期末总复习： 锐角三角比 过关检测试卷 2025-2026学年沪教版九年级数学上册

期末复习：《锐角三角比》过关检测试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海松江·月考）在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 5.（2025·上海黄浦·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 6．（25-26九年级上·上海黄浦·月考）如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，（是锐角），，那么的长为 ． 9．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ． 10．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即米)，遮阳篷的宽度为米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为时，遮阳篷在地面上的阴影宽度为 米． 11．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，过点A作的垂线，与边相交于点E，联结．如果，且，那么的长是 ． 12．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 13．（2025·上海徐汇·一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 14．（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 15．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，于，如果，那么的值是 ． 16．（2025·上海崇明·月考）已知锐角中，，，，那么 度． 17．（2025·上海普陀·月考）如图，小明在教学楼的楼顶测得：对面实验大楼的顶端的仰角为，底部的俯角为，如果教学楼的高度为米，那么两栋教学楼的高度差为 米． 18．（2025·上海徐汇·月考）如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 ． 三、解答题 19．（2025·上海黄浦·一模）计算：． 20．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 21．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 22．（2025·上海徐汇·一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 23． （2025·上海长宁·模拟）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75． 24．（2025·上海徐汇·模拟）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边在外作正方形，分别联结、，与交于点． （1）当时，求正方形的面积； （2）延长交于点，如果和相似，求的值； （3）当时，求的长． 25．（2025·上海杨浦·模拟）如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点．    (1)如果点为边的中点，求的正切值； (2)当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围； (3)联结，如果与相似，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习：《锐角三角比》过关检测试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴（米）， 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，通过连接构造出直角三角形及熟知正切的定义是解答本题的关键． 根据所给网格，连接得出与垂直，再结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 则， 设小正方形网格的边长为， 则由勾股定理得：，， 在中， ， 故选：D． 3．（23-24九年级上·上海松江·月考）在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理，正确掌握正切公式是解题的关键．先由勾股定理求得，再由正切的定义求解． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，过点作轴于点，则，，再由正切的定义得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选A． 5.（2025·上海黄浦·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案． 【详解】∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， 又∵DF⊥AB，     ∴∠ADF＝90°， ∴∠BAC+∠F＝90°， ∴∠B＝∠F， 又∵∠ECF＝∠ACB＝90°， ∴△ECF∽△ACB， ∴＝tan∠EAC＝， ∴， 又∵S△ECF＝1， ∴S△ABC＝9， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键． 6．（25-26九年级上·上海黄浦·月考）如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导，得到，然后利用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】如图，设对角线与交于点O， ∵，是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴矩形与矩形面积的比为， 故选B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坡度坡比问题（解直角三角形的应用），勾股定理等知识点，熟练掌握坡度（或坡比）的定义是解题的关键：坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即，坡度通常写成的形式． 根据坡度的定义画图求解即可． 【详解】解：如图，由题意可知：米，米， 根据勾股定理可得： 米， 这个斜坡的坡度， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，（是锐角），，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于D，先解得到，即可利用勾股定理求出，再解求出，则． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 9．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ． 【答案】或/或 【分析】分两种情况讨论，根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，，设，则，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出，则，或，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，交于点O，，， ∵四边形是矩形， .∴，， ， 根据折叠的性质得，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 即的正切值是； 如图，交于点O，，， 同理得， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 即的正切值是； 综上，的正切值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即米)，遮阳篷的宽度为米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为时，遮阳篷在地面上的阴影宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，先作于点，作，交的延长线于点，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值． 【详解】解：作于点，作，交的延长线于点，如图， 由已知可得，米，，，米， (米)，(米)， 米，米， ，， (米) 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，过点A作的垂线，与边相交于点E，联结．如果，且，那么的长是 ． 【答案】 【分析】过点作交于点，作于点，过点作交的延长线于点，根据可得，则，在中解直角三角形可得，，在中，根据，设，则，，根据可得，根据可得，，据此可得，由此可判定，利用相似三角形的性质可得，然后在中解直角三角形即可得出的长． 【详解】解：如图，过点作交于点，作于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 由勾股定理可得： ， ， ， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理可得： ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，平行线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 12．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数和勾股定理，是解题的关键． 根据正弦值求出的长，根据勾股定理求出的长，根据，得到，进而求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 13．（2025·上海徐汇·一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，过点P作于点C，则，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：过点P作于点C， 则， 由题意得， ∴， ∴， 设千米，则千米， 在中，， 即， 解得， ∴千米． 故答案为：． 14．（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 过点作于点， 则米， 在中和中， 根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得， 米， ， 在中， ， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是米. 故答案为： ． 15．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，于，如果，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，则，再根据锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·上海崇明·月考）已知锐角中，，，，那么 度． 【答案】45 【分析】过A作AD⊥BC于D，求出AD长，根据勾股定理求出BD，从而得出CD长，继而得出是等腰直角三角形，即可得出的度数． 【详解】过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC =90°， 在Rt中， AB=5， ∴ ∴AD=4， ∴， ∵， ∴CD=BC-BD=7-3=4， ∴是等腰直角三角形， ∴∠C =45°． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等知识点的应用，正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比是解题的关键． 17．（2025·上海普陀·月考）如图，小明在教学楼的楼顶测得：对面实验大楼的顶端的仰角为，底部的俯角为，如果教学楼的高度为米，那么两栋教学楼的高度差为 米． 【答案】 【分析】连接AC，由题意知四边形ABCH是矩形，则DH=AB=m，利用Rt△ADH得到，推出，再根据Rt△ACH中，即可求出答案． 【详解】连接AC， 由题意知四边形ABCH是矩形，则DH=AB=m， 在Rt△ADH中，∠DAH=，， ∴， 在Rt△ACH中，∠CAH=，， ∴， 故答案为：． ． 【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题中的仰角和俯角，构建直角三角形利用锐角三角函数解决问题是解题的关键． 18．（2025·上海徐汇·月考）如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 ． 【答案】 【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得，根据得，求出，得出，利用和勾股定理即可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设的长是x， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去负值）， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 三、解答题 19．（2025·上海黄浦·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合计算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 20．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）过点作于点，根据正弦定义及勾股定理求出，，则，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可； （）根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，再根据相似三角形的性质及线段的和差求解即可； 此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 【答案】塔的高度约为21m． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 证明，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∵四边形是矩形， 解得， 答：塔的高度约为21米． 22．（2025·上海徐汇·一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解直角三角形： （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）过点F分别作于点G、于点H，解直角三角形，求出的长，证明，求出的长，在中，利用三角函数进行求解即可． 【详解】（1）原式； （2）过点F分别作于点G、于点H， 在中，， ， 在中，, , 又 又 ∴四边形是矩形， ， 在中， 23．（2025·上海长宁·模拟）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，．） 【答案】 【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNC，设AE=x米，通过解直角三角形分别求出BE、CE的长度，继而求出BC，进而可得关于x的方程，解方程求得x，即AE，继而即可求解． 【详解】解：延长BC交AD于点E， ∵BM＝CN且CN⊥DM，BM⊥DM ∴BM∥CN， ∴四边形BCNM是平行四边形， ∵∠CNM＝∠BMN＝90° ∴四边形BCNM是矩形， 同理：四边形CEDN是矩形， ∴DE＝CN＝BM＝1.6米 ∠AEC＝90° ∵BC＝MN， 设AE=x米， ∵tan53°＝，tan30°＝， ∴CE＝≈0.75x，≈1.73x， ∴BC＝BE－CE＝1.73x－0.75x＝0.98x， 又MN＝0.98， ∴0.98x＝0.98， ∴x＝1， 即AE＝1米 ∵DE＝CN＝BM＝1.6米 ∴AE＋DE＝1+1.6＝2.6米 答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，涉及到矩形的判定及其性质解题的关键是做辅助线构造直角三角形并解直角三角形． 24．（2025·上海徐汇·模拟）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边在外作正方形，分别联结、，与交于点． （1）当时，求正方形的面积； （2）延长交于点，如果和相似，求的值； （3）当时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，设CD=x，则AD=12-x，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x的值，再利用正方形的面积公式求解即可； （2）先证∠BAC=∠EBF，设边长为x，利用三角函数求出x的值，再求∠ABE的正弦值即可； （3）设边长为x，利用△BCG∽△EDG，得出，然后联立，根据AG=AE，求解即可． 【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5， ∴AB= ， 设CD=x，则AD=12-x， 在△ADE中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²， 在△BFE中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²， 在△ABE中，AE⊥BE， ∴AB²=AE²+BE²， 即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=， ∴正方形的面积=CD²=×=； （2）如图：延长ED交AB于H， ∵△BEH∽△ABG，且∠ABG=∠EBH， ∴∠BEH=∠BAG， ∵DE∥EF， ∴∠BEH=∠EBF， ∴∠BAC=∠EBF， 设边长为x， 则tan∠EBF=，tan∠BAC=， 令=，则x=, ∵， ∵， ∴BH=13-AH=，HD=，　 ∴HE=HD+x= ， 过H作HM，与BE相交于M， , ； （3）∵DE//BC, ∴△BCG∽△EDG， 设边长为x， ∴， ∵DG+GC=x， ∴DG=，GC=， 则 ，令AG=AE， 则CD=x=或x=（舍去）． 【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度． 25．（2025·上海杨浦·模拟）如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点．    (1)如果点为边的中点，求的正切值； (2)当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围； (3)联结，如果与相似，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或 【分析】（1）过点作于．解直角三角形求出， 即可解决问题； （2）如图2中，过点作，延长交于，直线交于，交的延长线于．根据全等三角形的平时和性质证明，根据相似三角形的性质可得，即，可得结论； （3）利用相似三角形的性质，可得或，由此构建方程求出，当点在下方时，同法可求． 【详解】（1）如图1中，过点作于． ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ （2）如图2中，过点作，延长交于，直线交于，交的延长线于． ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． （3）如图3中，连接，作于． ∵， ∴ ∵与相似 ∴与相似 ∴或 ∴或 整理得，或 解得，或（舍弃） 或（舍弃） ∴或 当点在下方时，同法可得， 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $