精品解析：新疆乌鲁木齐地区2024届高三下学期第三次质量监测数学试题

乌鲁木齐地区2024年高三年级第三次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定4位置上. 2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出阴影为，在直接计算即可. 【详解】图中阴影部分为，因为，， 所以，. 故选：A. 2. 若是虚数单位），则的值分别等于（ ） A. 4， B. 4， C. 0， D. 0， 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案． 【详解】，，． 则，的值分别等于4，． 故选：B． 3. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式求出、即可. 【详解】因为且， 所以，解得，则，即，解得. 故选：C 4. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算及，，，即可得出，，，然后根据对数函数的单调性即可得出，， 的大小关系． 【详解】， ，． 故选：A． 5. 数列是等差数列，是数列的前项和，是正整数，甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质、充分条件、必要条件求解． 【详解】数列是等差数列，是数列的前项和，，， ，是正整数， 甲：，乙：， 则甲不能推出乙， 例如等差数列1，2，3，4，5，，中， ，，，，， ，但，即充分性不成立； 乙不能推出甲， 例如等差数列1，2，3，4，5，，中， ，，，，， ，但，即必要性不成立， 甲是乙的不充分不必要条件． 故选：D． 6. 三棱锥中，平面 ， ，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理先求出底面三角形 的外接圆半径，再利用为三棱锥的高， 为外接球半径），即可求解． 【详解】在 中， ，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设 的外接圆半径为， 则，所以， 平面 ，且， 设三棱锥外接球半径为 ， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 7. 直线，的斜率分别为1，2，，夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基本关系计算可得结果. 【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C 8. 已知符号函数，则函数零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的定义计算即可. 【详解】当，即 时，， 在上恒成立， 所以在单调递减， 因为， 所以存在使得 . 当，即时，， 因为，所以是的零点. 当，即时，，， 令，得，令，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 此时在 没有零点， 综上，的零点个数为2. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 某运动员的特训成绩分别为：9，12，8，16，12，16，13，20，18，16，则这组数据的（ ） A. 极差为12 B. 众数为16 C. 平均数为14 D. 第80百分位数为16 【答案】ABC 【解析】 【分析】按照从小到大的顺序将数据重新排列，再根据极差、众数、平均数、百分位数的定义即可得出结果. 【详解】将数据从小到大排列可得：8，9，12，12，13，16，16，16，18，20； 所以极差为，即A正确； 其中16出现了3次，出现次数最多，所以众数为16，即B正确； 平均数为，即C正确； 因为，所以第80百分位数为第8个和第9个数的平均值，即，即D错误. 故选：ABC 10. 已知双曲线的右焦点为F，过原点O作斜率为k的直线交双曲线于A，B两点，且，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设出直线方程并与双曲线方程联立，利用对称性以及数量积的坐标表示即可得出的取值范围. 【详解】不妨设直线方程为，， 联立，消去 并整理可得，此时恒成立； 由韦达定理可得； 因为直线过原点，所以A，B两点关于原点对称， 可得，解得， 又易知，所以双曲线右焦点； 因此， 即可得， 代入，得，解得或； 综上可得或， 易知双曲线渐近线方程为，且， ； 所以，因此的可能取值是. 故选：BC 11. ，运算“”为，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ABCD 【解析】 【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ABCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92 分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 下表为某商品某年前5个月的平均价格与月份的统计数据： 月份代码x 1 2 3 4 5 平均价格y（元） 17 16 20 18 19 用方程拟合上述数据，当残差的平方和达到最小值时，______； 【答案】## 【解析】 【分析】依题意，当线性回归方程经过样本点中心时，残差平方和最小，据此可以求解. 【详解】 所以样本点中心为 当线性回归方程经过样本点中心时，残差平方和最小 所以 解得 故答案为： 13. 设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为______； 【答案】## 【解析】 【分析】根据四边形OMNP为正方形，设出点 的坐标，代入椭圆的方程中，再结合点的坐标特点，得到与的关系，最后结合的关系，求椭圆的解离心率即可. 【详解】 因为四边形OMNP为正方形，结合图形可知 ，可设， 则 ，则，的坐标为， 所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 14. 数列是公比为q（）的等比数列，前n项和为，数列满足，，，依次类推，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式可求得的表达式，计算即可得出结果. 【详解】根据题意依据数列的规律可知； 又因为数列是公比为q（）的等比数列， 所以可得； 而；所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为m，求证． 【答案】（1） 在上单调递减；在上单调递增； （2） 由（1）可知当时，， 所以， 设， 则， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以． 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论：①；②.分别判断的符号，即可得的单调性； （2）由（1）可知当时，设，求导分析单调性、最值，即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，，所以 在上单调递增； 当时，令， 解得， 当时，， 当时，， 所以 在上单调递减；在上单调递增； 【小问2详解】 略 16. 某学科测试题有多项选择题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；…．学生在作答某题时，对四个选项能正确地判断，判断不了（不选）和错误的判断的概率如下表： 选项 作出正确的判断 判断不了（不选） 作出错误的判断 A 0.4 0.2 0.4 B 0.2 0.3 0.5 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 已知此题的正确选项为AD． （1）求学生答此题得6分的概率； （2）求学生此题得分的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 0 3 6 0.685 0.225 0.09 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）设学生此题得分为 ，则 的所有可能取值为，，，根据独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到 的分布列，再结合期望公式求解． 