第20讲 函数的表示法(四类知识点+九大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第20讲 函数的表示法（九大题型） 学习目标 1、 知道函数的三种表示法的特点； 2、 会运用函数的三种表示法； 3、 综合运用函数的不同的表示法研究函数的图像与性质； 1、解析法 解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示． 2、列表法 列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律． 3、图像法 （1）图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的 对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体． （2）三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、 连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解． 小结：解析法、列表法、图像法是表示函数的三种常用方法.用适当的方法表示函数，或者把几种方法结合起来，能够帮助我们更好地研究函数和运用函数解决问题.前面在研究正比例函数和反比例函数时，我们同时运用了解析法和图像法. 【即学即练1】函数的表示方法通常有三种，它们是 、 、 ． 【答案】 解析式法 列表法 图象法 【解析】略 【即学即练2】一辆汽车在行驶的过程中，已知汽车行驶的速度是60千米/小时，若设x小时行驶的路程为y千米，那么变量y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数关系式．根据路程速度时间，即可得出答案． 【解析】解：由题意得． 故答案为：． 【即学即练3】某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为 ． 【答案】 【分析】根据表格数据即可表示因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系． 【解析】解：根据表格数据可知： 因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，解决本题的关键是函数的表示方法． 【即学即练4】如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（   ） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 【答案】D 【分析】本题考查函数图象的实际应用，结合图象得出从家直接去体育场，故第一段函数图象所对应的y轴最高点即为体育场离张强家的距离，进而得出锻炼时间以及整个过程所用的时间，由第三段函数图象可得体育场离开早餐店的距离，根据第五段函数图象求得张强从早餐店回家的距离及时间，再利用平均速度等于总路程除以总时间即可求张强从早餐店回家的平均速度． 【解析】解：由函数图象可得，体育场离张强家2.5千米，故A不符合题意； 由图象可得，张强在体育场锻炼了（分钟），故B不符合题意； 由图象可得，体育场离早餐店的距离为：（千米），故C不符合题意； 由图可得，张强从早餐店回家的距离是1.5千米，所需用的时间为（分）， 所以张强从早餐店回家的平均速度是（千米/小时），故D符合题意； 故选：D． 题型1：函数的三种表示方法 【典例1】．．表示函数的三种方法是： ， ， ． 【答案】 列表法 解析式法 图象法 【分析】根据函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．进行填空即可． 【解析】解：表示函数的三种方法是：列表法、解析式法、图象法． 故答案为：列表法；解析式法；图象法． 【点睛】此题主要考查函数的表示方法，解题的关键是熟知函数的三种方法是：列表法、解析式法、图象法． 【典例2】．．一个等腰三角形的周长为20，腰长为，底边长为，则与之间的函数解析式是 ，定义域是 . 【答案】 【分析】等腰三角形的底边长=周长-2×腰长，根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值． 【解析】∵等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为20， ∴y=20-2x， ， 解得5＜x＜10． 故答案为y=20-2x；5＜x＜10． 【点睛】此题考查了根据实际问题列一次函数解析式；判断出等腰三角形腰长的取值范围是解决本题的难点． 【典例3】．．八年级（6）班一同学感冒发烧住院治疗，护士为了较直观地了解这位同学这一天24h的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是（　　） A．列表法 B．图象法 C．解析式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【分析】列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 【解析】解：护士为了较直观地了解这位同学这一天24h的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 题型2：列表法 【典例4】．．小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 千米． t小时 0.2 0.6 0.8 s千米 20 60 80 【答案】212 【分析】根据路程÷时间=速度，求出在高速公路上行驶的速度，再根据路程=速度×时间求出子高速公路行驶的路程，再和其它两段路程相加即可求解． 【解析】解：在高速公路上行驶的速度为平均每小时：20÷0.2=100（千米） 在高速公路上行驶的路程为：100×2=200（千米） 所以小韦家到纪念馆的路程是：7+200+5=212（千米）． 故答案为：212 【点睛】本题主要考查了根据题意求行程的问题，解题的关键是读懂题意，弄清速度，时间，路程三者之间的关系． 【典例5】．．下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度与下降高度的关系，则弹跳高度与下降高度的函数解析式为 . 50 80 100 150 25 40 50 75 【答案】 【分析】观察表格发现d都是b的2倍，直接写出解析式即可. 【解析】观察表格发现d都是b的2倍，则弹跳高度与下降高度的函数解析式为. 【点睛】本题对函数表格的考查，准确观察表格得出结论是解决本题的关键，难度较小. 【典例6】．．某水果店卖出的苹果数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表： 苹果数量x（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价y（元） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 … 上表反映了两个变量之间的关系，则与的解析式为 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数解析式，根据表格可知，苹果数量每增加0.5千克，那么售价就增加2.5元，据此可得答案． 【解析】解：由表格可知，苹果数量每增加0.5千克，那么售价就增加2.5元， ∴， 故答案为：． 【典例7】．．某施工队修一段长度为800米的公路，如表根据每天工程进度制作而成的． 施工时间t/天 1 2 3 4 5 ··· 累计完成施工量y/米 40 80 120 160 200 ··· 下列说法错误的是（   ） A．在这个变化中，自变量是施工时间，因变量是每天完成施工量 B．当施工时间为5天时，累计完成施工量为200米 C．若累计完成施工量为600米，则施工时间为15天 D．y与t之间的解析式为 【答案】A 【分析】本题考查函数的表示方法，掌握自变量和因变量的定义、找到数据的变化规律是解题的关键．A．根据自变量与因变量的定义判断即可；B．根据表格中的数据判断即可；C．根据“累计完成施工量÷每天的施工量=施工时间”计算即可；D．根据“累计完成施工量=每天的施工量×施工时间”计算即可． 【解析】解：A．这个变化中，自变量是施工时间，因变量是累计完成施工量， ∴A错误，符合题意； B．当时，，即当施工时间为5天时，累计完成施工量为200米， ∴B正确，不符合题意； C．由表格可知，每天完成施工量40米， （天）， ∴C正确，不符合题意； D．∵每天完成施工量40米， ∴t天累计完成施工量为米，即， ∴D正确，不符合题意． 故选：A． 题型3：解析法 【典例8】．．鸡蛋每个0.8元，那么所付款（元）与所买鸡蛋个数（个）之间的函数解析式是 . 【答案】 【分析】根据总价=单价×数量即可列出函数解析式. 【解析】∵单价为0.8元，数量为x个，总价为y元. ∴. 【点睛】本题考查用解析式法表示变量之间的关系. 能根据销售问题中的等量关系列出解析式是解决此题的关键. 【典例9】．．长方形的周长为20，宽为x．若设长方形的面积为S，则面积S与宽x之间的关系是 ． 【答案】 【分析】先用x表示出长方形的长，再根据长方形的面积公式解答即可． 【解析】解：因为长方形的周长为20，宽为x，所以长方形的长为(10－x)，所以长方形的面积S与宽x的解析式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用解析式表示变量之间的关系，准确掌握长方形的周长与面积公式是解题的关键． 【典例10】．．等腰三角形顶角为度，底角为度，则之间的函数解析式是 ． 【答案】y=180-2x 【分析】根据三角形内角和可得2x+y=180°，再整理成函数解析式的形式即可. 【解析】解：由题意得：2x+y=180°， 整理得：y=180-2x. 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，关键是掌握等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°． 【典例11】．．刹车距离与刹车时的速度有如下关系：，小李以的速度行驶在路上．突然发现前方8m处有个水沟，小李马上踩下刹车（忽略反应时间），问是否来得及 （填“是”或“否”）． 【答案】否 【分析】把v=先换算单位为10m/s，再代入函数解析式即可求出s的值，然后与8米作比较即得答案． 【解析】解：当v==10m/s时，，所以他来不及踩下刹车． 故答案为：否． 【点睛】本题考查了已知自变量求因变量的值，属于基本计算题，先换算单位、再准确计算是解题关键． 【典例12】．．已知一台装有30升柴油的柴油机，工作时平均每小时耗油3升，请写出柴油机剩余油量Q关于时间t的函数解析式 （不要求写定义域） 【答案】Q=30-3t 【解析】分析：余油量=原有油-每小时用油×时间，据此写出函数解析式． 详解：剩余油量Q升与工作时间t小时之间的解析式为：Q=30−3t(0⩽t⩽10). 故答案是：Q=30−3t. 点睛：本题考查根据实际问题列函数解析式.找出实际问题中的等量关系是列函数关系的关键. 题型4：图像法 【典例13】．．甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（    ） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上 【答案】D 【分析】根据图象，列出关于a，b的方程，求出a，b的值，从而即可逐一判断各个选项． 【解析】解：根据图象可知，（300-a）÷b=（240-a）÷3=a÷1， 解得：a=60，b=4， 甲车的速度=60÷1=60km/h，乙车的速度=300÷3=100km/h， 故A，B，C正确，不符合题意； ∵60÷（100-60）=1.5，1.5+1=2.5h， ∴甲车出发后被乙车追上， 故D错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了用图像表示的变量间关系，理解图象以及分别求出甲、乙两人的速度是解题的关键． 【典例14】．．一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一座城市的梦，唤醒一个国家的清晨．当升旗手匀速升旗时，旗子的高度（米）与时间（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用用图像表示变量间关系的方法解答即可． 【解析】解∶∵升旗手匀速升旗， ∴高度h将随时间t的增大而变增大，且变化快慢相同， ∴应当用上升趋势的直线型表示， ∴只有B符合题意， 故选∶B． 【点睛】本题考查了用图象表示的变量间关系，根据题意明确因变量随自变量变化的趋势是解题的关键． 题型5：行程问题 【典例15】．．周末，小明骑单车去莱牟小镇游玩．如图，表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（时）之间关系的图象．根据图象回答： (1)小明________小时到达离家最远的地方，此时离家的距离为________千米； (2)求小明出发2.5小时离家多远． 【答案】(1)3，30 (2)22.5 【分析】（1）观察所给图象即可得出答案； （2）观察所给图象可知出发2.5小时后小明所处位置在C与D的中间，由此可解． 【解析】（1）解：观察所给图象可知，小明3小时到达离家最远的地方D，此时离家的距离为30千米． 故答案为：3，30； （2）解：观察所给图象可知，出发2.5小时后小明所处位置在C与D的中间， C处离家的距离为15千米，D处离家的距离为30千米， （千米） 因此小明出发2.5小时离家的距离为22.5千米． 【点睛】本题考查用图象表示变量之间的关系，看懂所给图象是解题的关键． 【典例16】．．初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校，如图描述的是他离家的距离S和离家的时间t之间的函数图像，根据图像解决下列问题： （1）修车时间为______分钟： （2）到达学校时共用时间______分钟； （3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数解析式为______定义域为______； （4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟______米． 【答案】（1）5分钟；（2）20分钟；（3）；;（4）300． 【分析】（1）线段AB表示修车时段，时间为5分钟； （2）根据C点横坐标为20，得出到达学校时共用时间； （3）观察图象，获取有关信息：线段OA表示故障前行使情况：10分钟行使了1500米； （4）根据线段BC表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米，即可求出行驶速度． 