专题6.1 数列的概念与简单表示法【九大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题6.1 数列的概念与简单表示法【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 4 【题型2 累加法求通项公式】 4 【题型3 累乘法求通项公式】 5 【题型4 构造法求通项公式】 6 【题型5 数列的周期性】 6 【题型6 数列的单调性】 6 【题型7 数列的最大（小）项】 7 【题型8 数列中的规律问题】 8 【题型9 数列的恒成立问题】 9 1、数列的概念与简单表示法 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) (2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 2021年北京卷：第10题，4分 数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容. 【知识点1 数列的概念与基本知识】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 【知识点2 数列的通项公式的求解策略】 1．由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 2．由数列的递推关系求通项公式： (1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. (2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. (3)构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识点3 数列的性质有关问题的解题策略】 1．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 2．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【方法技巧与总结】 1．若数列{}的前n项和为，通项公式为，则=. 2．在数列{}中，若最大，则；若最小，则. 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 【例1】（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A．2024 B．2023 C．4047 D．4048 【变式1-2】（2024·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【题型2 累加法求通项公式】 【例2】（23-24高二·全国·单元测试）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列 中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 【变式2-3】（2023·山西·模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 累乘法求通项公式】 【例3】（2024高三下·全国·专题练习）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【题型4 构造法求通项公式】 【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【变式4-2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【题型5 数列的周期性】 【例5】（2024·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式5-1】（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】（2024·四川宜宾·二模）在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式5-3】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知数列，若 ，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则的前2 024项的和为（    ） A．0 B．1 C．－5 D．－1 【题型6 数列的单调性】 【例6】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，则“”是是递增数列的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 数列的最大（小）项】 【例7】（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（    ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【变式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）已知数列是递增数列，且，数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【题型8 数列中的规律问题】 【例8】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【变式8-1】（2023·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（    ） A．1012 B．1016 C．1912 D．1916 【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（    ） A．145 B．181 C．221 D．265 【变式8-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（    ） A．12 B．13 C．40 D．121 【题型9 数列的恒成立问题】 【例9】（23-24高三上·湖北襄阳·期末）数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（    ） A．3 B．6 C．12 D．15 【变式9-1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为 ． 【变式9-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．（2024·山东济南·三模）若数列的前项和，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 3．（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（    ） （参考数据：，，） A．10 B．9 C．8 D．7 6．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是（   ） A．， 都有最小值 B．， 都有最大值 C．， 都无最小值 D．， 都无最大值 7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，数列满足，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024·四川绵阳·二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列满足，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．存在，使得 C． D． 10．（2024·福建泉州·模拟预测）数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为递增数列 D．为周期数列 11．（2024·辽宁沈阳·二模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列单调递减 B．若对任意，都有，则 C．若，则对任意，都有 D．若的最大项与最小项之和为正数，则 三、填空题 12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知一数列：，则该数列的通项可以表示为 . 13．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列的前三项依次为的前项和，则 ． 14．（2024·北京·三模）已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 15．（23-24高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 16．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)设，求使数列取得最大值时n的值． 17．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)议，当取得最小值时，求n的取值． 18．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 19．（2024·湖北荆州·三模）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. (1)判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. (2)设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. (3)若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 数列的概念与简单表示法【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 4 【题型2 累加法求通项公式】 6 【题型3 累乘法求通项公式】 8 【题型4 构造法求通项公式】 10 【题型5 数列的周期性】 11 【题型6 数列的单调性】 13 【题型7 数列的最大（小）项】 15 【题型8 数列中的规律问题】 17 【题型9 数列的恒成立问题】 19 1、数列的概念与简单表示法 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) (2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 2021年北京卷：第10题，4分 数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容. 【知识点1 数列的概念与基本知识】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 【知识点2 数列的通项公式的求解策略】 1．由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 2．由数列的递推关系求通项公式： (1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. (2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. (3)构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识点3 数列的性质有关问题的解题策略】 1．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 2．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【方法技巧与总结】 1．若数列{}的前n项和为，通项公式为，则=. 2．在数列{}中，若最大，则；若最小，则. 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 【例1】（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由代入即可求得. 【解答过程】，当时，， 当也满足， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A．2024 B．2023 C．4047 D．4048 【解题思路】利用数列的通项和前n项和公式求解. 【解答过程】解：由题意可得， 当时，； 当时，， 两式相减得，即． 综上所述， 所以， 故选：C． 【变式1-2】（2024·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 由题中等式，可得，再结合时，可得. 【解答过程】当时，有，所以， 当时，由，， 两式相减得， 此时，，也满足， 所以的通项公式为. 故选：B. 【变式1-3】（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】由已知和式求出通项的通项，从而得出，再由已知条件，从而求出，类似的往前推，求出即可. 【解答过程】时， 时， ， 故选：D. 【题型2 累加法求通项公式】 【例2】（23-24高二·全国·单元测试）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，利用累加法得出. 【解答过程】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得 ， 又，所以. 故选：B. 【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列 中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 解法一：由结合累加法得出；解法二：由逐项验证即可. 【解答过程】 由 及，得，即. 法一: ， 这个式子累加，得 2 )，即， 又当时，，符合上式，所以 . 法二: 由，得，经逐一验证得正确. 故选：A. 【变式2-2】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 【解题思路】由递推公式用累加法公式求出，再求即可. 【解答过程】法一：由题得 ， 所以. 法二：由题，， 所以. 故选：C. 【变式2-3】（2023·山西·模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件写出递推关系式，运用累加法求得通项公式，赋值可判断A项、B项、D项，分别计算与比较大小可判断B项. 【解答过程】由相邻层球的个数差，可知，， 所以当时，， 将代入得，符合 所以， 对于A项，当时，，故A项错误； 对于B项，当时，，故B项错误； 对于C项，因为， 所以， ， 所以，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 故选：D. 【题型3 累乘法求通项公式】 【例3】（2024高三下·全国·专题练习）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数列递推式，得，两式相减，可得，利用累乘法，即可得到结论 【解答过程】由于数列中，，前项和， ∴当时，， 两式相减可得： ∴， 所以， 因此， 故选：A. 【变式3-1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 由，可得，然后利用累乘法可求得结果 【解答过程】由，得， 所以，，，……，，，（）， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足上式，所以， 故选：B. 【变式3-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由得，两式相减得，把分别代入，用累乘法得，，再验证也成立，即可得到. 【解答过程】由得， 两式相减得: , 即，即，即，. 所以，，，…，. 相乘得：……， 即，因为，所以，. 当时，，所以. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 【解答过程】解：由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，因为，所以， 故选：C． 【题型4 构造法求通项公式】 【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过构造等差数列的方法，先求得，进而求得. 【解答过程】由，得， 所以， 所以，两边取倒数得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， . 故选：A. 【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【解题思路】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解. 【解答过程】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【解题思路】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【解答过程】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【解题思路】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项. 【解答过程】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 【题型5 数列的周期性】 【例5】（2024·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【解题思路】根据递推公式代入检验可知数列是以6为周期的周期数列，结合周期性分析求解即可. 【解答过程】因为，，， 令，可得；令，可得； 令，可得；令，可得； 令，可得；令，可得； 可知数列是以6为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 【变式5-1】（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解. 【解答过程】由，得 ， ， ， ， ， ， 则是以6为周期的周期数列， 所以. 故选：C. 【变式5-2】（2024·四川宜宾·二模）在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解题思路】用去换中的，得，相加即可得数列的周期，再利用周期性运算得解. 【解答过程】由题意得，用替换式子中的，得， 两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列. 又，，. 所以数列的前2024项和. 故选：A. 【变式5-3】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知数列，若 ，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则的前2 024项的和为（    ） A．0 B．1 C．－5 D．－1 【解题思路】根据，递推出数列是以6为周期的周期数列求解. 【解答过程】解：因为，所以， ， 则数列是以6为周期的周期数列，又， 所以， 故选：D. 【题型6 数列的单调性】 【例6】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可. 【解答过程】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立； 为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立. 所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式6-1】（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，则“”是是递增数列的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】当时，则， 所以，即，所以是递增数列，故充分性成立； 当时，则，所以是递增数列， 所以当数列是递增数列，可以大于，所以必要性不成立， 所以“”是是递增数列的充分不必要条件. 故选：B. 【变式6-2】（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知条件推得数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【解答过程】因为， 所以， 由于，即， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则，因为数列是递增数列，可得， 即对任意的正整数都成立． 当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减， 可得，则； 当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增， 可得，则； 综上可得的取值范围是． 故选：B． 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得到是等比数列，利用等比数列的通项公式得到，利用是递减数列列出关于的不等式，进而求出的取值范围. 【解答过程】将整理得， 又，易知当时,，不满足是递减数列，故， 因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 故，因此， 由于是递减数列，故恒成立，得， 化简得，故， 因此，解得， 故选：B． 【题型7 数列的最大（小）项】 【例7】（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（    ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【解题思路】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可. 【解答过程】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立），故， 令，即， 解得，，故，即第九项最大. 故选：B. 【变式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】由题可得，利用数列的增减性可得最值，即求. 【解答过程】∵数列的前项积， 当时，， 当时，，， 时也适合上式， ∴， ∴当时，数列单调递减，且 ，当时，数列单调递减，且 ， 故的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为2. 故选：C. 【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）已知数列是递增数列，且，数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解题思路】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与的差，即可列式计算得解. 【解答过程】数列是递增数列，且，而数列的前10项和为定值， 为使取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与的差最小， 则，， 因此，解得，所以的最大值为7. 故选：C. 【变式7-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【解题思路】分奇偶分别作差，判断奇数项的单调性以及偶数项的单调性，从而得出结果. 【解答过程】当 ， ， 当时，，递增；当时，，递减，故最大， 当时， ， ， 当时，，递减；当时，，递增，故最小， 综上，既有最大项，又有最小项. 故选：C. 【题型8 数列中的规律问题】 【例8】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【解题思路】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项. 【解答过程】六边形数从小到大排成一列，形成数列， 依题意，，归纳得， 所以. 故选：C. 【变式8-1】（2023·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（    ） A．1012 B．1016 C．1912 D．1916 【解题思路】根据题意，给出数列的前几项，观察其规律，得到奇数项和偶数项的通项公式，代入即可求解. 【解答过程】观察此数列，偶数项为，可得此时满足， 奇数项为，可得， 所以，，则， 所以. 故选：C. 【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（    ） A．145 B．181 C．221 D．265 【解题思路】由给定的勾股弦数组序列中，，，得，由 ，得. 【解答过程】因为，所以． 在给定的勾股弦数组序列中，，所以． 易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为， 所以， 故“弦”的通项公式为 ． 所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于． 故选：C． 【变式8-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（    ） A．12 B．13 C．40 D．121 【解题思路】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果. 【解答过程】设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为， 依题意可得，且有， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， ①； 又，， 故有， ∴为常数数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列， ②； 由①②相加减得： ，； 所以． 故选：C． 【题型9 数列的恒成立问题】 【例9】（23-24高三上·湖北襄阳·期末）数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（    ） A．3 B．6 C．12 D．15 【解题思路】 先将条件变形得到，进而构造常数数列求出的通项公式，代入，通过参变分离，求最值即可. 【解答过程】由已知， 两边同时除以可得 ， 即， 即， 则数列为常数数列， 所以， 所以， 又恒成立， 即恒成立， 因为，， 所以， 所以 又 所以要恒成立，有，所以. 故选：A. 【变式9-1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得，，结合，且恒成立，得到或，且，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【解答过程】由数列的前项和为， 当时，可得， 又由当时，，适合上式， 所以数列通项公式为， 由数列满足且，可得， 即， 各式相加可得， 又由，所以，所以， 因为，且恒成立， 当，，，符合题意； 当，则满足且且，即，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为 ． 【解题思路】由与的关系，可求得，进而求出与的值，当时，可得两个等差数列的通项公式，由相邻两项间的大小关系，即可求得的取值范围. 【解答过程】法一：因为，当时，，两式相减得，则，两式相减得． 当时，，则；当时，，则． 则． 要使对恒成立，则即解得， 所以的取值范围为. 法二：，当时，， 两式相减得，则， 两式相减得，所以数列都是以2为公差的递增数列， 要使对恒成立，只需而， 则解得, 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式9-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【解题思路】将恒成立，转化为恒成立，令，求得其最大项即可. 【解答过程】解：由，得， 所以. 设， 则. 设，则， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得，即在上单调递减， 又，，， 所以当时，，即， 所以. 当时，，即，所以. 综上，，所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·山东济南·三模）若数列的前项和，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【解题思路】根据与关系求解即可. 【解答过程】. 故选：C. 2．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 【解题思路】根据题意，得到数列的偶数项的通项公式为，即可求解. 【解答过程】由题意，大衍数列的偶数项为， 可得该数列的偶数项的通项公式为， 所以此数列的第30项为. 故选：C. 3．（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由递增数列定义可得，代入计算即可得解. 【解答过程】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故. 故选：A. 4．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，得，从而，再利用累乘法求解. 【解答过程】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 5．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（    ） （参考数据：，，） A．10 B．9 C．8 D．7 【解题思路】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果. 【解答过程】设，则， 因为， 可知数列为递增数列， 且， ， 可知，所以. 故选：C. 6．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是（   ） A．， 都有最小值 B．， 都有最大值 C．， 都无最小值 D．， 都无最大值 【解题思路】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案． 【解答过程】因为，所以当时，且单调递减； 当时，，且单调递减，故当时，为最小值； 又因为当时，；当时，，故可得最小， 综上可知，都有最小值． 故选：A. 7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，数列满足，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据函数解析式判断函数奇偶性，判断函数的单调性，根据已知的条件推得数列的周期，从而计算的出结果； 【解答过程】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数，且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故选：B. 8．（2024·四川绵阳·二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件先求解出的通项公式，A：根据的通项公式结合指数函数的单调性进行判断；B：根据的结果进行判断；C：根据的通项公式结合的表达式进行分类讨论再判断；D：判断的单调性，然后分析的取值范围. 【解答过程】当时，， 当时，， 所以不满足的情况， 所以， 对于A：当时，由指数函数单调性可知：，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：当时，，满足； 当时，，不满足， 故不恒成立，故C错误； 对于D：当时，，满足； 当时，由指数函数的单调性可知为递减数列，此时， 且恒成立，所以，也满足； 所以，故D正确； 故选：D. 二、多选题 9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列满足，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．存在，使得 C． D． 【解题思路】根据递推公式分别求出和可判断A；将两边同时取倒数后配方，再适当放缩可得到，即可判断B；根据，再利用累加法可判断C；根据，再利用累乘法可求出即可判断D. 【解答过程】 ，，易知，， 对于A， ，，故A正确； 对于B， ， ， ，两边开方得，故B错误； 对于C，由B知，，即， 当时， ， ， ， 即，当且仅当时等号成立， ，故C正确； 对于D，由C知，，即，当且仅当时等号成立， 当时， ， ，故D错误. 故选：BD. 10．（2024·福建泉州·模拟预测）数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为递增数列 D．为周期数列 【解题思路】根据题意，分别求得，，，得到数列构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解． 【解答过程】解：由题意，数列满足， ， 当时，，当时，，A错误； 当时，； 若为奇数，则，为偶数，，为奇数， 则，，，； 若为偶数，则，为奇数，，为偶数， 则，，，. 所以数列是以4为周期的周期数列. 故 ，B正确： 又由，故递增，C正确； 由上述讨论可知，的项为1，，1，，故是周期数列，D正确． 故选：BCD． 11．（2024·辽宁沈阳·二模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列单调递减 B．若对任意，都有，则 C．若，则对任意，都有 D．若的最大项与最小项之和为正数，则 【解题思路】对于选项A，求出，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B，求解，再分为奇数与偶数的情况讨论即可；对于选项C，分为奇数与偶数的情况讨论，进而求和分析是否为0即可；对于选项D，先将条件转化为：到距离最小的正奇数到的距离大于到距离最小的正偶数到的距离，再分情况讨论即可. 【解答过程】对于选项A，由条件知，，而， 结合，知，所以， 所以，即数列单调递减，故A正确； 对于选项B，首先有. 若，则当n为偶数时，，从而必成立； 而当n为奇数且时，由，知，，从而，即，这意味着. 所以只要，就一定有恒成立，所以由恒成立不可能得到，故B错误； 对于选项C，显然当同为奇数或同为偶数时，必有同号，故； 而当的奇偶性不同时，为奇数，此时不妨设分别是奇数和偶数，则 ， 因为，故为偶数，而为奇数，所以， 所以，故C正确； 对于选项D，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项. 当为偶数时，要让最大，即要让最小； 而当为奇数时，要让最小，即要让最小. 设和分别是到距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于. 而，故条件等价于，即. 这表明，条件等价于，到距离最小的正奇数到的距离，大于到距离最小的正偶数到的距离. 若，则到距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由可知，不符合条件； 若，是正奇数，则到距离最小的正奇数到的距离为0，不可能大于到距离最小的正偶数到的距离，不符合条件； 若，且不是正奇数，设到的距离最近的正偶数为，则. 此时到距离最小的正偶数到的距离为，从而到距离最小的正奇数到的距离大于，进一步知任意正奇数到的距离都大于. 从而，，这意味着，，所以. 综上，，，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知一数列：，则该数列的通项可以表示为 （答案不唯一） . 【解题思路】观察数列前几项的特征，写出数列的一个通项即可. 【解答过程】因为，，， ，，，， 所以该数列的通项可以表示为. 故答案为：（答案不唯一）. 13．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列的前三项依次为的前项和，则 2024 ． 【解题思路】根据题意列方程得到，然后根据求即可. 【解答过程】由题意知，，， 解得，，， 所以，. 故答案为：2024. 14．（2024·北京·三模）已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是 ② . 【解题思路】①:先确定最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到，再进一步通过放缩判断；③④求出，然后举例排除. 【解答过程】对于①：，则， 则，即， 假设长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形， 则为斜边，所以， 所以，所以或，与矛盾，故①错误； 对于②：，当且仅当等号成立， 所以，所以， 所以，②正确； 对于③：由已知，此时，所以不成立，③错误； 对于④：由已知，此时，所以不成立，④错误. 故答案为：②. 四、解答题 15．（23-24高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 【解题思路】找出数列的规律，由此求得递推关系，从而求得第项. 【解答过程】（1）因为：，， ，， 所以，即． 从而． （2）因为， 所以3，即． 从而． （3）因为， 所以 ．即． 从而． 16．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)设，求使数列取得最大值时n的值． 【解题思路】（1）根据递推关系得到前三项，猜想通项并利用新数列的关系加以证明； （2）写出数列的通项公式，利用，可求n的取值范围. 【解答过程】（1）由题意得，，猜想， 式子可化为， 因为，所以， 因此数列的通项公式为，得证． （2）由得，，所以， 若，当且仅当成立，则， 当时，， 当时，， 故时，取最大值. 17．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)议，当取得最小值时，求n的取值． 【解题思路】（1）由数列中与的关系即可求解； （2）分n为奇数和n为偶数时求出的表达式，观察其单调性即可得的最小值，从而求出n的取值. 【解答过程】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当n为奇数时，， 当，时， 因为单调递增，∴， 综上，当n为奇数时，； 当n为偶数时，， 因为单调递增，∴． 综上所述，当取得最小值时，n的取值为1，2，3． 18．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由前项和与通项的关系可求通项，要注意讨论的情况； （2）先求出的通项公式，代入求得，根据递增数列的定义写出不等式关系，再将不等式恒成立问题转化为最值问题进行求解. 【解答过程】（1）因为，所以当时，， 当时，，所以，即. （易错：利用公式时，容易忽略的情况） 当时，得；当时，得. 当时，， 所以通项公式为. （2），， . 数列是递增数列， ，即，化简得， 对任意的恒成立，由函数性质知是递增数列，最小项是， ，（关键：将不等式恒成立问题转化为最值问题进行求解） 的取值范围是. 19．（2024·湖北荆州·三模）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. (1)判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. (2)设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. (3)若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据周期数列的定义进行判断即可； （2）由（1）可知，是周期为的数列，得到数列，求出，通过讨论得到的取值范围； （3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，推导出数列是周期为的周期数列，进一步得到数列的周期为，推断出，而该方程无解，所以，不存在非零常数，使得是周期数列. 【解答过程】（1）均是周期数列，理由如下： 因为， 所以数列是周期数列，其周期为1， 因为， 所以.则，所以， 所以数列是周期数列，其周期为6； （2）由（1）可知，是周期为的数列， 计算数列为：， 故， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； 综上所述：存在，且. （3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列， 所以，即， 所以，，即， 所以，，即， 所以数列是周期为的周期数列， 因为 ，即， 因为， 所以，，， 所以数列的周期为， 所以，即，显然方程无解， 所以，不存在非零常数，使得是周期数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$