【小问1详解】 设事件表示“学生答此题得6分”，选项A、D作出正确判断，且选项B、C作出正确判断或判断不了， 所以； 【小问2详解】 设学生此题得分为 ，则 的所有可能取值为，，， 所以， ，则， 所以 的分布列为： 0 3 6 0.685 0.225 0.09 所以． 17. 直线l与锐角 的边AB夹角为 ，如图所示，l的方向向量为，设 ， ， ． （1）计算 ，并由此证明 ； （2）根据（1）证明， ． 【答案】（1） 在 中，，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 即 . （2） 因为 ． 所以当时，， 即 ，得， 当 时， ， ， ， 所以，所以 ． 【解析】 【分析】（1）由可求得 ，再计算向量的数量积即可得证； （2）对（1）中的结论分别赋值和 ，再化简变形即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，． （1）证明平面； （2）证明平面平面； （3）若， ，与底面ABCD所成角为60°，求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 如图补全平行六面体，连接交于点，连接， 在平行六面体，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又 为 的中点，为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又所以平面，平面，所以平面. （2） 因为底面是菱形，所以， 又因为，，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）补全平行六面体，连接交于点，连接，由平行四边形证得，即可得到线面平行； （2）由底面是菱形，得到，由等腰三角形三线合一得到，从而得到线面垂直，进而得到面面垂直； （3）由几何体的体积先求出几何体的高，建立空间直角坐标系，由与底面ABCD所成角为60°，求出的坐标，进而用向量求出与平面所成角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 因为截后的几何体体积为5，所以平行六面体体积为6， 又因为， ，设平行六面体的高为， 所以，所以，， 以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴， 过O与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，则， 又因为，， 因为，所以， 所以，因为与底面ABCD所成角为， 平面ABCD的一个法向量为， 所以， 又，，由图可知，所以 ，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取一个法向量， 设与平面所成角为 ，则， 所以与平面所成角的余弦值为． 19. 已知抛物线， 的三边AB，AC，BC所在直线分别与抛物线相切于点，点． （1）求直线的方程； （2）证明； （3）证明 的垂心在定直线上． 【答案】（1） （2） 由（1）得直线的方程为，直线 的方程为， 设，所以直线BC的方程为， 联立方程，可得， 即点的横坐标， 联立，可得， 即点的横坐标为，可得点的纵坐标为， 所以， ， 所以； （3） 因为，边BC上的高所在直线方程为， 同理边AB上的高所在直线方程为， 联立得， 所以 的垂心H在定直线上． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出抛物线的过点的切线方程，再求出的坐标，由此可求的方程； （2）设，求抛物线过点 的切线方程，联立求 坐标，结合两点距离公式证明结论； （3）求边， 上的高的方程，联立求交点，证明结论. 【小问1详解】 因为，即， 所以， 设抛物线过点的切线的切点坐标为， 则切线方程为， 因为在切线上，所以， 解得或，不妨设 的横坐标小于的横坐标， 则，，所以直线的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐地区2024年高三年级第三次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定4位置上. 2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若是虚数单位），则的值分别等于（ ） A. 4， B. 4， C. 0， D. 0， 3. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 数列是等差数列，是数列的前项和，是正整数，甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 三棱锥中，平面 ， ，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 直线，的斜率分别为1，2，，夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知符号函数，则函数零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 某运动员的特训成绩分别为：9，12，8，16，12，16，13，20，18，16，则这组数据的（ ） A. 极差为12 B. 众数为16 C. 平均数为14 D. 第80百分位数为16 10. 已知双曲线的右焦点为F，过原点O作斜率为k的直线交双曲线于A，B两点，且，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 11. ，运算“”为，则（ ） A. B. C. D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92 分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 下表为某商品某年前5个月的平均价格与月份的统计数据： 月份代码x 1 2 3 4 5 平均价格y（元） 17 16 20 18 19 用方程拟合上述数据，当残差的平方和达到最小值时，______； 13. 设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为______； 14. 数列是公比为q（）的等比数列，前n项和为，数列满足，，，依次类推，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为m，求证． 16. 某学科测试题有多项选择题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；…．学生在作答某题时，对四个选项能正确地判断，判断不了（不选）和错误的判断的概率如下表： 选项 作出正确的判断 判断不了（不选） 作出错误的判断 A 0.4 0.2 0.4 B 0.2 0.3 0.5 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 已知此题的正确选项为AD． （1）求学生答此题得6分的概率； （2）求学生此题得分的分布列及数学期望． 17. 直线l与锐角 的边AB夹角为 ，如图所示，l的方向向量为，设 ， ， ． （1）计算 ，并由此证明 ； （2）根据（1）证明， ． 18. 由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，． （1）证明平面； （2）证明平面平面； （3）若， ，与底面ABCD所成角为60°，求与平面所成角的余弦值． 19. 已知抛物线， 的三边AB，AC，BC所在直线分别与抛物线相切于点，点． （1）求直线的方程； （2）证明； （3）证明 的垂心在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $