专题26 函数模型的实际应用问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题26 函数模型的实际应用问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、二次函数模型 2 题型二、分段函数模型 3 题型三、指对幂函数模型 5 压轴能力测评（8题） 7 一、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 二、用函数模型解应用问题的四个步骤 1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3、求模：求解数学模型，得出数学模型； 4、还原：将数学结论还原为实际问题。 三、函数拟合与预测的一般步骤 1、通过原始数据、表格，绘出散点图； 2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； 3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； 5、利用选取的拟合函数进行预测； 6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。 【题型一 二次函数模型】 一、解答题 1．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 2．（24-25高一上·安徽·阶段练习）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）如图，宿迁市要在矩形地块上规划出一块矩形地块建造市民休闲中心，为了保护文物，市民休闲中心不能超越文物保护区的界线，经实地测量知，m，m，m，m，设. (1)试用表示； (2)问：怎样设计矩形市民休闲中心的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？ 4．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 5．（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x.    (1)已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 【题型二 分段函数模型】 一、解答题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费． (1)写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； (2)当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ (3)该企业在维持生产的条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？ 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 3．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所.如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的占地面积为100平方米的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米a元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元. (1)设长为x米，总造价为S元，求S关于x的函数表达式，并写出函数的定义域； (2)若市面上花坛造价每平方米225元，求总造价S的最小值，并求此时花坛的造价. 【题型三 指对幂函数模型】 一、解答题 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系： ①；②且. (1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式； (2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，） 2．（23-24高一上·四川泸州·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为： x 2 3 6 9 12 15 y 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 4．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？ （参考数据：，） 5．（23-24高一上·河南·期末）为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 一、解答题 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2023年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本4000万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2023年的利润(万元)关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； (2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 2．（22-23高一上·福建厦门·期末）中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十五号航天员乘组与神舟十四号航天员乘组太空在轨轮换.已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和.在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和x的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为0时，火箭的最大速度为0.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为4. (1)求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式； (2)当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到8？ 3．（23-24高一上·吉林·期末）茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是. (1)求的值； (2)经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到） （附：参考值） 4．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？ (2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种. ①每日进行定额财政补贴，金额为2400元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x. 请分别计算两种补贴方式下的最大利润，如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 5．（22-23高三上·安徽亳州·阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽亳州的诗句，亳州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.亳州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了亳州医药的发展，到明､清时期亳州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.亳州建有全球规模最大､设施最好､档次最高的“中国（亳州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价（单位：元/千克）与第天（）的函数关系满足（为正常数）.该中药材的日销售量（单位：千克）与的部分数据如下表所示： 4 10 20 30 149 155 165 155 已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价日销售量） (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型：①，②，③，④，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入（单位：元）的最小值. 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）假设某学习小组对家庭每月用水的收费提供了如下两种模型：模型一：若用水量不超过基本月用水量，则只付基本费8元和损耗费c元（）；若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按元进行付费；模型二：用函数模型（其中k，m，n为常数，且）来模拟说明每月支付费用y（元）关于月用水量的函数关系.已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为，和，支付的费用y分别为9元，19元和31元. (1)写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式； (2)写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型哪个更合理？ 7．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）为研究一款额定功率是1.5kw、自带水温显示的电动热水壶的加热效果，在壶中水温从加热之初的室温升至完全沸腾的过程中，某数学兴趣小组统计了多个关键数值量，包含壶中水量a（单位：升）、壶中水温x（单位：）、加热时间y（单位：秒）.我们选择了其中几个数据记录在如下表格中. 水量a（升） 温度x（） 时间y（秒） 3 10 0 50 320 80 560    (1)根据记录的多组数据，兴趣小组断定3升水量的加热时间y是关于壶中水温x的一次函数.试结合表中数据，计算此函数关系式；并计算在同样室温条件下，将壶中3升水从室温烧至沸腾（即）需要的总时间； (2)小组通过查阅资料，知道有如下科学论断： ①在同样条件下，将水烧到沸腾所花的时间与壶水量近似满足正比例关系； ②如果把水放在温度为的空气中冷却，若开始时水的温度是则t分钟后水温可由公式求得，其中，是由盛水的容器所确定的常量，为自然对数的底数. 因为要赶时间，现计划在10分钟内完成从水壶通电开始烧水，烧沸腾后立即放入容器，直到水温降到这一系列过程.根据以上论断，如在水壶中加入2升水，10分钟能完成整个过程吗？如时间够用，请说明理由：如时间不够用，请建议壶中应加入的水量. 参考数据：，. 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为. (1)已知，求常数、的值； (2)已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26 函数模型的实际应用问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、二次函数模型 2 题型二、分段函数模型 6 题型三、指对幂函数模型 9 压轴能力测评（8题） 14 一、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 二、用函数模型解应用问题的四个步骤 1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3、求模：求解数学模型，得出数学模型； 4、还原：将数学结论还原为实际问题。 三、函数拟合与预测的一般步骤 1、通过原始数据、表格，绘出散点图； 2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； 3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； 5、利用选取的拟合函数进行预测； 6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。 【题型一 二次函数模型】 一、解答题 1．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】(1)年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； (2)年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【详解】（1）依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. （2）设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 2．（24-25高一上·安徽·阶段练习）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)答案见解析； (2)年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【详解】（1）由题意可得当时，， 当时，， （2）由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元. 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）如图，宿迁市要在矩形地块上规划出一块矩形地块建造市民休闲中心，为了保护文物，市民休闲中心不能超越文物保护区的界线，经实地测量知，m，m，m，m，设. (1)试用表示； (2)问：怎样设计矩形市民休闲中心的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)长为，宽为，其面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意，利用平行线分线段成比例即可得解； （2）利用（1）中结论得到关于的函数，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，因为， 则，， 因为，所以，即，得， 所以，则. （2）由（1）得， ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时，，， 故当矩形市民休闲中心的长为，宽为时，其面积最大，最大面积为. 4．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 【答案】(1) (2)从第3年开始盈利 (3)方案①比较合理 【分析】（1）根据题目描述得到函数关系，化简即可. （2）根据题意列出不等关系，解不等式得到结果，向上取整即可. （3）①先表示出年平均盈利额，利用基本不等式求出去年平均盈利额最大年份，求出总获利；②由二次函数的性质求出盈利额最大年份，求出总获利；比较获利金额，金额相同比较时间，即可得到合理方案. 