第21讲 锐角的三角比 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第21讲 锐角的三角比 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（　　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，为边上一点，将沿直线翻折，使得点的对应点落在边上．若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 4．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73） A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米 5．如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点 O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD时，则 ． 8．如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么 ． 9．如图，已知与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是 ． 10．如图，△ABC中，，，，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点处，点B落在点处，若C、B、恰好在一直线上，则AB的长为 ． 11．如图，在等边内有一点，，，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，则的余弦值为 ． 12．如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为 米．（参考数据：）    13．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在直线上的点处，则点B的对应点的坐标为 ． 14．如图，正方形中，，为边的中点，点在上，过点作，分别交边、于点、．连接，如果是以为底边的等腰三角形，那么 ． 15．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么 ． 16．如图，在菱形中，，，如果将菱形绕着点逆时针旋转后，点恰好落在菱形的初始边上的点处，那么点到直线的距离为 ． 17．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为 ． 18．如图，是等腰直角三角形，，，点分别在边上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 ． 三、解答题 19．如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 20．如图，在中，，，垂足为点D，，垂足为点，和相交于点．过点A作，交边延长线于点，点是边上一点，． (1)求证：； (2)求证：． 21．小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 22．在中，，，点为线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． 23．在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 24．在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 25．如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）．      (1)在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； (2)如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 锐角的三角比 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【解析】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果． 【解析】解：根据题意作图如下： 由题意知：AB=m，∠A=， ∴， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键． 3．如图，在矩形中，为边上一点，将沿直线翻折，使得点的对应点落在边上．若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据折叠性质得到AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，进而得到∠AFB=30°，解Rt△ABF，求出，进而求出CF=，求出∠EFC=60°，解Rt△CEF，即可求解． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=4， 由折叠可知，AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°， ∴∠BAF=∠BAD-∠DAE∠FAE=60°， ∵∠B=90°， ∴∠AFB=30°， ∴, ∴CF=BC-BF=， ∵∠AFB=30°，∠AFE=90°， ∴∠EFC=60°， ∴在Rt△CEF中，． 故选：B 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形等知识，理解矩形与折叠性质，根据特殊角三角形函数值解直角三角形是解题关键． 4．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73） A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米 【答案】A 【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，再求出EF即BG的长；在Rt△CBG中求出CG的长，根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度． 【解析】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G． Rt△ABF中，i=tan∠BAF=＝，AB=26米， ∴BF=10（米），AF=24（米）， ∴BG=AF+AE=54（米）， Rt△BGC中，∠CBG=43°， ∴CG=BG•tan43°≈54×0.93=50.22（米）， Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米， ∴DE=AE=30（米）， ∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-30≈8.3（米）． 故选：A． 【点睛】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 5．如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解． 【解析】解：作于，设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ∵ ， ， ， ， ． 故选：B． 6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作DM⊥CE，根据折叠的性质得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后结合已知条件求出DM和EM的长度，最后在Rt△EDM中运用勾股定理求解即可． 【解析】如图所示，作DM⊥CE于M点， ∵∠ABC＝90°，， ∴，则∠CAB=30°， ∵∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴CD∥AB， ∴∠ACD=∠CAB=30°， 根据折叠的性质得：∠ACE=∠ACB=60°，， ∴∠ECD=30°， 设DM=x，则CD=2x，MC=x， ∴EM=EC-MC=-x， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴，， ∴在Rt△EDM中，， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函数的定义是解题关键． 二、填空题 7．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点 O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD时，则 ． 【答案】 【分析】过E点作EF∥AD，对应边成比例，令AD=CE=8k，则OD=2k，OA=6k，作CH⊥AE于点H，由勾股定理求出AC，在△ACE中用等面积法求出CH，从而得出答案． 【解析】如图，作EF∥AD交BC于点F， ∵AD⊥AE，AD平分∠CAB， ∴O是CD中点， ， ∵CE是△ABC的中线， ∴E为AB中点，， ∵AD=CE， 令AD=CE=8k，则OE=OC=4k=EF，OD=2k，OA=6k， 在Rt△ACO中，AC=， ∵AO垂直平分CE， ∴AC=AE=； 过C点作AH⊥AE交AE于点H， 在△ACE中，通过等面积法可得：， ∴CH=， 在Rt△ACH中， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握性质之间的线段和角度转化是解题的关键． 8．如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么 ． 【答案】 【分析】如图，延长交于F，由题意得，，则，由，可得，计算求解即可． 【解析】解：如图，延长交于F， ∵点D是的重心， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦函数，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．如图，已知与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定，三角函数和勾股定理，过作于点，构造相似三角形，再通过性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【解析】如图，过作于点， 在中，由勾股定理得： ∵与相似，，， ∴，即， ∴， 在中，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，△ABC中，，，，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点处，点B落在点处，若C、B、恰好在一直线上，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】作于点，作于点．则，设，，则，，即可利用表示出的长，在直角中利用勾股定理求得的值，进而求得，得到的长． 【解析】解：作于点，作于点．则． ， ． 设，，则，， 在直角△中，， 则， ， ， ， ， ． 则， 解得：． 又中， 即， 解得：， 则，． 故答案是：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，作出辅助线，得到和的关系． 11．如图，在等边内有一点，，，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，则的余弦值为 ． 【答案】/0.9 【分析】由旋转的性质证明是等边三角形和得：AD=DE=AE=5，CE=BD=6，过点E作EH⊥CD，垂足为H．设DH=x，则CH=4-x．由勾股定理得出 62-（4-x）2=52-x2，求出DH，CH的长，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【解析】解：∵是等边三角形 ∴AB=AC， ∵绕点逆时针旋转，且与重合， ∴ ，AD=AE ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴ 又AB=AC，AD=AE ∴ ∴ 过点作，垂足为． 设，则． 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12．如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为 米．（参考数据：）    【答案】 【分析】根据题意可得，，，，，，，如图所述，过点作于点，在中，根据正切的计算方法可求出的值，在中根据角的正切值可求出的值，由此即可求解． 【解析】解：根据题意可得，，，，，，， ∴如图所述，过点作于点，    ∵，即，且，， ∴， ∴四边形是矩形，即，， 在，，， ∴，则， ∴， 在中，，， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查运用仰俯角的正切值计算边的长度，掌握构成直角三角形，三角函数的计算方法是解题的关键． 13．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在直线上的点处，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：①当点A在上时：连接作于H，证明得到即可得到答案；②当点A在延长线上时：过点作轴，连接，根据对顶角相等和旋转的性质得出，再根据勾股定理求出，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得出，然后利用勾股定理求得即可得出答案． 【解析】解：①当点A在上时： 连接作于H，如图所示， 由题意知： 则 由旋转的性质可知， 在和中 ∴点的坐标为 ②当点A在延长线上时： 过点作轴，连接，如图 由①知， 由旋转可知， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 14．如图，正方形中，，为边的中点，点在上，过点作，分别交边、于点、．连接，如果是以为底边的等腰三角形，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点A′，过点F作于H，易证，得出；利用勾股定理求出的长，进而得出．利用互余角的三角函数的关系，得出，在和中利用的值列出方程，即可求得结论． 【解析】解：延长交于点A′，过点F作于H， ∵是正方形， ∴， ∴． 在和中， ． ∴． ∴． ∵E为边的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则． ∴． 在中，， ∴． 在中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 15．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解 【解析】当时，如图，过点D作于H， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或； 16．如图，在菱形中，，，如果将菱形绕着点逆时针旋转后，点恰好落在菱形的初始边上的点处，那么点到直线的距离为 ． 【答案】3 【分析】由旋转、菱形的性质可知，，则，，，，根据E到直线的距离为，计算求解即可． 【解析】解：如图，菱形绕着点D逆时针旋转后为菱形， 由旋转、菱形的性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴到直线的距离为． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、三角形内角和定理、三角函数等知识．解题的关键在于对相关知识的熟练掌握与灵活运用． 17．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案． 【解析】解：当从到的变化过程中，如图所示， ， ， 当时，点从点开始向方向运动， 当时，的移动到最大距离， 此时， 在中，， ， ， 当时，点开始离开点向点方向运动， 当时，点停止运动， 在中，， ， 点返回运动的路径长为， 点Q移动的路径长为， 故答案为：． 18．如图，是等腰直角三角形，，，点分别在边上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的性质，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，连接并延长交于，连接，连接并延长交于，由点是的重心，可得分别为的中点，进而由是等边三角形可得，，，设，则，解得，又证明得是等腰直角三角形，得到，点四点共线，即得平分，平分，延长交于，则垂直平分，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，得到，根据点在形内，，可得，得到，又根据可得，由，，即可求出线段的取值范围，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：如图，连接并延长交于，连接，连接并延长交于， ∵点是的重心， ∴分别为的中点， ∵是等边三角形， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点四点共线， ∴平分，平分， 延长交于，则垂直平分， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 在中，， ∴， ∵点在形内， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查重心的判定，三角函数的定义，熟练掌握求正弦值的方法是解题的关键． （1）证明是的中线，是的中线即可得到结论． （2）根据重心的性质得到，求出的值，再根据勾股定理求出答案即可． 【解析】（1）证明：矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中线， ， ， 是的中线， 点是的重心； （2）解：点是的重心， ， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 20．如图，在中，，，垂足为点D，，垂足为点，和相交于点．过点A作，交边延长线于点，点是边上一点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直得出，再由对顶角相等及等量代换确定，利用等角对等边得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （2）过点M作于点H，根据平行线的性质及垂直的定义得出，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，利用等量代换确定，再由余弦函数的定义进行等量代换即可证明 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点M作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，余弦函数的定义等，理解题意，作出辅助线求解是解题关键． 21．小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解析】（1）解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：延长交于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 22．在中，，，点为线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）在中，由，，可得，，即得； （2）取的中点，连接，证明为等边三角形，得，，可得，有，故，在上截取，连接，可证，得，，有，，可得，知，，从而，． 【解析】（1）解：在中，， ，， ，， ， ； （2）证明：取的中点，连接，如图： 在中，点为斜边的中点， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在上截取，连接， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，解直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，涉及全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 23．在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1)的正切值是 (2) (3) 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质，结合已知判定是等边三角形，证明 ，后利用正切函数计算即可； （2）取的中点M，连接，结合(1)的解答，利用平行线的性质，三角形面积的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理计算即可； （3）过作点，垂足为，判定相似三角形的对应关系，结合等腰三角形的判定和性质，列出方程解答即可． 【解析】（1）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是边的中点， ∴，， ∴，   又， ∴，   设， ∴，， 在中，， ∴的正切值是． （2）解：取的中点M，连接， 由（1）可知：，， ∵， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∵与是同高的，设这个高为 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴ ， ∴． （3）过作点，垂足为 由（1）得：是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵与以点、G、组成的三角形相似 ∴点只能与点G对应， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数，勾股定理，解方程，熟练掌握正切函数，三角形相似，勾股定理是解题的关键． 24．在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 【答案】(1)4 (2) (3)的长为5或 【分析】（1）过点作于点，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用勾股定理求得，利用角平分线的定义和平行线的性质得到，则； （2）过点作于点，利用(1)的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得，再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点在上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点在上时，连接，延长交于点，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【解析】（1）解：过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，如图， 由（1）知：， ， ， ∵， 为等腰直角三角形， （3）①当点在上时，如图， 由（1）知：， ∵是中点， 在和中， ， ， ∴， ∴； ②当点在上时，连接，延长，交于点，如图， 由（1）知：， ∵是中点， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为5或． 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线． 25．如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）．      (1)在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； (2)如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或或时，是等腰三角形 【分析】（1）如图所示，作于点，于点，设与，交于点，根据梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质可计算出出点运动时，点的位置，可得,结合锐角三角函数的计算方法，，然后进行分类讨论：当时；当时；当时；当；图形结合，根据梯形面积的计算方法，直角三角形面积的计算方法列式求解即可； （2）根据题意可得，由（1）可知，，且，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时；第二种情况，当时；第三种情况，当时；根据等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，作于点，于点，设与，交于点，    ∴四边形是矩形， ∴，， ∵梯形中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴当时，点和点重合， 第一种情况，当时，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； 当正方形的边恰好经过点时，点于点重合，则此时，如图所示，    ∴，， ∴，即秒时点与点重合， 第二种情况，当时，，如图所示，    ∴由上述证明可得，， ∴， ∴， ∴ ； 当点与点重合时，如图所示，    ∵， ∴， 第三种情况，当时，如图所示，，    ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 当点与点重合时，如图所示，    ∴， 第四种情况，当时，如图所示，，    ∴，，， ∴ ； 综上所述，与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围为 ； （2）解：∵， ∴， ∴由（1）可知，，且， ∴， 第一种情况，当时，如图所示，    ∴， 解得，； 第二种情况，当时，如图所示，作于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 第三种情况，当时，如图所示，作于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，动点问题，等腰梯形的性质，分段函数的运用，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握分段函数的计算方法，梯形面积的计算公式，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $$