②，得 ⑤×3＋④，得x＝3， 把x＝3代入方程④，得y＝2， 因此，为原三元一次方程组的解. 14. 【创新题·新考法】已知□、△、〇分别代表一个数字， 且满足以下三个等式： □＋□＋△＋〇＝17，□＋△＋△＋〇＝14，□＋△＋ 〇＋〇＝13， 则□、△、〇分别代表什么数字？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 由①－②，得x－y＝3，由②－③，得y＝1＋z，所以x＝4＋z，把x＝4＋z，y＝1＋z代入①，得z＝2，所以x＝6，y＝3.所以原方程组的解为即□代表6、△代表3、〇代表2. 解：设□代表x，△代表y，〇代表z， 由题意，得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $$第3章　一次方程(组) 全章整合与提升 湘教 七年级上册 五个概念 方程及其解 1. [2023·西安期末]下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2 ＋x－2＝0；④ ＋2＝0；⑤3x－2；⑥x－y＝0，是方 程的有 .(只填序号) ①③④⑥　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 全章整合与提升 2. [2024·长沙月考]下列方程中，解为x＝4的是(　C　) A. x－1＝4 B. 4x＝1 C. 4x－1＝3x＋3 D. 2x－1＝1 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 一元一次方程及其解 3. 若(m－2) 6是关于x的一元一次方程，则m的值 是 ⁠. 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 4. [2024·石家庄月考]小明在做题时不小心用墨水把方程污染 了，污染后的方程为x－3 ＋ ，答案显示此方程 的解是x＝－8，若被墨水遮盖的是一个常数，则这个常 数是 ⁠. 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 二元一次方程及其解 5. [2024·杭州月考]下列方程中是二元一次方程的是(　B　) A. xy－1＝0 B. 2x＋3y＝4 C. 2－x D. x2－2x＝0 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 6. [2024·周口月考]已知二元一次方程x＋y＝8，请写出该方 程的一组正整数解： ⁠. (答案不唯一)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 二元一次方程组及其解 7. [2024·西安月考]下列方程组中是二元一次方程组的 是 .(填写序号) ① ② ③ ④ ④　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 8. 方程组的解为则被△和□遮盖的 两个数分别为 ⁠. 2，－6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 三元一次方程组及其解 9. [2024·郑州月考]下列方程组中，是三元一次方程组的是 (　D　) D A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 10. [2024·济南月考]若是三元一次方程组 的解，则k的值是 ⁠. －15　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 一个性质 等式的基本性质 11. [2024·岳阳月考]如图，从一个平衡的天平两边分别拿走一个砝码，天平仍平衡，下面与这一事实相符的是(　C　) C A. 如果a＝b，那么a＋c＝b＋d B. 如果a＝b，那么ac＝bc C. 如果a＝b，那么a－c＝b－c D. 如果a＝b，那么 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 三种解法 一元一次方程的解法 12. 解方程：3－ . 解：3－ ， 去分母，得30－2(1－2x)＝5(3x－1)， 去括号，得30－2＋4x＝15x－5， 移项，合并同类项，得－11x＝－33， 系数化为1，得x＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 二元一次方程组的解法 13. 解方程组如果用加减消元法消去n， 那么下列方法可行的是(　D　) A. ①×4＋②×3 B. ①×4－②×3 C. ①×3－②×4 D. ①×3＋②×4 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 14. 解下列方程组： (1)　　　 解：(1)把①代入②，得3x＋2x－4＝1， 解得x＝1.把x＝1代入①，得y＝－2. 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 (2)①×2＋②，得7x＝14，解得x＝2. 把x＝2代入①，得4＋y＝2，解得y＝－2. 所以原方程组的解为 (2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 三元一次方程组的解法 15. 三元一次方程组的解是 　　. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 二个应用 一元一次方程的应用 16. 一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和为8，把 这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对 调后组成的两位数，则这个两位数是 ⁠. 62　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 点拨：设这个两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为(8－x)，这个两位数为10(8－x)＋x，对调后的两位数为10x＋(8－x)， 依题意，得10(8－x)＋x－36＝10x＋(8－x)， 解得x＝2，所以8－x＝6，所以这个两位数为62. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 17. [2024·遂宁月考]某商场购进一批服装，进价为200元，提 价50％后标价，由于换季滞销，商场决定将这种服装打 折销售，若打折后每件服装仍能获利20％，则该服装是 按几折销售的？ 解：设该服装是按x折销售的，由题意，得 200(1＋50％)×0.1x－200＝200×20％，解得x＝8. 答：该服装是按8折销售的. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 二元一次方程组的应用 18. 对于多项式kx＋b，当x＝1时，多项式的值为4，当x＝2时，多项式的值为－5，那么k＝ ，b＝ ⁠. －9　 13　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 19. 我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、 羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊 各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两 银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分 别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题，请解答. (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 解：(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子， 根据题意，得解得 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 19. 我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、 羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊 各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两 银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分 别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题，请解答. (2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问该商人有几种购买方法？列出所有的可能. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 解：(2)设购买a头牛，b只羊，根据题意，得3a＋2b＝19， 所以b .因为a，b都是正整数， 所以或或 所以有3种购买方法：①购买1头牛，8只羊； ②购买3头牛，5只羊；③购买5头牛，2只羊. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 两种特殊方法 整体代入法 20. 阅读以下材料，解决问题：对于某些数学问题，灵活运 用整体思想，可以化难为易，在解二元一次方程组时， 就可以运用整体代入法：如解方程组 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 我们可以将①直接代入②，得到3－y＝－2，解得y＝ 5，将y＝5代入①，得x＝10，所以原方程组的解为 请你用这种方法解方程组： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 解： 由①，得4x－2y＝－4，③ 将③代入②，得 ＋4y＝9，解得y ，将y 代入①， 得x ，所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 换元法 21. 解方程组： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 解：设x＋y＝m，x－y＝n，则原方程组可化为 解得所以 解得所以原方程组的解为 三个易错点 忽略二元一次方程的未知数的系数不为0 22. 若方程x｜a｜－1＋(a－2)y＝1是关于x，y的二元一次方 程，则a＝(　B　) A. 2 B. －2 C. 2或－2 D. 0 点拨：因为方程x｜a｜－1＋(a－2)y＝1是关于x，y的二元一次方程，所以a－2≠0且｜a｜－1＝1，解得a＝－2. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 解方程去分母漏乘或代入过程中符号忘变号致错 23. [2023·杭州一模]下面是圆圆解方程 1的 过程. 解：去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝1， 去括号，得4x＋2－5x－1＝1， 移项，得4x－5x＝1－2＋1， 合并同类项，得－x＝0， 系数化为1，得x＝0， 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请找出来， 并写出正确的解答过程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 解：圆圆的解答过程有错误，去分母时和去括号时；正确解答过程如下： 原方程去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6， 去括号，得4x＋2－5x＋1＝6， 移项，得4x－5x＝6－2－1， 合并同类项，得－x＝3， 系数化为1，得x＝－3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 解的情况考虑不全面 24. 若关于x，y的方程组有正整数解，则正整 数a为 ⁠. 1或2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 23 24 $$