专题07 一元二次方程根的分布问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题07 一元二次方程根的分布问题 注意：本节专题提前涉及到第三章的部分简单概念 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、一元二次方程根的零分布 4 题型二、一元二次方程根的k分布 5 题型三、一元二次方程根在区间上的分布 6 压轴能力测评（9题） 6 一、二次函数相关知识 对于形如的二次函数，有以下性质： 1、判别式：；求根公式：； 2、韦达定理：，； 3、二次函数对称轴，定点坐标（，）． 二、一元二次方程的根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 1、方程有两个不等正根 2、方程有两个不等负根 3、方程有一正根和一负根，设两根为 三、一元二次方程根的k分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 大致图象（a>0） 得出的结论 大致图象（a<0） 得出的结论 综合结论 （不讨论a） 四、一元二次方程根在区间的分布 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 【题型一 一元二次方程根的零分布】 一、多选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 二、填空题 2．（23-24高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 三、解答题 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 4．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 5．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 6．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 【题型二 一元二次方程根的k分布】 一、填空题 1．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 2．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 3．（2023高一·全国·课后作业）关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 二、解答题 4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 5．（22-23高一上·全国·单元测试）已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 【题型三 一元二次方程根在区间上的分布】 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是 . 三、解答题 3．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数. (1)有两根，且，求实数a的取值范围； (2)有两根，且，求实数a的取值范围. 4．（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 5．（2023高三·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（22-23高一上·北京·期中）已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 三、解答题 4．（2023高一·江苏·专题练习）已知一元二次方程的两根都在内，求实数m的取值范围． 5．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围. (1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小； (2)至少有一个正根. 7．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 8．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 9．（22-23高一上·北京朝阳·阶段练习）已知函数 (1)若关于的不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围 (2)若关于的方程的两根为，，且，，求实数的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元二次方程根的分布问题 注意：本节专题提前涉及到第三章的部分简单概念 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、一元二次方程根的零分布 4 题型二、一元二次方程根的k分布 8 题型三、一元二次方程根在区间上的分布 11 压轴能力测评（9题） 14 一、二次函数相关知识 对于形如的二次函数，有以下性质： 1、判别式：；求根公式：； 2、韦达定理：，； 3、二次函数对称轴，定点坐标（，）． 二、一元二次方程的根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 1、方程有两个不等正根 2、方程有两个不等负根 3、方程有一正根和一负根，设两根为 三、一元二次方程根的k分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 大致图象（a>0） 得出的结论 大致图象（a<0） 得出的结论 综合结论 （不讨论a） 四、一元二次方程根在区间的分布 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 【题型一 一元二次方程根的零分布】 一、多选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【分析】对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于C,D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断; 【详解】对于A选项：当时，，此时， 此时方程没有实数根，故A选项错误； 对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确； 对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得：，故C选项正确; 对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得：，故D选项错误; 故选：BC. 二、填空题 2．（23-24高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用判别式与韦达定理得到关于的不等式组，从而得解. 【详解】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得. 故答案为：. 三、解答题 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，判别式即可求解； （2）根据一元二次方程有互异实数根,根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）已知关于的方程有实根， ∴， 整理得，∴或． 所以的取值范围为． （2）∵， ∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根． 又根据韦达定理两根之积为， 故无论为何值，关于的方程有两个异号实数根． 4．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【答案】 【分析】首先分和两种情况讨论，当时又分为方程有一正根一负根、有两个负实根两种情况，即可求解 【详解】①当时，解得，满足条件； ②当时，显然方程没有零根，由，得 设方程的两个实数根为 若方程有两异号实根，则 ，解得； 若方程有两个负的实根，则，解得 ． 综上，若方程至少有一个负的实根，则． 5．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论，结合二次函数性质可得； （2）由一元二次不等式的解集结合一元二次方程根的分布可得. 【详解】（1）当时，或. 当时，恒成立； 当时，，解得，不恒成立，舍去. 当时， 解得或. 综上可知，k的取值范围为或. （2）由可得或. 因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根， 所以关于x的方程有两个不相等的负根， 设为，，则， 解得， 综上可知，k的取值范围为. 6．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程两个不相等的实数根．则，两根同号则，解不等式组可得； （2）变形为，由韦达定理代入整理可得，由整数要求得，进而求解验证值可解. 【详解】（1）由题意得即， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）知，当时，方程有两个实数根， 可知， 于是， 由，则，则， 即要使的值为正整数，且为整数，则， 则有，化简得，则， 令，此时为整数，则满足题意． 故使得的值为整数的整数的值为. 【题型二 一元二次方程根的k分布】 一、填空题 1．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设，结合题意，得到，即可求解. 【详解】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 2．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 3．（2023高一·全国·课后作业）关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】不妨设关于的方程的两实数根为，，利用韦达定理推出矛盾，即可得解. 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，，则， 若两根均大于，则，矛盾， 故不存在实数，使得关于的方程的两根均大于， 即实数的取值集合为. 故答案为： 二、解答题 4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由题意可得，即可解得实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时的取值范围，然后考虑当、均为假命题时实数的取值范围，结合补集思想可求得、至少有一个是真命题，实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意，若为真，则，解得. （2）解：若为真，，方程两根为和，                          则由题意得，所以，      当、均为假命题时，有，可得. 因此，如果、中至少有一个为真时，或. 5．（22-23高一上·全国·单元测试）已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，    故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象，    由图知， ， 解得．所以的取值范围是． 【题型三 一元二次方程根在区间上的分布】 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 二、填空题 2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意方程在区间内有两个不同的根，根据二次方程根的分布即可求出参数的取值范围. 【详解】二次函数的对称轴为，且开口向上， 因为二次函数在区间上有两个零点， 所以方程在区间内有两个不同的根， 记方程的两根为，则， 解得，所以. 故答案为： 三、解答题 3．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数. (1)有两根，且，求实数a的取值范围； (2)有两根，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数两根异号可得且，解不等式即可求得实数a的取值范围； （2）由两根的分布范围可知，，，且对称轴在内，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）根据题意可知，函数开口向上, 若，所以只要， 解得； 因此可得，实数a的取值范围是； （2）依题意需满足， 解得； 即实数a的取值范围是. 4．（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得恒成立，分、两种情况讨论； （2）分、两种情况讨论，结合二次方程根的分布得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以恒成立， 当，即时，则，解得，显然不符合题意； 当时，则需满足，解得， 即的取值范围为 （2）若函数的两个零点在区间内， 显然， 当，则需满足，即，解得， 当，则需满足，即，解得， 综上可得. 5．（2023高三·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 二、填空题 2．（22-23高一上·北京·期中）已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设方程关于的方程的两根分别为、， 则，解得. 故答案为：. 3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用解题即可. 【详解】根据题意得到，即，解得. 故答案为：. 三、解答题 4．（2023高一·江苏·专题练习）已知一元二次方程的两根都在内，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的根的分布求解. 【详解】设， 由题意知：，即， 解得． ∴实数m的取值范围为． 5．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 6．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围. (1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小； (2)至少有一个正根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则由题意可得，求解即可得答案； （2）采用正难则反的原则再进行分类讨论即可. 【详解】（1）设， 则由题意可得，解得. （2）关于x的方程无实数根时，， 解得， 关于x的方程有两个负实数根时， ，解得， 所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时， 可得关于x的方程至少有一个正实数根，则. 7．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出； （2）令，设的两个根为，，故只需，求出答案； （3）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得. （3）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 8．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 【答案】10 【分析】根据一元二次方程根的分布的特征得出满足的条件，进而通过取值范围讨论求解即可. 【详解】由题意得，，即， 因为a，， 由，得， 若，则，即，无解； 若，则，即，无解； 若，则，即，则或， 显然时，取最小值10， 若，由，得， 所以的最小值为10. 9．（22-23高一上·北京朝阳·阶段练习）已知函数 (1)若关于的不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围 (2)若关于的方程的两根为，，且，，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）讨论是否为零，从而分别求解不等式；从而得到实数的取值范围； （2）由题意得，结合韦达定理，得，从而解得． 【详解】（1）解：①当时，不等式可化为， 解得，故不成立； ②当时， 的解集为全体实数， ， 解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）解：关于的方程的两根为，，且，， ， 即， 又，， ， 解得或； 故实数的取值范围为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$