第12讲函数的单调性与最值（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第12讲 函数的单调性与最值 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握函数的单调性与导数的关系，能够判断 通过导数的正负判断函数的单调性 2.能掌握集合函数最值与导数的关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的最值 4.会通过函数的单调性解抽象不等式. 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给定函数，判断函数的单调性求解函数的最值。 知识讲解 知识点一.函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在 区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)＜0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 2.常用结论 （1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 知识点二．函数的最值与导数 1.函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2.求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 （1）求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； （2）将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3.常用结论. （1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． （2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． （3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 考点一、不含参函数的单调性与单调区间 1.（广东·高考真题）设函数，则的单调递增区间为 ． 2.（重庆·高考真题）设函数若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求： （Ⅰ）的值; （Ⅱ）函数的单调区间. 1.（2005·北京·高考真题）已知函数 (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 2.（2024·黑龙江·模拟预测）已知在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求在区间的单调区间和极值. 3.（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线过点． (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值． 考点二、含参函数的单调性与单调区间 1.（·北京·高考真题）已知函数，求导函数，并确定的单调区间． 2.（全国·高考真题） 已知，求函数的单调区间. 1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 2.（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)试讨论函数的单调性． 3.（北京·高考真题）已知函数，且是奇函数． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求函数的单调区间． 考点三、已知函数的单调性求参数 1.（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2.（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 1.（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 2.（2016·全国·高考真题）若函数在上单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 3.（上海·高考真题）已知函数（，常数）. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围. 4.（23-24高三上·海南海口·阶段练习）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 考点四、已知函数存在单调性求参数 1.（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（22-23高三上·陕西·期中）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高三上·江苏苏州·期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 5.（24-25高三·上海·随堂练习）设函数，其中， (1)求； (2)若在是严格增函数，求实数a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 考点五、求已知函数的最值 1.（2021·全国·高考真题）函数的最小值为 . 2.（2018·全国·高考真题）已知函数，则的最小值是 ． 1.（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 2.（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 3.（2017·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 4.（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 5.（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 考点六、利用单调性解抽象不等式 1.（2007·陕西·高考真题）是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 2.（2004·湖南·高考真题）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1.（江西·高考真题）对于R上可导的任意函数，若满足则必有 A． B． C． D． 2.（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 3.（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 1．（2020高三·山东·专题练习）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高三上·天津东丽·期中）函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）若函数在内单调递减，则实数的取值范围是 5．（20-21高三下·天津静海·阶段练习）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 6．（20-21高三上·天津·期中）设函数，曲线在点处的切线与轴平行. （1）求实数； （2）求的单调区间. 7．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求m的取值范围. 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若，求的取值范围. 2．（2023·天津河北·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：； (3)若，且，求证： 3．（23-24高三上·天津·期末）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高三上·天津河北·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)在（2）的条件下，当时，，求实数的取值范围. 5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且． 6．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：. 7．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值； (2)当 ，函数有两个不同零点，求m的取值范围； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1.（重庆·高考真题）设函数的图象与直线相切于点． (1)求a，b的值； (2)求函数的单调区间． 2.（海南·高考真题）设函数 (1)讨论的单调性； (2)求在区间的最大值和最小值． 3.（北京·高考真题）已知函数()=In(1+)-+(≥0)． (Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程； (Ⅱ)求()的单调区间． 4.（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 5.（天津·高考真题）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 7.（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 函数的单调性与最值 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握函数的单调性与导数的关系，能够判断 通过导数的正负判断函数的单调性 2.能掌握集合函数最值与导数的关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的最值 4.会通过函数的单调性解抽象不等式. 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给定函数，判断函数的单调性求解函数的最值。 知识讲解 知识点一.函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在 区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)＜0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 2.常用结论 （1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 知识点二．函数的最值与导数 1.函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2.求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 （1）求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； （2）将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3.常用结论. （1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． （2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． （3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 考点一、不含参函数的单调性与单调区间 1.（广东·高考真题）设函数，则的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据，则单调递增，求解的范围即为的单调递增区间． 【详解】，则 令，则 ∴的单调递增区间为 故答案为：． 2.（重庆·高考真题）设函数若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求： （Ⅰ）的值; （Ⅱ）函数的单调区间. 【答案】（1）;（2）单调增区间是和，减区间是. 【分析】（1）求出，利用，解方程可得结果；(2）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间. 【详解】（1）的定义域为R 所以， 由条件得，解得或（舍） 所以 (2）因为，所以， ，解得或 所以当或时， 当时，， 所以的单调增区间是和，减区间是. 【点睛】利用导数的几何意义可求出函数在某一点出的切线斜率，求增区间需解不等,，求减区间需解不等式 1.（2005·北京·高考真题）已知函数 (1)求的单调减区间； (2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据导数与单调性的关系即得； （2）根据导数与函数的最值的关系可得函数的最大值，可得，结合条件进而即得. 【详解】（1）由，求导可得, 由，可得或， 所以函数的单调减区间为，； （2）因为， 令，解得或可得下表： 则，分别是在区间上的最大值和最小值， 所以，解得， 从而得函数在上的最小值为. 2.（2024·黑龙江·模拟预测）已知在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求在区间的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【分析】（1）由题意可得，解方程组可求出的值； （2）由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出极值. 【详解】（1）由，得， 因为在点处的切线方程为， 所以， 所以，所以， 解得； （2），令， 因为，所以，或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以极大值为，极小值为， 综上所述，在区间上的单调递增区间为和，单调递减区间为； 极大值为，极小值为. 3.（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线过点． (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解； （2）利用导数研究函数单调性和极值. 【详解】（1）由已知得， 则，又， 所以的图象在点处的切线方程为， 将点代入得，解得. （2）所以，定义域为， 所以， 令，则， 易得在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大 考点二、含参函数的单调性与单调区间 1.（·北京·高考真题）已知函数，求导函数，并确定的单调区间． 【答案】导函数为； 当时，函数的增区间为，减区间为和， 当时，函数的增区间为，减区间为和， 当时，函数的减区间为和． 【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案． 【详解】解：． 令，得． 当，即时，的变化情况如下表： 0 当，即时，的变化情况如下表： 0 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减． 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减． 综上： 导函数为； 当时，函数的增区间为，减区间为和， 当时，函数的增区间为，减区间为和， 当时，函数的减区间为和． 2.（全国·高考真题） 已知，求函数的单调区间. 【答案】见解析. 【分析】，再分别讨论，，三种情形下的单调区间. 【详解】. ①当时，若，则，若,则. 所以时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数. ②当时，由，解得或;由,得. 所以当时，函数在区间内为增函数，在区间内为减函数，在区间内为增函数 ③当时，由，得. 由，得或. 所以当时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数. 1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析. 【分析】对函数求导，然后对参数分类讨论，注意讨论正负以及与的关系，然后根据导数判断函数的单调性. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 当时，， 由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； 当时， 若，即，则由，得或；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； 若，即，则恒成立，因此函数在上单调递增； 若，即，则由，得或；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是，递减区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是； 当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 2.（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)试讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【分析】（1）当，求出，令得出方程的根，判断所求根两边导函数的符号即可得到函数的极值； （2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域范围内分别求解即可. 【详解】（1）若，，定义域为， 则， 令，可得， 由，可得，所以在上单调递增， 由，可得，所以在上单调递减， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2）的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，可得或， 因为，所以舍去， 所以当时，， 则在上单调递减， 当时，， 则在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 3.（北京·高考真题）已知函数，且是奇函数． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求函数的单调区间． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 【详解】（Ⅰ）因为函数为奇函数， 所以，对任意的，，即． 又所以． 所以解得． （Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以． 当时，由得．变化时，的变化情况如下表： 0 0 所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增． 当时，，所以函数在上单调递增． 考点三、已知函数的单调性求参数 1.（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2.（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 1.（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 -1; . 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 2.（2016·全国·高考真题）若函数在上单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：对恒成立， 故，即恒成立， 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C． 【考点】三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性 3.（上海·高考真题）已知函数（，常数）. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围. 【答案】（1）时，为偶函数，时，既不是奇函数也不是偶函数； （2）． 【解析】（1）根据奇偶性的定义判断； （2）求出导函数，由在上恒成立求得的范围． 【详解】（1）函数定义域是，关于原点对称， 时，，则，为偶函数， 时，，不恒为0，，既不是奇函数也不是偶函数； （2），由题意在上恒成立， ∴时，，即，此时的最小值为16，∴． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查用导数研究函数的单调性，掌握单调性与导数的关系是解题关键． 4.（23-24高三上·海南海口·阶段练习）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，求出取值范围即可. 【详解】因为函数在上为减函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 所以， 所以在上单调递减，所以， 故，所以的取值范围是. 故选：D. 5.（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【分析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 考点四、已知函数存在单调性求参数 1.（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 2.（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用导数结合函数单调性建立不等式，再构造函数求出函数最大值即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，不等式在上有解，即在上有解， 令，，求导得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：C 1.（22-23高三上·陕西·期中）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可推得在上有解，分离参数，得在上有解，由此构造函数，判断其单调性，即可求得答案. 【详解】由题可知在上有解， 即在上有解， 设 ， 当时，，递减，当时，，递增， 故，， 所以，解得，所以的取值范围是， 故选：A 2.（21-22高三上·江苏苏州·期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围. 【详解】∵， ∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 故. 故选：D. 3.（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为在上有解，得到在上有解，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】因为函数，可得， 因为函数在上存在单调递减区间， 可得在上有解， 即在上有解， 令，则，且， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以. 故选：D． 4.（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数转化为恒成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则. 故答案为： 5.（24-25高三·上海·随堂练习）设函数，其中， (1)求； (2)若在是严格增函数，求实数a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用导数的求导法则直接计算即可； （2）由题意得在上恒成立，然后分离参数可求得答案； （3）由题意得在上有解，转化为在上有解，从而可求出答案. 【详解】（1）由， 得， 所以， （2）由题意得，在上恒成立， 即在恒成立， 因为在上递减，所以的最大值为， 所以，即实数a的取值范围为； （3）由题意得，在上有解，即在上有解， 因为在上递减， 所以， 所以， 即实数a的取值范围为． 考点五、求已知函数的最值 1.（2021·全国·高考真题）函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 2.（2018·全国·高考真题）已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值. 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法； 方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出； 方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高； 方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高； 方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙； 方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解． 1.（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 2.（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果； （Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为，所以， 设切点为，则，即，所以切点为， 由点斜式可得切线方程为：，即. （Ⅱ）[方法一]：导数法 显然，因为在点处的切线方程为：， 令，得，令，得， 所以 ， 不妨设 时，结果一样， 则， 所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得极小值， 也是最小值为. [方法二]【最优解】：换元加导数法   ． 因为为偶函数，不妨设，， 令，则． 令，则面积为，只需求出的最小值． ． 因为，所以令，得． 随着a的变化，的变化情况如下表： a 0 减 极小值 增 所以． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法 同方法二，只需求出的最小值． 令， 当且仅当，即时取等号． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法 同方法一得到 ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高. 3.（2017·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值. 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为，所以. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）设，则. 当时，， 所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果. 4.（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案 【详解】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 5.（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间和最值，进而求得答案． 【详解】因为，函数极值点可能为，又， 而，，，所以，， 所以， 故选：D． 考点六、利用单调性解抽象不等式 1.（2007·陕西·高考真题）是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，再分类讨论即可求解. 【详解】解：令，， 所以在上为常函数或递减, 若在上为单调递减，所以， 即①，② ①②两式相乘得： 所以， 若在上为常函数，且，则， 即③，④， ③④两式相乘得： 所以， 综上所述， 故选：A 2.（2004·湖南·高考真题）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 构造函数，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集． 【详解】 令，则，因此函数在上是奇函数． ①当时，，在时单调递增， 故函数在上单调递增． ， ， ． ②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3）， ，的解集为． ③当时，，不符合要求 不等式的解集是，，． 故选：D 1.（江西·高考真题）对于R上可导的任意函数，若满足则必有 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论. 【详解】 若，则为常数函数,; 若不恒成立, 当时, ,递增，当时,,递减. . 故选:C. 【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题. 2.（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式. 【详解】不等式等价于，即， 构造函数，所以， 因为时，，所以对恒成立， 所以在单调递减， 又因为， 所以不等式等价于，所以， 即的解集为. 故选：A. 3.（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求导可得在上单调递减，由已知可得，可得，可得不等式的解集. 【详解】由题意知，当时，， 令，则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以，解得. 故选：A. 4.（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 5.（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可. 【详解】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得，，解得，即解集为. 故选：A 1．（2020高三·山东·专题练习）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则，求出此函数的导函数，由单调性得出需Δ≤0即可求解得选项. 【详解】若函数是上的单调函数，只需在上恒成立， 即， ∴．故的取值范围为． 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的范围，关键在于运用其导函数的符号与函数的单调性的关系，属于基础题. 2．（23-24高三上·天津东丽·期中）函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数和偶函数性质得到的单调性，则得到不等式，解出即可. 【详解】，且定义域为关于原点对称，故为偶函数， 当时，，设，则， 则在上单调递增，则，即在上恒成立， 则在上单调递增， 又因为为偶函数，则在上单调递减， 则由，得到，即或，解得， 故选：D. 3．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】求导后得到在上恒成立，参变分离后得到在上恒成立，利用导函数求出，从而求出实数的取值范围. 【详解】，， 故只需在上恒成立， 则在上恒成立， 其中在上恒成立， 故，所以， 故答案为：. 4．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）若函数在内单调递减，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】在内单调递减等价于在内恒成立，据此即可求解. 【详解】， ∵在内单调递减， ∴在内恒成立，即在内恒成立， 即在内恒成立， ∵在单调递增，∴， ∴，∴﹒ 故答案为： 5．（20-21高三下·天津静海·阶段练习）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）增区间为，，减区间为；（2）存在，. 【分析】（1）将代入，求出函数的定义域以及导函数，利用导数与函数的单调性之间的即可求解. （2）由题意可得恒成立，分离参数可得恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】解：（1）当时， ， 则. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）假设存在实数，使在上是增函数， 则恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 恒成立. 又， 的最小值为. 当时，恒成立. 又当时，， 当且仅当时，. 故当时， 在上单调递增. 6．（20-21高三上·天津·期中）设函数，曲线在点处的切线与轴平行. （1）求实数； （2）求的单调区间. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）先求解出，然后根据切线与轴平行得到的值，由此计算出的值； （2）先将因式分解，然后根据的取值正负确定出的单调区间. 【详解】解：（1）因为，所以. 又因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即， 即. （2）由（1）可知， 当时，； 当，时，. 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 7．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可； （3）分离参数，利用导数研究函数的最值即可. 【详解】（1）当时，， 则在处的切线方程为：； （2）由， 若，则恒成立，即在上单调递增； 若，则时，有，即在上单调递减， 时，有，即在上单调递减； 综上：若时，在上单调递增；若时，在上单调递减； （3）不等式恒成立， 设， 易知在上单调递增， 又，所以时有，时有， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故m的取值范围. 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）求出导函数，然后令，讨论导数的符号即可确定函数的单调性； （3）构造，计算的最大值，然后与比较大小，得出的分界点，再对讨论即可. 【详解】（1）当时，则， 又， 所以， 所以在点处的切线方程为，即. （2）因为 令，又，则， 令，， 当时， 则，， 当，，即当，. 当，，即当，. 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）设， 则 ， 令，又，则， 令，， 则， 所以. 若，则，则， 即在上单调递减，所以. 所以当时，符合题意. 若，当，，所以， 又. 所以，使得，即，使得. 当，，即当单调递增. 所以当，不合题意. 综上可得的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题采取了换元，注意复合函数的单调性在定义域内是减函数，若，当，对应当. 2．（2023·天津河北·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：； (3)若，且，求证： 【答案】(1)单调减区间为，无增区间； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据二次求导，确定 ，即可求得的单调区间； （2）将问题转化为证明，再构造，，通过证明即可证明； （3）根据（2）中所得可知，结合的单调性可得，结合不等式性质，即可证明. 【详解】（1），，令 ，则 ， 故当时， ，单调递增，当， ，单调递减； 故 ，故在单调递减，其单调减区间为，无增区间. （2）要证，只要证. ，令，， 故当， ，单调递增；当， ，单调递减； 故，则当时，. 令，，当时，恒成立，故在上单调递增， 而，当时，，. （3）已知，且，； 由（1）可知，函数在上单调递减，； 由（2）可知，当时，，即，即； ，. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是能够将问题转化为证明，进行通过构造函数通过最值证明问题；解决第三问的关键是能够根据（2）中所求，灵活的去解决问题. 3．（23-24高三上·天津·期末）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分别求得即可得解. （2）构造函数，连续求导得的单调性，结合，即可得的单调性，由此即可得解. （3）构造函数，连续求导来判断单调性，结合与0的大小关系来进行分类讨论. 【详解】（1）， 所以， 所以切线方程为. （2）设， ， 令， 所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，即. （3）令， 则，且， 令，则， 因为在单调递减， 令，则在单调递减，且， 情形一： 当，即时，因为， 则，可得， 则在上是减函数，可得，即， 所以在上是减函数，则恒成立， 即恒成立，满足题意； 情形二： 当，即时，在上是减函数， 且，当时，， 则存在，使得， 当时，，在上是增函数，此时， 所以当时，，此时在上是增函数， 所以，即，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：第三问的关键是构造函数并连续求导来判断单调性，结合与0的大小关系来进行分类讨论，从而顺利得解. 4．（23-24高三上·天津河北·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)在（2）的条件下，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间是，单调递增区间是 (3) 【分析】（1）当时，分别求出的值即可得解. （2）对函数求导，令，得或，且满足，进一步即可得解. （3）由题意只需，即，解不等式即可得解. 【详解】（1）时，， ，整理得. 曲线在点处的切线方程为. （2）， ， 令， ，解得或，且满足. 当变化时，的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 极小值 极大值 函数单调递减区间是，单调递增区间是. （3）由（2）可知，函数在区间单调递增，在区间单调递减， ， 解得， ， 实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是将极值点先求出来，然后根据导数与单调性的关系即可得解，第三问的关键是由，列出相应的不等式，从而即可顺利得解. 5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求得，分类讨论，，和，分析函数的正负，即可得出答案； （2）由题意先表示出，再令，利用导数分析函数的单调性，可得有最小值，即可证明. 【详解】（1）， 若，由，则时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，令，得或， 若，则或时，，单调递增；时，，单调递减； 若，则在上恒成立，在上单调递增； 若，则或时，，单调递增；时，，单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由(1)知，时，在，上单调递增； 在上单调递减，则的极小值点为， 由极大值，且当趋近正无穷时，趋近正无穷， 存在唯一的零点，满足， 化简得，， ∴，即， ∴， 设，， ， 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 从而当时，有最小值， 综上所述，存在唯一的零点，且． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 6．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，利用导数几何意义结合点斜式方程即可求出切线方程； （2）求出导函数，按照和分类讨论研究函数的单调性即可； （3）把原不等式作差变形得，结合，把不等式证明转化为问题，构造函数，求导，利用函数的单调性求得最值即可证明. 【详解】（1）当时，，，所以， 又，由导数的几何意义知， 曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为，所以， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得， 函数在区间上单调递增， 由，得， 函数在区间上单调递减. （3）要证， 即证， 即证， 设，则 故在上单调递增，又，所以， 又因为，所以， 所以， ①当时，因为，所以； ②当时，令，则， 设，则，设， 则，因为，所以， 所以即在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增，， 即. 综上可知，当时，， 即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常见形式是，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式移项，构造函数，转化为证不等式，进而转化为证明，因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可. 7．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值； (2)当 ，函数有两个不同零点，求m的取值范围； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由导数的几何意义直接计算即可. （2）将原问题等价转换为方程有两个不相等的实数根，从而求导研究当 ，函数的增减情况、最值情况即可得解. （3）将原问题等价转换为对恒成立，即即可． 【详解】（1）因为 所以，即. （2）由题意，，即， 所以，            当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； ，，；                           所以，即， 所以m的取值范围为. （3）因为(x)对恒成立， 所以对恒成立， 即对恒成立．              设，其中， 所以，                                         ，                            设，其中，则， 所以，函数在上单调递增． 因为，， 所以，存在，使得，    当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以． 因为，则， 由（2）得，当时，在上为增函数， 因为，则，则， 由可得，所以， 所以，可得，                所以，所以． 所以实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第一、二问比较常规，第三问的关键是在求时，要先得出，，由此即可顺利得解. 1.（重庆·高考真题）设函数的图象与直线相切于点． (1)求a，b的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）求出导函数解不等式可得答案. 【详解】（1）， 由题意知，解得； （2）由（1）知， 所以，解得或，，解得． 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【点睛】关键点睛：根据函数导函数的正负性判断函数的单调性是解题的关键. 2.（海南·高考真题）设函数 (1)讨论的单调性； (2)求在区间的最大值和最小值． 【答案】(1)函数在上单调递增；在上单调递减； (2)在区间上的最大值为，最小值为. 【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式求出函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又. 令，解得或；令，解得. 所以函数在上单调递增；在上单调递减； （2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增. 所以当时，函数取得最小值， 又，， 而， 所以当时，函数取得最大值为：. 即在区间上的最大值为，最小值为. 3.（北京·高考真题）已知函数()=In(1+)-+(≥0)． (Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程； (Ⅱ)求()的单调区间． 【答案】（I）（II）见解析 【详解】（I） （II） 当时，得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时得单调递增区间是. 当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是 4.（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 5.（天津·高考真题）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和分析函数内外层的单调性，列不等式求解 【详解】函数在区间 内有意义， 则 ， 设则 ， ( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使在区间内内单调递减， 则需使 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为， 所以， 又，所以. 综上，的取值范围是 故选：B 6.（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 7.（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$