【解析】解：（1）线段AB表示修车时段，时间为5分钟； 故答案为：5； （2）利用C点横坐标为20，得出从家到学校用时20分钟； 故答案为：20； （3）由图象可知：小王从离家时到自行车发生故障时，10分钟行使了1500米，故速度为150米/分，图象过原点，所以函数解析式为S=150t()； 故答案为：；； （4）线段BC表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米， 故速度为1500÷5＝300（米/分）； 故答案为 ：300． 【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势，能够从图象中获取相关信息是关键． 【典例17】．．、两地相距45千米，甲骑电瓶车从地出发前往地，乙同时骑自行车从距离地20千米的地出发前往地．图中的线段和线段分别反映了两人与地的距离（千米）和行驶时间（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题： (1)两人谁先到达地？________．（填“甲”或“乙”） (2)甲到达地用了________小时． (3)两人在出发多少小时后相遇？ 【答案】(1)甲 (2) (3) 【分析】（1）直接观察图象，即可求解； （2）求出甲的速度，即可求解； （3）设两人在出发t小时后相遇，根据题意，列出方程，即可求解． 【解析】（1）解：观察图象得：甲先到达地； 故答案为：甲 （2）解：根据题意得：甲的速度为千米/小时， ∴甲到达地用了小时； 故答案为： （3）解：设两人在出发t小时后相遇，根据题意得： ， 解得：， 即两人在出发小时后相遇． 【点睛】本题主要考查了函数图象，准确从函数图象获取信息，利用数形结合思想解答是解题的关键． 题型6：蓄水、放水问题 【典例18】．．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的解析式为Q＝48－2t 【答案】D 【分析】由函数的定义可判断A，由表格信息可判断B，根据题意可得蓄水量Q=50-2t，可判断C，D，从而可得答案． 【解析】解：放水时间是自变量，水池里的水量是因变量，故A不符合题意； 蓄水池每分钟放水2m3，故B不符合题意； 放水25分钟时，Q=50-2×25=0，水池里的水全部放完，故C不符合题意； 水池里的水量Q与放水时间t的解析式为Q=50-2t，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的实际应用，列函数解析式，通过分析题意列出正确的函数解析式是解决本题的关键． 【典例19】．．如图，这是一个水池存水量（万吨）与注水或排水时间（小时）之间的函数关系图象． （1）水池原有水_________； （2）向水池内注水________小时；每小时注水_______万吨； （3）________小时把水排空；每小时排水________万吨． 【答案】（1）100万吨；（2）3，50；（3）5，50． 【分析】（1）根据函数图象直接可以得到水池原有水的质量； （2）根据函数图象直接可以得到向水池内注水3小时，注水150万吨，然后求出每小时注水的吨数即可； （3）根据函数图象直接可以得到经过5小时将水池排空，排水250万吨，然后求出每小时排水的吨数即可． 【解析】解：（1）根据函数图象直接可以得到水池原有水的100万吨 故答案为100万吨； （2）根据函数图象直接可以得到向水池内注水3小时，注水150万吨，然后求出每小时注水150÷3=50万吨 故答案为3，50； （2）根据函数图象直接可以得经过5小时将水池排空，排水250万吨，然后求出每小时排水250÷5=50万吨 故答案为5，50． 【点睛】本题考查了函数图象的应用，从函数图象上获取所需的信息成为解答本题的关键． 题型7：酒精、农药浓度问题 【典例20】．．实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x的关系可近似地用反比例函数刻画（如图）． （1）求k的值． （2）当时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？ （3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．假设某驾驶员晚上喝完半斤白酒，第二天早上能否驾车？请说明理由． 【答案】（1）；（2）肝功能持续受损的时间为2.25小时；（3）第二天早上7：00不能驾车去上班，理由见解析． 【分析】（1）当x=1.5时，求出y=150，进而代入，代入可求得k的值； （2）把y=75分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式，可求得x的值，则可求得持续时间； （3）可求得时间为11小时，把x=11代入反比例函数解析式可求得酒精含量，结合规定可进行判断． 【解析】（1）由题意可得：当x=1.5时，y=150，则满足 ， ∴； （2）把y=75代入， 解得； 把代入得，， ∵3-0.75=2.25小时， ∴喝酒后血液中的酒精含量不低于75毫克的时间持续了2.25小时， 答：肝功能持续受损的时间为2.25小时； （3）不能驾车上班，理由如下： ∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时， ∴将代入，则， ∴第二天早上7：00不能驾车去上班． 【点睛】本题为一次函数和反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、一元一次方程等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 【典例21】．．某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（）时，满足，下降时，y与x成反比． （1）直接写出a的取值，并求当时，y与x的函数表达式； （2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】（1）3，；（2）抗菌新药可以作为有效药物投入生产，见解析 【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； （2）把y＝3分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【解析】（1）由图象知，； ∵当时，y与x成反比， ∴设， 由图象可知，当时，， ∴； ∴； （2）把分别代入和得，和， ∵， ∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键． 题型8：其他实际问题 【典例22】．．数学兴趣小组用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度与小车下滑时间之间的关系如下表所示： 支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 根据表格提供的信息，下列说法错误的是（    ） A．支撑物高度为时，小车下滑时间为 B．支撑物高度越大，小车下滑时间越小 C．若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间 D．若支撑物高度为，则小车下滑时间可以小于的任意值 【答案】D 【分析】根据函数的表示方法对各选项进行逐一分析即可． 【解析】解：A、由表可知，当h=40cm时，t=2.13s，故A正确； B、支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小，故B正确； C、若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间，故C正确； D、若支撑物的高度为80cm，则小车下滑时间可以是小于1.59s，但不是任意值，故D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键． 【典例23】．．某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数解析式； （2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围． 【答案】（1）S＝；（2）0.1＜a≤0.17． 【分析】（1）利用路程＝总容积平均油耗，即可得出函数解析式； （2）分别得出往返需要的油量进而得出答案． 【解析】解：（1）汽车能够行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）之间的函数关系为：S＝； （2）去省城的耗油量＝200×0.1＝20（L）， 设返回时的平均油耗量为a L/km， ∵20+200a≤60﹣6，且a＞0.1， ∴0.1＜a≤0.17． 答：平均耗油量的范围是0.1＜a≤0.17． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 【典例24】．．小明想用实验的方法测量某种食用油的沸点，他找到一个秒表和一支刻度标有0—100℃的温度计．他在锅中加入一定量的这种食用油，在煤气灶上加热，并且每隔10秒测一次温度，他发现加热到第100秒时，油沸腾了．以下是他的测量数据： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 下面说法不正确的是（    ） A．加热到30秒时油温是70℃ B．估计这种食用油的沸点温度是210℃ C．在这个问题中，时间和油温都是变量，其中油温是自变量 D．在一定范围内，每加热10秒，油温上升20℃ 【答案】C 【分析】根据表格中两个变量的变化关系以及对应值逐项进行判断即可． 【解析】解：A．由表格中的数据可知，当时间为30秒时，所对应的油温是70℃，说法正确，不符合题意； B．根据表格中油温随时间的变化规律可得，当时间为100秒时，所对应的油温为10＋20×＝210℃，说法正确，不符合题意； C．由题意可知，在这个问题中，时间和油温都是变量，其中时间是自变量，油温是因变量，原说法错误，符合题意； D．由表格中的两个变量变化的对应值可得，在一定范围内，每加热10秒，油温上升20℃，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量，函数的表示方法，理解表格中油温随时间的变化规律是正确判断的前提． 题型9：存在性问题（几何问题） 【典例25】．．如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB． 【答案】（1）；（2）24；（3）或 【分析】（1）直线l是正比例函数的图象，用待定系数法即可求得； （2）过点A作AC⊥OB于点C，则可得AC的长度，从而可求得△AOB的面积； （3）设点P的坐标为，分点P在线段OA上和点P在线段OA的延长线上两种情况考虑即可． 【解析】（1）设直线l的解析式为：y=kx，其中k≠0 ∵点A（6，4）在直线y=kx上 ∴6k=4 ∴ ∴直线l的解析式为 （2）过点A作AC⊥OB于点C，如图 ∵A（6，4），B（12，0） ∴AC=4，OB=12 ∴ （3））设点P的坐标为 ∵ S△ABP＝S△AOB ∴S△ABP＝8 当点P在线段OA上时，如图所示 ∵ ∴△POB的面积为24-8=16 即 解得：a=4 此时点P的坐标为 当点P在线段OA的延长线上时，如图所示 ∵ ∴△POB的面积为24+8=32 即 解得：a=8 此时点P的坐标为 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，图形面积，正比例函数的图象等知识，涉及分类讨论思想． 【典例26】．．已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【解析】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 一、单选题 1．从兴文到成都大约有千米，某天小丽一家准备自驾车从兴文到成都参观大熊猫基地，在这个过程中，如果设行驶的速度为千米/时，行驶的时间为小时，其中常量是（    ） A． B． C． D．，t 【答案】A 【分析】本题考查常量与变量，理解常量、变量的意义是正确判断的前提．根据常量、变量的意义进行判断即可． 【解析】解：由题意得，其中常量为，变量为，t． 故选：A． 2．已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，列函数关系式，解不等式组，根据等腰三角形的定义得到，则，再由三角形三边的关系得到，解得，据此可得答案． 【解析】解：由题意得，， ∴， ∵三角形中，两边之和大于第三边， ∴ ∴． 故选：D． 3．在综合实践活动中，小强同学了解到裤子的尺码（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表： 尺码/英寸 … … 腰围/ … … 若小强的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【答案】A 【分析】本题考查了变量之间的关系．根据题意确定变量之间的关系是解题的关键． 由题意知，尺码/英寸每增加1英寸，腰围的长度增加，当腰围是，所穿裤子的尺码为，求解作答即可． 【解析】解：由题意知，尺码/英寸每增加1英寸，腰围的长度增加， ∴当腰围是，所穿裤子的尺码为英寸， 故选：A． 4．如图，四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a．运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b．一辆汽车在平直的公路上匀速运动（汽车行驶路程与时间的关系）； c．一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d．小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况作出选择．根据函数图象的特点：①是抛物线图象；②是一次函数图象；③是分段函数图象；④是正比例函数图象，进行判断即可． 【解析】解：a：运动员推出去的铅球的运动轨迹是抛物线，即①所显示的图形； b：一辆汽车在平直的公路上匀速运动是过原点的直线，即④所显示的图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，即②所显示的图象； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，即③所显示的图象． 故选：D． 5．一水池蓄水20 m3，打开阀门后每小时流出5 m3，放水后池内剩余的水量Q(m3)与放水时间t(时)的函数关系用图象表示为(　　) A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 【答案】D 【分析】由生活经验可知：水池里的水，打开阀门后，会随着时间的延续，而随着减少．池内剩下的水的立方数Q （m3）与放水时间t（时）都应该是非负数．由此即可解答. 【解析】选项A，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q （m3）随着放水时间t（时）的延续而增长，选项A错误； 选项B，图象显示，打开阀门后池内剩下的水的立方数Q的量不变，选项B错误； 选项C，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q （m3）随着放水时间t（时）的延续而减少，但是，池中原有的蓄水量超出了20 m3，选项C错误； 选项D，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q （m3）随着放水时间t（时）的延续而减少，选项D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象，根据实际情况确定图象是解题的基本思路． 6．赵老师手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）： 年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24 身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4 下列说法中错误的是（    ） A．赵老师的身高增长速度总体上先快后慢 B．x与h都是变量，且x是自变量，h是因变量 C．赵老师的身高在21岁以后基本不长了 D．赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm 【答案】D 【分析】本题考查了表格法表示函数． A．计算每相邻3年身高的增量并通过比较即可得出结论； B．根据表格中的信息和自变量、因变量的定义判断即可； C．通过对比21岁和24岁这两年的身高变化即可得出结论； D．根据“从0岁到12岁身高的增加量”计算判断即可． 【解析】解：，，，，，，，， ， 赵老师的身高增长速度总体上先快后慢，故A正确，不符合题意； 与都是变量，随的变化而变化，即是自变量，是因变量，故B正确，不符合题意； 赵老师的身高21岁时，24岁时， 赵老师的身高在21岁以后基本不长了，故C正确，不符合题意； 赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高，故D错误，符合题意． 故选：D． 7．张大爷出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了20分钟报纸后，用了15分钟返回家，如图中表示张大爷离家时间与距离之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离家时距离家的距离越来越远，则图象上升，看报时，则离家的距离不变，回家则离家越来越近，图象下降，可得出答案． 【解析】解：从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，则前20分钟内离家的距离越来越远，图象上升； 在报亭20分钟，则这段时间内离开家的距离还是900米，此时图象为平行x轴的线段； 又用15分钟返回家，则在这段时间内图象下降； ∴总的用时为：20+20+15=55分， 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象，掌握离家、回家及阅报时对应的函数图象为上升、下降和平行x轴是解题的关键． 8．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此即可得到答案． 【解析】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误； B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误； C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确； D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了图象表示变量关系，能够根据题中所给的信息，分析出水的深度变化是先快后慢是解题关键． 9．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（    ） A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是 C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m D．摩天轮的半径是35m 【答案】D 【分析】分别根据函数的定义以及图象的数据逐一判断即可． 【解析】解：由题意可得： A、变量y是x的函数，说法正确，故本选项不合题意； B、摩天轮转一周所用的时间是6min，说法正确，故本选项不合题意； C、摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m，说法正确，故本选项不合题意； D、摩天轮的半径是：（70-5）÷2=32.5（m），原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答． 10．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【解析】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题 11．填空：两个变量之间的依赖关系用 来表达，这种表示函数的方法叫做解析法． 【答案】数学式子 【分析】函数的解析式就是关于自变量的数学式子． 【解析】解：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法． 故答案为：数学式子． 【点睛】本题考查了函数解析式的定义，知道函数解析式是描述函数的一种常用方法是关键． 12．把2x﹣y=3写成y是x的函数的形式为   ． 【答案】y=2x﹣3 【分析】通过移项即可将其变为y是x的函数的形式. 【解析】解：2x﹣y=3， 移项得y=2x﹣3. 故答案为y=2x﹣3. 【点睛】本题主要考查函数的一般形式. y=kx+b（k≠0)是一次函数的解析式，图像是一条直线，斜率是k，截距是b. 13．学校购买一些铅笔奖励学习进步的同学，铅笔单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化，则表示函数与自变量关系的式子是 （x是正整数），其中常量是 ，变量是 ． 【答案】 铅笔单价0.2元/支 铅笔支数x和总价y 【分析】本题考查了函数的表示，写函数的解析式是函数的表示方法之一，解题的关键是抓住题中的数量关系用自变量的代数式来表示因变量． 根据总价单价数量，可得函数关系式． 【解析】解：由题意得：（x是正整数）， 其中常量是铅笔单价0.2元/支，变量是铅笔支数x和总价y． 故答案为：，铅笔单价0.2元/支，铅笔支数x和总价y． 14．圆柱底面半径为5cm，则圆柱的体积V（cm3）与圆柱的高h（cm）之间的函数关系式为 ，它是 函数 【答案】 V=25πh 正比例 【分析】根据圆柱体的体积=高×底面积即可列出函数关系式，再正比例函数的定义进行判断即可. 【解析】解：圆柱的体积V与圆柱的高h之间的函数关系式为： V=25πh，它是正比例函数. 故答案为V=25πh，正比例. 【点睛】本题主要考查正比例函数的应用，解此题的关键在于利用圆柱的体积公式写出函数关系式. 15．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 120 112 104 96 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶 小时，油箱的余油量为0． 【答案】15 【分析】由表格可知油箱中有油120升，每行驶1小时，耗油8升，则可求解． 【解析】解：由表格可知，每行驶1小时，耗油8升， ∵t＝0时，y＝120， ∴油箱中有油120升， ∴120÷8＝15小时， ∴当行驶15小时时，油箱的余油量为0， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了变量与常量，解题的关键是注意贮满120L油的汽车，最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0的时的t的值． 16．对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据一次函数的定义可知，为自变量，为函数，也叫因变量；取全体实数；随的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图像法． 【解析】解：对于关系式，①是自变量，是因变量，正确；②的数值可以任意选择，正确；③y是变量，随的变化而变化，故③错误；④与的关系还可以用列表法和图像法表示，正确， 综上所述正确的说法有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键． 17．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则边上的高长为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，当点P从B运动到A的过程中，由0开始增大，到C时最大为5；当点P从C运动到A的过程中，的长度先减小，当时达到最小，最小值为4，然后又增大，进而可求解． 【解析】解：根据题意，结合图1和图2， 当点P从B运动到A的过程中，由0开始增大，到C时，最大为5；当点P从C运动到A的过程中，的长度先减小，当时达到最小，最小值为4，然后又开始增大，则边上的高长为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查图象的理解和应用，把图形和图象结合理解得到线段长度的变化是解答的关键． 18．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【解析】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 三、解答题 19．已知变量随着变量的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）移项，化系数为1，即可求解； （2）因式分解后，化的系数为1，即可求解； （3）化乘积式即，移项，然后化的系数为1，即可求解； （4）分解因式，即，得出或，然后移项，化系数为1，即可求解； 【解析】（1）移项可得，则； （2）因式分解即有，则； （3）化乘积式即，移项即得，，则； （4）分解因式，即， ∴或， 由此可得与函数     关系式为或． 【点睛】本题考查了函数表达式，熟练掌握函数的定义，因式分解是解题的关键．将式子改写成的形式，只需要通过等式性质进行变形，一边只有，另一边表示成只含有相关的代数式的形式． 20．已知银行某年9月的“半年期存款”年利率是2.25%，某人当年9月存入银行元，经过半年到期时按规定缴纳20%利息税后，得到利息元. 问税后利息（元）与本金（元）成正比例吗？如果成正比例，那么求出这个比例系数. 【答案】税后利息（元）与本金（元）成正比例，比例系数为. 【分析】根据税后利息=存款数×2.25%×（1﹣20%）×期数，据此列式求解即可． 【解析】根据题意得：，故税后利息b（元）与本金a（元）成正比例，比例系数为． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义．掌握利息的计算方法是解答本题的关键． 21．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域） （2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？ 【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案． 【解析】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b， 将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，得 ， 解得：， ∴该一次函数解析式为y=﹣x+60； （2）当y=﹣x+60=8时， 解得x=520， 即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 530﹣520=10千米， 油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米， ∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键． 22．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米． (1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式； (2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？ 【答案】（1）s= （2）该轿车可以行驶875千米 【分析】（1）将a=0.1，S=700代入到函数的关系中即可求得k的值，从而确定解析式； （2）将a=0.08代入求得的函数的解析式即可求得S的值． 【解析】（1）由题意得：a=0.1，S=700， 代入反比例函数关系中， 解得：k=Sa=70， 所以函数关系式为：； （2）将a=0.08代入得：S==875千米， 故该矫车可以行驶875千米． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用反比例函数图象上的坐标特征求出k值． 23．某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价x（元）与日销量y（件）之间的关系如下表： 降价x/元 0 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 150 155 160 165 b 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)求表中b的值； (3)若该商品的售价为440元，求该商品的日销量为多少件？ 【答案】(1)自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件） (2) (3)该商品的日销量为（件） 【分析】（1）根据函数的定义可得答案； （2）根据表格信息可得每降价10元，销量增加5件，从而可得答案； （3）由150件加上增加的销量即可得到答案． 【解析】（1）解：上表中的自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件）． （2）根据表格信息可得：； （3）该商品的日销量为（件）． 【点睛】本题考查的是函数的定义，理解利用表格表示的函数关系，求解函数的函数值，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 24．已知为实数. 、与的关系如表格所示. 根据表格中的数字变化规律，解答下列问题： … … … 3 4 5 6 … … … （1）当为何值时，？ （2）当为何值时，？ 【答案】（1）12；（2）或15. 【分析】（1）由题意，得出y，z关于x的代数式即可计算；（2）令y=z，解出x即可. 【解析】（1）由题意，得，，∴当时，. （2）∵，即，解得或15. 【点睛】本题对函数表格和一元二次方程的考查，准确观察表格得出结论是解决本题的关键， 25．小明骑车上学，当他骑了一段时间后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校．他离家距离（米）与所用的时间（分钟）的关系如图所示．根据图象回答下列问题：    (1)小明家到学校的距离是______米； (2)小明在书店停留了______分钟； (3)本次上学途中，小明一共骑行了______米； (4)据统计骑车的速度超过了330米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由． 【答案】(1)1500 (2)4 (3)2700 (4)小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度超过安全限度， 【分析】（1）利用图像得出从出发点到最远的的距离即可； （2）利用图像中位置不变，时间推移得出起点时间8分钟，终点时间12分钟，求其差即可； （3）从图像得出前6分钟的位置变化的路程1200米，然后折回2分钟的位置变化路程600米，从书店到学校位置变化的路程900米，求三段位置变化的路程之和即可； （4）利用速度公式用从书店到学校位置变化的路程900米÷时间2分钟，然后比较即可 【解析】（1）解：根据图像知小明家到学校的距离是1500米， 故答案为：1500； （2）解：根据位置不变，时间推移知：12-8=4分钟， 故答案为4； （3）解：前6分钟骑车1200米，然后折回2分钟骑车1200-600=600米到新华书店，从新华书店出来到学校2分钟骑车1500-600=900米， 本次上学途中，小明一共骑行了1200+600+900=2700米， 故答案为2700； （4）解：小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度为900÷2=450米/分钟， ∵450米/分钟＞330米/分钟， ∴小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度超过安全限度内． 【点睛】本题考查从函数图像获取信息和处理信息，掌握图像的横纵坐标的意义，折线与折点表示的含义，速度公式是解题关键． 26．如图1，两地之间有一条笔直的道路，地位于两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地．图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点． (1)在图2中表示的变量是______，因变量是______； (2)乙比甲晚出发______，两地相距______； (3)请直接写出甲的速度为______； (4)______，______； (5)在图2中点表示的含义是______； (6)请直接写出当______时，甲、乙相距． 【答案】(1)甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离 (2) (3) (4) (5)乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地 (6)或或14 【分析】本题考查了函数的图象，从图象上获取信息，求出甲乙两人的速度是正确解答的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）由图象可得乙比甲晚出发两地相距(千米)； （3）根据点的坐标可求出甲，乙两人的驾车速度； （4）根据两车的速度可得答案； （5）根据点的坐标解答即可； （6）分两种情况，①时，②时，分别列方程求解即可． 【解析】（1）解：在图2中表示的自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人与地的距离； 故答案为：甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离； （2）解：由图象可知，乙比甲晚出发的是两地相距(千米)； 故答案为：； （3）解：甲的驾车速度为：； 故答案为：； （4）解：由题意可得，， 乙的驾车速度为：， 所以， 故答案为：； （5）解：在图2中点表示的含义是乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地； 故答案为：乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地； （6）解：分两种情况，①时， ， 解得：， ②时， 乙的速度为， ∴， ∴， 综上，当或6.5或14时，甲，乙相距． 故答案为：或或14． 27．某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)，7 (3) 【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案； （2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案； （3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案． 【解析】（1）表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 对于方式二，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 故答案为：，． （2）由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标， 即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； 故答案为：，7． （3）该有声读物的听书时长不超过， 选择方式一只需打卡1天， 选择方式二需打卡3天， t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 函数的表示法（九大题型） 学习目标 1、 知道函数的三种表示法的特点； 2、 会运用函数的三种表示法； 3、 综合运用函数的不同的表示法研究函数的图像与性质； 1、解析法 解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示． 