精品解析：河南省信阳市普通高中2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题

2023—2024学年普通高中高一下学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 2. 若向量，则（ ） A B. 2 C. 1 D. 0 3. 已知，，是平面直角坐标系内的三点，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 12 C. D. 6 4. 曲线与曲线关于x轴对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 若复数满足，则在复平面上所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若函数图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若向量，满足，则 B. 若非零向量，满足，则 C. 若，，为平面向量，则 D. 若，，为非零向量，且满足，则 11. 已知的三个内角的对边分别是，面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 取值范围是 B. 若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C. 若是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若角的平分线与边相交于点，且，则等于2 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量均为单位向量，且，则的夹角为__________． 13. 若，则__________. 14. 如图所示，在平行四边形中，，垂足为点.设，，，，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. m为何实数时，复数满足下列要求： （1）是纯虚数； （2）在复平面内对应的点在第二象限； 16. 已知，点在直线上，且，求点的坐标. 17. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间. 18. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得． （1）求BN和AM的长度； （2）求之间距离． 19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. （1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若，；，，且与具有关系，求的像； （3）若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年普通高中高一下学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到的共轭复数，再利用模长公式求解模长即可. 【详解】因为，所以，故. 故选：D 2. 若向量，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解. 【详解】依题意得，即. 故选：D. 3. 已知，，是平面直角坐标系内的三点，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 12 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积运算判断两边垂直，再由模长公式求出边长即可求解三角形的面积. 【详解】因为，， 所以，即， 所以， 故选：C 4. 曲线与曲线关于x轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个函数图象关于对称，利用对称性求解解析式即可. 【详解】设图象上任意点， 则点关于x轴对称的对称点在图象上， 所以，即， 所以 故选：D 5. 若复数满足，则在复平面上所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，化简复数，结合共轭复数以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数，在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 6. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的对称性直接求解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，得， 因为，所以. 故选：C. 7. 已知函数为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性和对称性求出函数解析式，利用同角三角关系结合二倍角公式整理可得所求等于，再由即可得解. 【详解】∵为偶函数，， 又， 又∵函数图象上相邻对称轴之间的距离为， ∴，则， ， 则， 即， ∴ . 故选：D. 8. 课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，取单位向量，由结合平面向量数量积的定义化简可得结果. 【详解】如下图所示，过点作， 在中，，取单位向量， 则，即， ，，， 所以，，即. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数的奇偶性以及单调性，逐项判断即可. 【详解】选项A：为偶函数，且在上是增函数，故A正确； 选项B：为偶函数，且在上是增函数，故B正确； 选项C：为偶函数，但在上是减函数，故C不正确； 选项D：为偶函数，且在上是增函数，故D正确. 故选：ABD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若向量，满足，则 B. 若非零向量，满足，则 C. 若，，为平面向量，则 D. 若，，为非零向量，且满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数量积的定义结合平行向量定义判断A，根据数量积的运算律及垂直的向量表示判断B，利用向量数量积的运算性质判断CD. 【详解】对A：由得， 解得或，即向量与方向相同或相反，所以，正确； 对B：由得，， 则，整理得， 又已知，是两个非零向量，故，正确； 对C：表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以不一定成立，错误； 对D：若，则成立，但不一定成立，错误. 故选：AB. 11. 已知的三个内角的对边分别是，面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C. 若是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若角平分线与边相交于点，且，则等于2 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：借助面积公式与余弦定理得，借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的值域即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，利用正切函数性质即可得；对D：借助等面积法化简计算即可得. 【详解】因为， 则，整理得， 且，所以. 对于选项A：因为 ， 又因为，则，可得， 所以的取值范围为，故A正确； 对于选项B：因为为边的中点，则， 则， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：由正弦定理得， 因为锐角中，，所以， 解得，故，所以， 所以，故C正确； 对于选项D：由题意得， 即， 整理得，即，故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量均为单位向量，且，则的夹角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，再根据向量夹角公式计算可得. 【详解】,解得, ,且， 所以与的夹角为, 故答案为：. 13. 若，则__________. 【答案】##0.28 【解析】 【分析】令，代入，利用三角公式变形计算即可. 【详解】令，则， 所以 故答案为：. 14. 如图所示，在平行四边形中，，垂足为点.设，，，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线得到，根据数量积公式得到，，即可得到，然后解方程即可. 【详解】，且三点共线， ①， 又， 则， 由可知， 展开，化简得到② 联立①②解得，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. m为何实数时，复数满足下列要求： （1）是纯虚数； （2）在复平面内对应的点在第二象限； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】化简复数的表示方式. （1）根据纯虚数的定义进行求解即可； （2）根据第二象限内点的坐标正负性进行求解即可. 【详解】解： ． 由z是纯虚数，可得，解得， 即时，z是纯虚数． 由，得， 即时，z在复平面内对应的点在第二象限． 16. 已知，点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】或. 【解析】 【分析】设，根据题意，转化为，结合向量的坐标表示与运算，列出方程组，即可求解. 【详解】由，可得， 设，可得， 因为点在直线上，且，可得， 当时，可得，解得，即点； 当时，可得，解得，即点， 综上可得，点的坐标为或. 17. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）由图象可得，由周期公式可得，代入点计算可得值，进而可得函数的解析式； （2）根据正弦函数单调性求解即可. 【小问1详解】 由图象可知，，． 设的最小正周期为，，， ，又，且， ．. 函数的解析式为. 【小问2详解】 ，， 由和，解得和. 可得函数的单调递增区间为和. 18. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得． （1）求BN和AM的长度； （2）求之间的距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解出，再利用条件得到； （2）在中，利用条件和（1）中的结果，求出，在中，再利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 中，由题知,，所以， 由正弦定理得，所以， 在中，又因为，得到， 所以. 【小问2详解】 在，由（1），，， 所以， 在中，，，，由余弦定理得，所以. 19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. （1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若，；，，且与具有关系，求的像； （3）若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【答案】（1）不具有，理由见解析； （2）或或； （3）或， 【解析】 【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可； （2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可； （3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可. 【小问1详解】 与不具有关系， 理由如下：时，，，所以， 则与不具有关系； 【小问2详解】 由题意可知 ， 所以， 又，所以， 解之得或或， 即的像为或或； 【小问3详解】 对于，则，所以， 即， 因为与具有关系， 所以要满足题意需，使得即可. 令， 令，则，设， ①若，即时，， 则， ②若，即时，， 则， ③若，即时，， 则或，显然无解， ④若，即时，， 则或，显然无解， 综上所述：或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$