第20讲 锐角的三角比 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第20讲 锐角的三角比 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ） A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 2．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　） A． B． C． D． 4．在中，已知，，，那么的长等于 (   ) A．1 B．9 C． D． 5．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 6．如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，E，F为垂足．设的面积为S，则的面积为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 11．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则 ． 12．计算： ． 13．在中，，，，那么的面积为 ． 14．沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，这个斜坡的坡度 ． 15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么：的值是 ． 16．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是 ． 17．若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 18．如图，已知在中，，，，是边 上一点，将沿直线翻折，点落在点处，如果，那么点与点的距离等于 ． 三、解答题 19．计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°； （2）． 20．如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D． (1)求 BD 的长； (2)设，，用，表示． 21．已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： （1）线段的长； （2）的值． 22．如图，四边形中，． (1)如果，求的值； (2)如果，求四边形的面积． 23．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． (1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． (2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 24．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 25．如图，已知直线与x轴、y轴交于点A、C，点A与点B关于直线轴对称，点D在直线上，且D在第三象限，． (1)求证：求点D及直线解析式； (2)求的正弦值； (3)如果P是射线上一点，且以点P，A，B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 26．已知在中，，（点是边上一点，不与重合，过点作，垂足为点，点是边上一点，连接，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，如果，点恰好在边上，求的余切值； (2)如图2，如果，点在内，设，求与的函数关系式，并写出定义域： (3)在第（2）小题的条件下，如果平行四边形是矩形，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 锐角的三角比 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ） A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答． 【解析】三角形各边长度都缩小为原来的倍， ∴得到的三角形与原三角形相似， ∴锐角A的大小不变， ∴锐角A的正弦、余弦值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正弦与余弦的定义，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA． 【解析】解：∵∠C=90°， ∴=， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义． 3．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案． 【解析】∵，， 而， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键． 4．在中，已知，，，那么的长等于 (   ) A．1 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意，表示出的正切即可解决问题． 【解析】解：在中， ， 又因为，， 所以， 解得． 故选：A． 5．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连接小正方形的对角线，证明是直角三角形，再利用正切的定义求解即可． 【解析】如图，连接小正方形的对角线， 设每个小正方形的边长为1， 则由勾股定理得，， ∵， 即， ∴是直角三角形， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活运用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键． 6．如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作x轴的垂线，根据，且，从而求出横坐标，再求点P的坐标就容易了． 【解析】过P作x轴的垂线，交x轴于点A， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴点P的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和坐标与图形的性质，此题比较简单，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 7．进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 根据题意，得到，利用已知角的正弦，求出答案． 【解析】解：如图，在中， 米，， ， （米）， 故选：． 8．如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论． 【解析】解：∵是斜边边上的高， ∴都是直角三角形． 在中， ∵，故选项B不正确； 在中， ∵，故选项A、C不正确． 在中， ∵， ∴． ∴，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 9．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题． 【解析】设AC＝m， 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m， ∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m， ∴tan∠ADC＝＝＝2﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．如图，在中，，，，E，F为垂足．设的面积为S，则的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作FH⊥AE于H，根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠D=∠B=60°，∠BAD=180°－∠B=120°，从而求出∠HAF=60°，然后根据平行四边形的面积公式可得BC·AE=S，利用锐角三角函数求出AF=，FH=，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【解析】解：过点F作FH⊥AE于H      ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，∠D=∠B=60°，∠BAD=180°－∠B=120° ∵， ∴∠BAE=90°－∠B=30°，∠DAF=90°－∠D=30° ∴∠HAF=∠BAD－∠BAE－∠DAF=60° ∵的面积为S， ∴BC·AE=S 在Rt△ADF中，AF=AD·sinD= 在Rt△AHF中，FH=AF·sin∠HAF== ∴S△AEF=AE·FH =AE· =·AE = 故选C． 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和解直角三角形，掌握平行四边形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键． 二、填空题 11．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦的定义进行解答 【解析】在Rt△ABC中，AC＝， ，故填． 【点睛】本题考查三角函数的定义，余弦值＝角的邻边与斜边之比． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【解析】解：， 故答案为：． 13．在中，，，，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，再由勾股定理得到，解得，则，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【解析】解：如图所示，在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：．    14．沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，这个斜坡的坡度 ． 【答案】2.4 【分析】根据勾股定理求出此人行走的水平距离，根据坡度的概念计算即可． 【解析】解：由勾股定理得，此人行走的水平距离为：=12， 则此斜坡的坡度i=5：12=1：2.4， 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么：的值是 ． 