【详解】（1）依题得：， （2）解不等式，得：， ，，故从第3年开始盈利. （3）①， 当且仅当时，即时等号成立， 故第七年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元， ②，当时，， 故第十年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理. 5．（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x.    (1)已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 【答案】(1)（i）；（ii）当为米或米时，窗户面积最小，为平方米； (2)变好，理由见解析. 【分析】（1）（i）应用表示出窗户面积，求解一元二次不等式即可；（ii）设地板面积为，则有，解不等式求窗户面积最小值并确定对应值即可； （2）设分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【详解】（1）（i）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且， 所以，又矩形窗户面积，解得， 故的取值范围为. （ii）设地板面积为，解不等式组， 所以，即，解得，故窗户面积最小为， 令，可得，解得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米. （2）设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，则. 因为，所以，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 【题型二 分段函数模型】 一、解答题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费． (1)写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； (2)当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ (3)该企业在维持生产的条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？ 【答案】(1)； (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元； (3)5年. 【分析】（1）按、分类写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）结合二次函数的性质、基本不等式，按、分类，分别求出函数最大值后即可得解. （3）按照企业最大年利润计算，列出不等式即可得解. 【详解】（1）当时，年利润； 当时，； 所以. （2）由（1）知，当时，， 所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元； 当时，， 当且仅当万件时取等号，企业获得的利润最大为18万元，而， 所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元. （3）设最短用年后还清所有贷款，依题意，，解得， 所以企业最短用5年还清所有贷款. 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 【答案】(1)，； (2)当时，取得最小值元. 【分析】（1）利用表格提供数据求得，由此求得. （2）先求得的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得的最小值. 【详解】（1）由表格数据知，，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 由，解得， 因此，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，函数在上单调递减， ，而， 所以当时，取得最小值元. 3．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所.如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的占地面积为100平方米的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米a元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元. (1)设长为x米，总造价为S元，求S关于x的函数表达式，并写出函数的定义域； (2)若市面上花坛造价每平方米225元，求总造价S的最小值，并求此时花坛的造价. 【答案】(1) (2)元；元. 【分析】（1）利用几何图形的特征计算图形面积即可； （2）利用（1）的结论结合基本不等式可知，得出取等条件即可计算花坛造价. 【详解】（1）由题意可得，正方形的面积为，阴影部分面积为， 所以，且，则， 则 ； （2）由（1）可知， ， 当且仅当时，即,时等号成立， 此时花坛的造价为元. 【题型三 指对幂函数模型】 一、解答题 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系： ①；②且. (1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式； (2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，） 【答案】(1) (2)第二个模型与监测数据差距较小；总量再翻一番时还需要经过个月 【分析】（1）将前列数据代入第一个函数模型即可解方程组求得结果； （2）将前列数据代入第二个函数模型可求得第二个函数模型的解析式；再将列数据分别代入两个模型，比较预估值与检测数据即可确定差距较小的函数模型；将代入模型即可求得总量再翻一番时所需时长，进而得到结果. 【详解】（1）将前列数据代入第一个函数模型得：，解得：， 第一个函数模型的解析式为：. （2）将前列数据代入第二个函数模型得：，解得：， 第二个函数模型的解析式为：； 将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：； 将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：； 根据第列数据，第二个模型与监测数据差距较小； 总量翻一番时，，此时； 若总量再翻一番，则，由得：，， ，总量再翻一番时还需要经过个月. 2．（23-24高一上·四川泸州·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为： x 2 3 6 9 12 15 y 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个． 【答案】(1),理由见解析； (2)81 【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，故只有符合. （2）可选取数据，带入即可计算出，则当时即可求出答案. 【详解】（1）最符合实际的函数模型为①， 根据图像知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足， 又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，所以③不符合， 只有①满足，故最符合. （2）可选取表格中的两组数据为：， 代入得， 则， 当时，， 所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 【答案】(1)30（分贝） (2) (3) 【分析】（1）令，代入求出声音强度； （2）根据题意，得到，解出； （3）令，，解得即可 【详解】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）人在100分贝至120分贝的空间内会暂时失聪．令， 解得，令，解得， 所以当能量达到时会暂时失聪． 4．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？ （参考数据：，） 【答案】(1)， (2)2020年2月 【分析】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解； （2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数公式即可求解. 【详解】（1）若选择模型， 将分别代入得：， 解得，， 故函数模型为， 若选择模型， 将分别代入得：， 解得，， 故函数模型为． （2）把代入可得，， 把代入可得，， ， 选择函数模型更合适， 令，可得， 两边取对数可得，， ， 故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过 5．（23-24高一上·河南·期末）为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为 (2) 【分析】（1）利用现有函数模型，代入题设相关数据并检验即可判断； （2）利用（1）中结论，结全对数的运算法则即可得解. 【详解】（1）若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得与相差太大，不符合题意； 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得，符合题意， 综上，选择函数更合适，解析式为. （2）依题意，设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数，可得， 则， ，的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个. 一、解答题 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2023年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本4000万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2023年的利润(万元)关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）； (2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量45百辆时利润最大，最大利润为8640万元 【分析】（1）根据利润=销售量售价-成本，即可写出利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式； （2）当时，根据二次函数求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，比较两个最大值，即可解答. 【详解】（1）每辆车售价8万元，年产量(百辆)时销售收入为800x万元， 总成本为， （2）由（1）当时， 所以百辆时，(万元)； 当时， 当且仅当即(百辆)时，(万元)， 因为万元万元， 所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为8640万元. 2．（22-23高一上·福建厦门·期末）中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十五号航天员乘组与神舟十四号航天员乘组太空在轨轮换.已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和.在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和x的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为0时，火箭的最大速度为0.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为4. (1)求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式； (2)当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到8？ 【答案】(1) (2)燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到8 【分析】（1）有题意可得，求得的值，即可得该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式； （2）设且，根据（1）中关系式，代入即可解得的值，从而得答案. 【详解】（1）因为火箭的最大速度（单位：）和x的函数关系是， 又时，，；时，，， 所以，解得， 所以； （2）设且，则，又 所以时可得，即，解得 故燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到8. 3．（23-24高一上·吉林·期末）茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是. (1)求的值； (2)经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到） （附：参考值） 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据题意列出等量关系式，求解即可； （2）代入得 然后结合，求解时间； 【详解】（1）根据题意，当 代入函数模型，整理得：， 解得：. （2）假设自然冷却大约时间能达到最佳饮用口感， 则有：，代入， 得：， 所以刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置后才能达到最佳饮用口感. 4．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？ (2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种. ①每日进行定额财政补贴，金额为2400元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x. 请分别计算两种补贴方式下的最大利润，如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 【答案】(1)加工处理量为80吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态； (2)选择第一种补贴方式进行补贴，理由见解析. 【分析】（1）根据条件写出每吨厨余垃圾的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值，并判断处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态； （2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式. 【详解】（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为，. 又. 当且仅当，即吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低. 因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. （2）若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为， 由题可得， 因为，所以当吨时，企业最大获利为950元. 若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为， 由题可得， 因为，所以当吨时, 企业最大获利为850元. ，为了获得最大利润，选择第一种补贴方式进行补贴. 5．（22-23高三上·安徽亳州·阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽亳州的诗句，亳州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.亳州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了亳州医药的发展，到明､清时期亳州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.亳州建有全球规模最大､设施最好､档次最高的“中国（亳州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价（单位：元/千克）与第天（）的函数关系满足（为正常数）.该中药材的日销售量（单位：千克）与的部分数据如下表所示： 4 10 20 30 149 155 165 155 已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价日销售量） (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型：①，②，③，④，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入（单位：元）的最小值. 【答案】(1) (2)③，，最小值为3125元 【分析】（1）根据题中条件，第天该中药的日销售收入为元，将其代入函数关系式中即可求出的值； （2）首先根据数据的变化规律和特点选定合适的销售量函数，再根据函数的解析式结合均值定理求解日销售收入的最小值即可. 【详解】（1）由时，，得； （2）因为数据有增有减，①④不合符题意， 将二三组数据代入②类函数解析式可得： ，解得：， 即得②类函数解析式为. 将二三组数据代入③类函数解析式可得： ，解得：， 即得③类函数解析式为， 将第一组数据代入， 可知：， 将第一组数据代入， 可知：， 因此最合适. 当时 ， 当且仅当时，等号成立 当时 函数在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立 综上可知，当或日销售收入最小值为3125元. 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）假设某学习小组对家庭每月用水的收费提供了如下两种模型：模型一：若用水量不超过基本月用水量，则只付基本费8元和损耗费c元（）；若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按元进行付费；模型二：用函数模型（其中k，m，n为常数，且）来模拟说明每月支付费用y（元）关于月用水量的函数关系.已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为，和，支付的费用y分别为9元，19元和31元. (1)写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式； (2)写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型哪个更合理？ 【答案】(1) (2)，，模型一与生活中的实际情况更接近 【分析】（1）分析出第2，3月份用水量和均大于最低限量，列出方程组，求出，，不妨设，推出矛盾，故，得到，求出答案； （2）得到方程组，求出，，，得到解析式，并用三个方面说明模型一与生活中的实际情况更接近. 【详解】（1）由题意得， 第2，3月份水费均大于13元，故用水量和均大于最低限量， 于是有，解得， 从而， 再考虑1月份用水量是否超过最低限量， 不妨设，将代入中，得， 故，与矛盾，舍去， 故，即，解得， 故， 所以每月支付费用（元）关于月用水量的函数解析式. （2）， 由题意知，，即 由得，由得， 所以，解得，所以， 代入，解得，又，所以， 所以，. 模型一与生活中的实际情况更接近（言之有理即可）. 建议从以下三方面考虑： 原因一：惠民政策，生活中，比如：打车，交税，交气费等都是与模型一接近， 百姓缴费少； 原因二：指数爆炸，由知，关于x是快速增长， 但模型一在上匀速增长，更符合实际意义； 原因三：当时，， 由于，，， 所以，故，不符合实际意义. 7．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）为研究一款额定功率是1.5kw、自带水温显示的电动热水壶的加热效果，在壶中水温从加热之初的室温升至完全沸腾的过程中，某数学兴趣小组统计了多个关键数值量，包含壶中水量a（单位：升）、壶中水温x（单位：）、加热时间y（单位：秒）.我们选择了其中几个数据记录在如下表格中. 水量a（升） 温度x（） 时间y（秒） 3 10 0 50 320 80 560    (1)根据记录的多组数据，兴趣小组断定3升水量的加热时间y是关于壶中水温x的一次函数.试结合表中数据，计算此函数关系式；并计算在同样室温条件下，将壶中3升水从室温烧至沸腾（即）需要的总时间； (2)小组通过查阅资料，知道有如下科学论断： ①在同样条件下，将水烧到沸腾所花的时间与壶水量近似满足正比例关系； ②如果把水放在温度为的空气中冷却，若开始时水的温度是则t分钟后水温可由公式求得，其中，是由盛水的容器所确定的常量，为自然对数的底数. 因为要赶时间，现计划在10分钟内完成从水壶通电开始烧水，烧沸腾后立即放入容器，直到水温降到这一系列过程.根据以上论断，如在水壶中加入2升水，10分钟能完成整个过程吗？如时间够用，请说明理由：如时间不够用，请建议壶中应加入的水量. 参考数据：，. 【答案】(1)；秒 (2)不能，理由见详解；建议壶中应加入水量小于等于升. 【分析】（1）待定系数法设出函数，把点代入即可求解； （2）根据条件得到将升水烧到沸腾所以时间为分钟的函数关系，再根据，建立方程解出后，进一步分析即可. 【详解】（1）根据题意知，加热时间y是关于壶中水温x的一次函数， 可设，且点在函数的图象上， 所以，解得， 所以，经验证点也在函数的图象上， 当时，， 即将壶中3升水从室温烧至沸腾（即）需要的总时间秒. （2）将水烧到沸腾所花的时间与壶水量近似满足正比例关系, 设壶水量为升，将水烧到沸腾所花的时间为分钟， 则，又题中条件知，当时，分钟， 所以，则， 所以，则当时，， 即把2升的水烧到沸腾所花的时间为8分钟. 又，根据题意可得： ， 化为， 则 分钟， 所以2升水从室温烧至沸腾，再降至, 所需时间为分钟，时间不够用. 令，则， 建议壶中应加入水量小于等于升. 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为. (1)已知，求常数、的值； (2)已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)或（单位：） 【分析】（1）求出、，利用矩形的面积公式可得出关于的二次函数关系式，即可得出实数、的值； （2）根据题意列出关于的不等式组，解出的取值范围，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：易知矩形与矩形全等， ，所以，， ，所以，， 又因为， 所以，， 所以，， 又因为，则，. （2）解：由（1）可知，，解得， 因为蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于， 则，整理可得，解得或， 因为， 当时，；当时，. 所以，或（单位：）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$