重难点03 抛物线中5类题型训练-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

重难点03 抛物线专题训练 01思维导图 02题型精练 题型01 抛物线的定义应用 1.（23-24高二上·浙江·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为（   ） A． B．1 C．2 D．4 2.（23-24高二上·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 3.（23-24高二上·四川成都·期中）已知实数满足，则点的轨迹为（    ） A．抛物线 B．双曲线 C．一条直线 D．两条直线 4．（23-24高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知直线过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补． 题型02 抛物线的标准方程 1.（23-24高二下·河南安阳·期中）已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 3.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二上·江苏南京·期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 5.（23-24高二上·内蒙古通辽·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.点A在抛物线C上，点B在准线上，若是边长为4的等边三角形，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 题型03 抛物线的焦半径 1.（23-24高二上·广西柳州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·北京·期中）已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ） A．6 B． C．8 D． 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知抛物线（）的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，若是边长为6的等边三角形，则的值是（    ）． A．3 B． C．6 D． 5．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高二上·福建厦门·期中）（多选）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 题型04 求直线与抛物线的相交弦 1.（23-24高二上·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·湖南·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二下·湖南邵阳·期中）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 5.（23-24高二下·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 6.（23-24高二上·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 题型05 抛物线中综合应用 1.（23-24高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·四川德阳·期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为 . 3．（23-24高二上·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 . 4．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为 ． 5.（23-24高二上·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 6.（23-24高二上·浙江金华·期中）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的准线方程； (2)若时，求点的横坐标； (3)已知点是抛物线上的一动点，定点，则当点在抛物线上移动时，求的最小值. 03强化训练 1.（23-24高二上·河南·期中）设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B．14 C． D． 2．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 3．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24高二下·北京东城·期中）2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设为抛物线的焦点，若点在上，则（    ） A．3 B． C． D． 7.（23-24高二上·上海宝山·期中）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 8.（2024·广东江门·二模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． (1)求的方程； (2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 9．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知抛物线：，点为抛物线外一点（如图），过点D作的两条切线，切点分别为A，B. (1)求证：直线的方程为； (2)若在直线上，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 10．（23-24高二上·重庆·期中）设抛物线，圆．已知上的点到的准线的距离的最小值为2． (1)求； (2)倾斜角为的直线与交于两点，与交于两点． （i）若为圆的直径，求的面积； （ii）当取最大值时，求直线在轴上的截距． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 抛物线专题训练 01思维导图 02题型精练 题型01 抛物线的定义应用 1.（23-24高二上·浙江·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为， 所以由抛物线可得，则焦点到其准线的距离为2. 故选：C 2.（23-24高二上·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知，， 要使点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和最小，则当Q，P，F三点共线时最小，最小值为. 故选：A. 3.（23-24高二上·四川成都·期中）已知实数满足，则点的轨迹为（    ） A．抛物线 B．双曲线 C．一条直线 D．两条直线 【答案】D 【详解】因为， 所以两边平方得， 化简整理得，所以， 所以或，即点的轨迹方程为或， 所以点的轨迹为两条相交直线. 故选：D 4．（23-24高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知直线过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）曲线上的动点到点的距离比到直线的距离小1， 动点到直线的距离与它到点的距离相等． 故所求轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且， ． 点的轨迹的方程为． （2）证明：由题知直线的斜率存在且不为零， 设的方程为， 联立得， ，所以. 设，，    ，． ， ，． 即直线与直线的倾斜角互补． 题型02 抛物线的标准方程 1.（23-24高二下·河南安阳·期中）已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，解得， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 2.（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 3.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 4.（23-24高二上·江苏南京·期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为抛物线方程为，即，可知其准线为， 又因为圆，即，可知圆心为，半径， 由题意可得：，解得. 故选：C. 5.（23-24高二上·内蒙古通辽·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.点A在抛物线C上，点B在准线上，若是边长为4的等边三角形，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为是边长为4的等边三角形， 由题意可知，，由抛物线定义可得， 设准线与轴的交点为D，如下图所示： 因此与平行，由 ，可得， 所以，即. 故选：A. 题型03 抛物线的焦半径 1.（23-24高二上·广西柳州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，解得：，所以抛物线的准线方程为 故选：A 2.（23-24高二上·北京·期中）已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为3， 所以，， ， 因为，所以， 解得或（舍）， 故选：B 3．（23-24高二上·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】因为点到C的准线的距离为4，所以，解得． 故选：C 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知抛物线（）的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，若是边长为6的等边三角形，则的值是（    ）． A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由题知，，则．设准线与轴交于点，则． 又是边长为6的等边三角形，， 所以，， 即． 故选：A. 5．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点到直线的距离为， 所以点到抛物线准线的距离为， 由抛物线的定义得，. 故选：D. 6.（23-24高二上·福建厦门·期中）（多选）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误； 对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 题型04 求直线与抛物线的相交弦 1.（23-24高二上·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 2.（23-24高二下·湖南·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则，即． 又，即，抛物线方程为． 故选：. 3.（23-24高二下·湖南邵阳·期中）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：， 联立，消去可得：，解得, 不妨令,则, 故． 故选：C. 4.（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】D 【详解】由题意得，当的斜率为0时，不满足要求， 设直线的方程为，联立得， 设， 则， 故， 则. 故选：D 5.（23-24高二下·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】联立方程组，整理得， 设直线与曲线的交点为， 可得，解得，且， 由弦长公式， 可得 ， 解得. 故答案为：. 6.（23-24高二上·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设方程为，， 由并化简得， 则， ，故 所以抛物线方程为. （2）由（1）知方程为， 则原点O到的距离 所以. 题型05 抛物线中综合应用 1.（23-24高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C 2.（23-24高二上·四川德阳·期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为 . 【答案】 【详解】设，则，所以， 当时，； 当时，，当且仅当即时取等号，所以， 由上可知，取最小值时，，所以. 故答案为：. 3．（23-24高二上·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 . 【答案】 【详解】点P在曲线上，设， 则点P到直线l的距离为， 当时，. 故答案为：. 4．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为 ． 【答案】7 【详解】曲线可变形为 令，解得， 可知曲线恒过点， 因为在抛物线上，则，解得， 所以的方程为，可知的焦点为，准线为， 又因为，可知点在抛物线内， 设点在准线上的投影为，则， 因为， 当且仅当与的准线垂直时，等号成立， 所以点到的焦点与到点的距离之和的最小值为7． 故答案为：7. 5.（23-24高二上·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 6.（23-24高二上·浙江金华·期中）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的准线方程； (2)若时，求点的横坐标； (3)已知点是抛物线上的一动点，定点，则当点在抛物线上移动时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）抛物线，所以其准线方程为：. （2）设，，则，所以， 又点为线段的中点，所以点的横坐标为：. （3）抛物线焦点为，其准线方程为：， 由抛物线的定义可知点到焦点的距离即为点到准线的距离， 为点到定点的距离与点到准线的距离之和， 要使得的最小， 则点在一条直线上且垂直于准线， 故最小值即为点到准线的距离为. 03强化训练 1.（23-24高二上·河南·期中）设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B．14 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，因为，准线为， 设，根据抛物线的定义，， 得到，于是， 所以. 故选：D 2．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【详解】如图所示： 设切点为Q，则， 则， 设，则由两点间距离公式得到， 解得，因为，所以， 因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为. 故选：A. 3．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意作下图： ， ， 垂直于轴， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 故选：B． 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意得，，即，解得. 故选：. 5．（23-24高二下·北京东城·期中）2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点 设抛物线的方程为，则，解得， 抛物线的焦点，准线方程为，， 所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为. 故选：B 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设为抛物线的焦点，若点在上，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，解得，所以的准线为，所以， 故选:D． 7.（23-24高二上·上海宝山·期中）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【答案】 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 8.（2024·广东江门·二模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． (1)求的方程； (2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设． 因为点的坐标为，所以， 由得， 则， 从而 得，所以的方程为． （2）证明：因为点的坐标为，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为． 设，由可得， 则 所以． 由（1）可知， 因为点A，P的纵坐标分别为，且，所以 可得，即． 9．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知抛物线：，点为抛物线外一点（如图），过点D作的两条切线，切点分别为A，B. (1)求证：直线的方程为； (2)若在直线上，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，，由得， 所以在处的切线方程为， 同理在处的切线方程为， 两条切线都过，所以，， 显然A，B两点都在直线上， 所以直线的方程为. （2）若在直线上，则直线的方程为， 即直线过定点，不妨设直线的方程， 由，可得， 于是，， 设为线段的中点，则， 由于，而，与向量平行， ∴，解得或， 当时，，所求圆的方程为； 当时，，所求圆的方程为. 10．（23-24高二上·重庆·期中）设抛物线，圆．已知上的点到的准线的距离的最小值为2． (1)求； (2)倾斜角为的直线与交于两点，与交于两点． （i）若为圆的直径，求的面积； （ii）当取最大值时，求直线在轴上的截距． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）． 【详解】（1）圆是以为圆心3为半径的圆， 抛物线的准线方程为． 因为上的点到的准线距离的最小值为2，所以，解得． （2）（i）若为圆的直径，则过点， 又因为的倾斜角为，斜率为1，所以的方程为． 设． 由得，即， 解得． 因此，的面积为 （ii）设：，由于与交于两点，    则到的距离为， 由，得．① 由勾股定理，． 由于与交于两点，由得． 判别式，得．② 由①②可知． 设，则． 所以． 则． 令，则，由基本不等式， ． 当且仅当，即时等号成立，取得最大值， 此时的方程为，在轴上的截距为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$