【答案】7 【分析】过点A作于，作的垂直平分线交于点、交于，根据余弦的定义求出，根据勾股定理求出，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解析】解：过点A作于，作的垂直平分线交于点、交于， 在中，，， 则， 解得：， 由勾股定理得：， 在中，， 则， ∴， 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形、平行线分线段成比例定理，根据余弦的定义求出是解题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是 ． 【答案】 【分析】过点作于点，易证，从而可求出，，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解析】解：如图，过点作于点，设， 在与中， ， ， ，， ，tan∠ADB＝＝， 设AB＝a，则AD＝2a， ∴BD＝a， ∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD， ∴AE＝CF＝a， ∴BE＝FD＝a， ∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a， ∴tan∠DEC＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 17．若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【解析】解：如图，过点A作于，过点作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 18．如图，已知在中，，，，是边 上一点，将沿直线翻折，点落在点处，如果，那么点与点的距离等于 ． 【答案】 【分析】由题意可得如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，则有，然后可得，进而可得，则有，，最后问题可求解． 【解析】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴（AAS）， ∴，， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理及解直角三角形，熟练掌握折叠的性质、勾股定理及解直角三角形是解题的关键． 三、解答题 19．计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°； （2）． 【答案】（1）（2）- 【分析】根据特殊的锐角三角函数值以及基本的四则运算法则可直接求解最后结果． 【解析】解：（1）原式= = =． （2）原式= = =- =- 【点睛】本题考查了锐角三角函数函数值，熟记特殊的锐角三角函数值是解决本题的关键． 20．如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D． (1)求 BD 的长； (2)设，，用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解直角三角形，先求出CD的长度，然后求出AD，由等角的三角函数值相等，有，即可求出BD的长度； （2）由（1）可求AB的长度，根据三角形法则，求出，然后求出. 【解析】（1）解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°， 在Rt△ACD中，， ∴． ∴， ∴． ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°， ∴∠DCB=∠A． ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵，   ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，向量的运算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形求三角形的各边长度. 21．已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： （1）线段的长； （2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用直角三角形中求解 再利用勾股定理求解 从而可得答案； （2）先利用直角三角形斜边上的中线的性质证明 可得 再求解从而可得答案. 【解析】解：（1） 是边上的高，，， ， （2） 为边的中点， 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握“等角的三角函数值相等”是解题的关键. 22．如图，四边形中，． (1)如果，求的值； (2)如果，求四边形的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点A作于点E，可得四边形是矩形，从而得到，继而得到，再由锐角三角函数，即可求解； （2）过点A作于点E，可得四边形是矩形，从而得到，设，则， 在中，利用勾股定理求出x的值，再根据四边形的面积，即可求解． 【解析】（1）解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， 四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． (1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． (2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 【答案】(1)15m (2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析 【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答； （2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答． 【解析】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m， ∴AB==15（m）， ∴此时云梯AB的长为15m； （2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处， 理由：由题意得： DE=BC=2m， ∵AE=19m， ∴AD=AE-DE=19-2=17（m）， 在Rt△ABD中，BD=9m， ∴AB= （m）， ∵m＜20m， ∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 24．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角函数，数形结合思想的运用是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过A作于D，则，设，根据坐标与图形性质得到，，进而列方程求解t值即可； （3）先求得，再根据勾股定理求解，再根据余弦定义求解即可． 【解析】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过A作于D，则， 设， ∵轴， ∴，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， 故点C坐标为； （3）解：∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 将代入中，得，则， ∴， 又，， ∴， ∴． 25．如图，已知直线与x轴、y轴交于点A、C，点A与点B关于直线轴对称，点D在直线上，且D在第三象限，． (1)求证：求点D及直线解析式； (2)求的正弦值； (3)如果P是射线上一点，且以点P，A，B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）求解，设，利用，可得，设直线解析式为，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）过作，连接，求解直线的解析式为，可得直线与轴的交点，利用，再进一步求解即可； （3）如图，证明，，分当，则，当，则，再进一步求解即可； 【解析】（1）解：直线与轴、轴交于点、， ，， 点与点关于直线轴对称， ， 点在直线上， 设， ， ， ∴或，经检验符合题意； ∵D在第三象限， ． 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为． （2）解：过作，连接， 同理可得：直线的解析式为， 当时，则， ∴直线与轴的交点， ， ， ， ∵，， ∴， 中，． （3）解：如图， 由，可得， 直线的表达式为， ， 即，， 当，则， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形时， ∴； 当，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∴， ． 综上，或． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 26．已知在中，，（点是边上一点，不与重合，过点作，垂足为点，点是边上一点，连接，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，如果，点恰好在边上，求的余切值； (2)如图2，如果，点在内，设，求与的函数关系式，并写出定义域： (3)在第（2）小题的条件下，如果平行四边形是矩形，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由锐角三角函数的定义求出，由勾股定理求出，由平行线分线段成比例定理得出，求出，则可得出答案； （2）由平行四边形的性质与解直角三角形求得，，过点E作于H，解直角三角形求得，，，即可由求解；然后当点恰好在上时，解直角三角形求出x的长，则可得定义域； （3）设，则，设矩形的对角线与相交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由梯形的中位线定理得出，解方程可得出答案． 【解析】（1）解：在中，， 又， ， ， ， 在中， ， 又，， ， 四边形是平行四边形， ， 点在上， ， ， ， ， 在中，； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 当点恰好在上时， ， ， ∵，则， ， 在中，， 又，则， ， ， ， ， 当点在内时，； （3）解：设，则， ， 设矩形的对角线与相交于点，连接， 平行四边形是矩形， ， ，， ， ， 过点作于点， 又， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，函数关系式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 26 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $$