重难点02 双曲线中6类题型训练-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

重难点02 双曲线专题训练 01思维导图 02题型精练 题型01 双曲线的定义应用 1.（23-24高二上·江西·期中）若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 3.（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C． (1)证明：曲线C为双曲线的一支； (2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 题型02 双曲线的标准方程满足的条件 1.（23-24高二上·广东湛江·期中）（多选）已知曲线的方程为，则（　　） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线为双曲线，其焦距为 2.（23-24高二上·广东中山·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 3.（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（    ） A．Γ可能是等轴双曲线 B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C．Γ可能是半径为的圆 D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 题型03 焦点三角形 1.（2024·辽宁·二模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·福建福州·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二上·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 5.（23-24高二上·上海·期中）设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 . 6.（23-24高二上·福建厦门·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则 ． 题型04 双曲线的渐近线 1.（23-24高二上·湖北恩施·期中）已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（    ） A． B． C．5 D． 2.（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别，．是上一点(在第一象限)，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 4.（23-24高二上·浙江衢州·期中）（多选）已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（    ） A．双曲线的焦距为6 B．点到渐近线的距离为2 C．的最小值为 D．若，则的面积为 5.（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知双曲线（，）的右焦点为，经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线与双曲线的另一条渐近线相交于点，若    ，则双曲线的离心率 . 6．（23-24高二上·四川南充·期中）若是双曲线的右焦点，过作该双曲线的一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率为 . 7．（23-24高二上·河南·期中）已知双曲线 的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A，B 两点，且 ，，则该双曲线的离心率为   . 题型05 双曲线的离心率 1.（23-24高二上·云南·期中）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为轴于点，且．当最大时，点恰好在上，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2.（23-24高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（23-24高二上·广东·期中）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二上·山东烟台·期中）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 . 6.（23-24高二上·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 7．（23-24高二上·内蒙古通辽·期中）已知O为坐标原点，F为双曲线C：的左焦点，直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），若，且，则C的离心率为 . 题型06 直线与双曲线的位置关系 1.（23-24高二上·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 2.（23-24高二上·江苏南通·期中）（多选）已知为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则的周长为 B．弦长的最小值为 C．点P到两渐近线的距离之积为 D．点P与直线距离的最小值为1 3.（23-24高二上·广东深圳·期中）（多选）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与曲线交于A，B两点，则（   ） A．曲线的方程为 B．曲线的焦距为 C．满足的直线有2条 D．若，则直线与曲线有两个交点 4.（2023-2024·广东·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程与离心率； (2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，求的面积． 03强化训练 1.（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海·期中）已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二上·河南·期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D． 6.（23-24高二上·广东广州·期中）（多选）双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l：，，垂足为Q.当的最小值为3时，的中点在双曲线C上，则（    ） A．C的方程 B．C的离心率为 C．C的渐近线方程为 D．C的方程为 7．（23-24高二上·广东广州·期中）（多选）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（    ） A．双曲线的离心率为 B． C． D． 8.（23-24高二上·云南曲靖·期中）（多选）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 9.（2024·重庆·期中）（多选）已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（    ） A．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2 B．当时，面积为 C．当时，点M的坐标为 D．若，则 10.（23-24高二上·河北石家庄·期中）（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 双曲线专题训练 01思维导图 02题型精练 题型01 双曲线的定义应用 1.（23-24高二上·江西·期中）若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆：的圆心，半径， 双曲线：则，，， 设左焦点为，则，即， 所以， 当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号. 故选：A 2.（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 【答案】 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为． 故答案为： 3.（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C． (1)证明：曲线C为双曲线的一支； (2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线恒过定点，， 【详解】（1）证明：由题意知圆M：的圆心为，圆N：的圆心为 如图，设圆E的圆心为，半径为r， 由题可得圆M半径为3，圆N半径为1，则，， 所以， 由双曲线定义可知，E的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支 又，，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，， 即曲线的方程为.    （2）设直线的方程为， 联立，消去得，    由题意直线与曲线有两个交点，则，, 设，，其中，， 由韦达定理得：，， 又点，所以，， 因为，所以， 则 ， 即，解得（舍去）， 当，直线的方程为，， 故直线恒过点，． 题型02 双曲线的标准方程满足的条件 1.（23-24高二上·广东湛江·期中）（多选）已知曲线的方程为，则（　　） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线为双曲线，其焦距为 【答案】AB 【详解】对于A：当时，曲线的方程为，表示圆心为坐标原点，半径为的圆，故A正确； 对于B：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故B正确； 对于C：当时满足，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，故C不正确； 对于D：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，故D不正确． 2.（23-24高二上·广东中山·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 【答案】AC 【详解】若，即时，曲线表示圆，A正确； 当时，表示双曲线，其渐近线方程为，B不正确； 若表示双曲线，则有，即或，C正确； 若表示椭圆，则，解得且，D不正确. 故选：AC 3.（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（    ） A．Γ可能是等轴双曲线 B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C．Γ可能是半径为的圆 D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 【答案】BCD 【详解】对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误； 对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得，故B正确； 对于C，Γ是圆，则，解得，半径为，故C正确； 对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则， 解得，故D正确. 故选：BCD. 题型03 焦点三角形 1.（2024·辽宁·二模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示 由题意知，解得 记的右焦点为，即， 由双曲线的定义，得，即 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立, 所以的最小值为. 故选：C. 2.（23-24高二上·福建福州·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B. 3.（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，可得， 取的中点，连接，可知， 因为，可得， 则， 可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：B. 4.（23-24高二上·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 5.（23-24高二上·上海·期中）设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 . 【答案】3 【详解】因为点在的右支上，为双曲线左、右焦点， 所以， 又，， 所以. 故答案为：. 6.（23-24高二上·福建厦门·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则 ． 【答案】 【详解】由双曲线的离心率为，得双曲线半焦距，又， 则，由双曲线的定义得， 于是， 在中，由余弦定理得， 在中，，设，则， 由得 ，解得，即， 所以. 故答案为： . 题型04 双曲线的渐近线 1.（23-24高二上·湖北恩施·期中）已知双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为， 依题意，，则其离心率为 故选：B. 2.（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别，．是上一点(在第一象限)，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 设，则，因为，所以，根据双曲线的定义：， 因为，由勾股定理得：，所以. 所以：， ，. 在中，. 在中，. 因为，，所以， 从而，即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：A 3.（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为， 由，解得，，即点的坐标为， 由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为， 代入双曲线的方程，有， 即，， 解得，所以双曲线的离心率为． 故选：A 4.（23-24高二上·浙江衢州·期中）（多选）已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（    ） A．双曲线的焦距为6 B．点到渐近线的距离为2 C．的最小值为 D．若，则的面积为 【答案】AC 【详解】如图： 由双曲线的标准方程，可知，，所以，所以双曲线的焦距为：，故A正确； 双曲线的渐近线为，即，点到渐近线的距离为： ，故B错误； 设双曲线的左焦点为,根据双曲线的定义：， 所以，故C正确； 在中，由，，， 由余弦定理得：， 所以， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 5.（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知双曲线（，）的右焦点为，经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线与双曲线的另一条渐近线相交于点，若    ，则双曲线的离心率 . 【答案】 【详解】易知，如图，由对称性不妨设直线，， 由，消得到， 则， 因为，所以，得到，即， 将代入，整理得到， 又易知，所以，得到，即， 所以双曲线的离心率， 故答案：. 6．（23-24高二上·四川南充·期中）若是双曲线的右焦点，过作该双曲线的一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】因为双曲线的渐近线为， 不妨设过作一条渐近线垂直的垂线垂直于（即），如图， 因为，则， 又，所以， 因为的面积为， 所以，即，所以， 设渐近线的倾斜角为，所以， 则，解得，即， 则. 故答案为：. 7．（23-24高二上·河南·期中）已知双曲线 的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A，B 两点，且 ，，则该双曲线的离心率为   . 【答案】 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为 ， 由，有， F 到渐近线的距离，     ，， ，， 则 ， 由，有， 即 ， 解得 ，则有 ，所以离心率 故答案为： 题型05 双曲线的离心率 1.（23-24高二上·云南·期中）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为轴于点，且．当最大时，点恰好在上，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题可得，设 因为轴，且，所以为中点，， 设，则，可得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即时，取得最大值，即最大， 此时可得，代入双曲线方程得，，即，则， 故选：D． 2.（23-24高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】如图所示， 由双曲线的定义可知：， 所以，又有，因为， 即手， 所以则为等边三角形，， 由余弦定理可得： ，解得． 故选：B 3．（23-24高二上·广东·期中）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，所以， 设，则， 设，则，， 因为平分，由角平分线定理可知 所以， 所以， 由双曲线定义知，则，则， 所以， 又由，可得， 所以，，， 在中，由余弦定理知， 在中，由余弦定理知， 化简得，解得． 故选：B． 4.（23-24高二上·山东烟台·期中）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设双曲线的半焦距为c，， ，根据题意得到， 又， 故，设的中点为C， 在中，，， 故， 则，， 根据， 可知， 故，可得. 故选：C. 5.（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】不妨设点在第一象限，设，又， 所以 ， 所以， 因为为的中点，所以，即， 所以 ， 所以，即，即 所以，则. 故答案为：.    6.（23-24高二上·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 【答案】 【详解】如图所示，椭圆， 因为, 所以， 又因为， 所以， 故， 双曲线的一条渐近线设为， 即，故， 所以双曲线离心率， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高二上·内蒙古通辽·期中）已知O为坐标原点，F为双曲线C：的左焦点，直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），若，且，则C的离心率为 . 【答案】 【详解】设双曲线右焦点为，连接， 由对称性可知，，，， 因为，所以，故四边形为矩形，， 因为，所以， 由双曲线定义可得， 由勾股定理得， 由题意得， 即，解得， 故，解得， 离心率为. 故答案为： 题型06 直线与双曲线的位置关系 1.（23-24高二上·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 2.（23-24高二上·江苏南通·期中）（多选）已知为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则的周长为 B．弦长的最小值为 C．点P到两渐近线的距离之积为 D．点P与直线距离的最小值为1 【答案】ABC 【详解】    如图，双曲线的渐近线方程为. 对于A项，因,又， 则的周长为 ，故A项正确； 对于B项，不妨设直线的直线方程为，与双曲线方程联立， 消去，整理得：，， 设，则，显然，故， 则弦长 ,因，则，故， 即时，弦长的最小值为，故B项正确； 对于C项，设到双曲线两渐近线的距离分别为， 则，因，故得，故C项正确； 对于D项，因双曲线的渐近线与直线平行， 而点到渐近线的距离大于零，且趋近于零， 因渐近线与直线的距离为， 故点到直线距离大于1，故D项错误. 故选：ABC. 3.（23-24高二上·广东深圳·期中）（多选）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与曲线交于A，B两点，则（   ） A．曲线的方程为 B．曲线的焦距为 C．满足的直线有2条 D．若，则直线与曲线有两个交点 【答案】AC 【详解】对于A：设点，由已知得，整理得， 所以点的轨迹曲线的方程为，故A正确； 对于B：，，，焦距为，故B不正确； 对于C：直线与曲线的方程联立， 整理得，设，， ，且 则有，， 所以， 要满足，则需，解得或， 当时，，，而曲线上：，从而不满足题意， 当时，直线不过和两点，故满足题意， 所以满足条件的直线有2条，故C正确； 对于D：曲线的渐近线为，直线经过焦点，与渐近线平行，且不经过，则有一个交点，故D不正确. 故选：AC 4.（2023-2024·广东·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程与离心率； (2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，求的面积． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为，则， 由一条渐近线方程为，得，而，解得，， 所以双曲线的标准方程为，离心率. （2）依题意，设直线：，， 由消去y并整理得，显然， 则，， 由， 而，解得，于是，，直线：交y轴于， 又， 所以的面积为.    03强化训练 1.（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，由双曲线的对称性， 不妨设在第一象限，此时，， 所以， 不妨设直线的方程为，，令，解得， 不妨设直线的方程为，令，解得， 所以，， 不妨设，的外接圆的半径分别为， 由正弦定理得，， 所以，当且仅当，时，等号成立， 所以． 故选：D． 3．（23-24高二上·上海·期中）已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 因为为双曲线上异于的两点， 所以，即. 根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，() 令 ，得. 用代替，得直线：，令得， 所以. 设，的外接圆半径分别为，，则，， 所以，当且仅当 此时两个三角形外接圆得面积比：. 故选：B 4.（23-24高二上·河南·期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为 设双曲线的一条渐近线方程为，则， . 故选：D． 5.（23-24高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D． 【答案】BCD 【详解】 由题意知：，不妨取，由， 即，所以， 所以，所以以为直径的圆过点， 所以圆的直径，所以圆的方程为：， 设，连接，则四边形为矩形，则， 则的面积为：，且， 联立，解得， 再由， 所以离心率，故A错误，B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确； 对于D，不妨设点在第一象限，由对称性可知， ，代入中，得， 所以，由对称性知：当，， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 6.（23-24高二上·广东广州·期中）（多选）双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l：，，垂足为Q.当的最小值为3时，的中点在双曲线C上，则（    ） A．C的方程 B．C的离心率为 C．C的渐近线方程为 D．C的方程为 【答案】BCD 【详解】由双曲线定义知，，则 焦点到渐近线的距离，则的最小值为，即有， 由，得，的中点为， 将其代入双曲线的方程，得，解得， 又，因此， 所以双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为，A错误，BCD正确. 故选：BCD . 7．（23-24高二上·广东广州·期中）（多选）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（    ） A．双曲线的离心率为 B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意可知：， 因为直线：， 可知直线过右焦点，斜率， 设直线的倾斜角为，则，可得， 设， 由，可得，，，故B正确； 在中，可知， 由余弦定理可得：， 即，解得或（舍去）， 可得双曲线的离心率为，，故D正确，A错误； 在中，可知， 由余弦定理， 即，解得，故C错误； 故选：BD. 8.（23-24高二上·云南曲靖·期中）（多选）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确. 不妨设点在的右支上，则.因为， 所以.在中，， 则， 所以的面积， 故C，D正确. 故选：BCD 9.（2024·重庆·期中）（多选）已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（    ） A．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2 B．当时，面积为 C．当时，点M的坐标为 D．若，则 【答案】AC 【详解】A：易知，又双曲线的一条渐近线方程为， 则到该渐近线的距离为，又，所以， 所以，得双曲线的离心率为，故A正确； B：在中，，得， 由余弦定理得，即， 得，所以的面积为， 又，所以，故B错误； C：因为，，所以， 由角平分线定理可得，得，又， 所以，又，所以，故C正确； D：延长交于点，连接，如图， 易知，即，所以， 又分别是的中点，所以， 所以， 又点P在第一象限，故直线的斜率必小于渐近线的斜率， 设渐近线的倾斜角为，由，得， 则，即，整理得， 又，所以，解得，故D错误. 故选：AC    10.（23-24高二上·河北石家庄·期中）（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 【答案】AB 【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确； 对B，因为，，则， 又，故，即， 故，故B正确； 对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有 与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误； 对D，设存在两点，为中点，则， 即，又，故， ，故，即. 由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点， 故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.    故选：AB 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$