2、列表法 列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律． 3、图像法 （1）图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的 对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体． （2）三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、 连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解． 小结：解析法、列表法、图像法是表示函数的三种常用方法.用适当的方法表示函数，或者把几种方法结合起来，能够帮助我们更好地研究函数和运用函数解决问题.前面在研究正比例函数和反比例函数时，我们同时运用了解析法和图像法. 【即学即练1】函数的表示方法通常有三种，它们是 、 、 ． 【即学即练2】一辆汽车在行驶的过程中，已知汽车行驶的速度是60千米/小时，若设x小时行驶的路程为y千米，那么变量y与x之间的关系式为 ． 【即学即练3】某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表： （小时） 0 1 2 3 （升） 120 112 104 96 则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为 ． 【即学即练4】如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（   ） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 题型1：函数的三种表示方法 【典例1】．．表示函数的三种方法是： ， ， ． 【典例2】．．一个等腰三角形的周长为20，腰长为，底边长为，则与之间的函数解析式是 ，定义域是 . 【典例3】．．八年级（6）班一同学感冒发烧住院治疗，护士为了较直观地了解这位同学这一天24h的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是（　　） A．列表法 B．图象法 C．解析式法 D．以上三种方法均可 题型2：列表法 【典例4】．．小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 千米． t小时 0.2 0.6 0.8 s千米 20 60 80 【典例5】．下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度与下降高度的关系，则弹跳高度与下降高度的函数解析式为 . 50 80 100 150 25 40 50 75 【典例6】．某水果店卖出的苹果数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表： 苹果数量x（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价y（元） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 … 上表反映了两个变量之间的关系，则与的解析式为 【典例7】．．某施工队修一段长度为800米的公路，如表根据每天工程进度制作而成的． 施工时间t/天 1 2 3 4 5 ··· 累计完成施工量y/米 40 80 120 160 200 ··· 下列说法错误的是（   ） A．在这个变化中，自变量是施工时间，因变量是每天完成施工量 B．当施工时间为5天时，累计完成施工量为200米 C．若累计完成施工量为600米，则施工时间为15天 D．y与t之间的解析式为 题型3：解析法 【典例8】．．鸡蛋每个0.8元，那么所付款（元）与所买鸡蛋个数（个）之间的函数解析式是 . 【典例9】．．长方形的周长为20，宽为x．若设长方形的面积为S，则面积S与宽x之间的关系是 ． 【典例10】．．等腰三角形顶角为度，底角为度，则之间的函数解析式是 ． 【典例11】．．刹车距离与刹车时的速度有如下关系：，小李以的速度行驶在路上．突然发现前方8m处有个水沟，小李马上踩下刹车（忽略反应时间），问是否来得及 （填“是”或“否”）． 【典例12】．．已知一台装有30升柴油的柴油机，工作时平均每小时耗油3升，请写出柴油机剩余油量Q关于时间t的函数解析式 （不要求写定义域） 题型4：图像法 【典例13】．．甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（    ） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上 【典例14】．．一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一座城市的梦，唤醒一个国家的清晨．当升旗手匀速升旗时，旗子的高度（米）与时间（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型5：行程问题 【典例15】．．周末，小明骑单车去莱牟小镇游玩．如图，表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（时）之间关系的图象．根据图象回答： (1)小明________小时到达离家最远的地方，此时离家的距离为________千米； (2)求小明出发2.5小时离家多远． 【典例16】．．初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校，如图描述的是他离家的距离S和离家的时间t之间的函数图像，根据图像解决下列问题： （1）修车时间为______分钟： （2）到达学校时共用时间______分钟； （3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数解析式为______定义域为______； （4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟______米． 【典例17】．．、两地相距45千米，甲骑电瓶车从地出发前往地，乙同时骑自行车从距离地20千米的地出发前往地．图中的线段和线段分别反映了两人与地的距离（千米）和行驶时间（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题： (1)两人谁先到达地？________．（填“甲”或“乙”） (2)甲到达地用了________小时． (3)两人在出发多少小时后相遇？ 题型6：蓄水、放水问题 【典例18】．．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的解析式为Q＝48－2t 【典例19】．．如图，这是一个水池存水量（万吨）与注水或排水时间（小时）之间的函数关系图象． （1）水池原有水_________； （2）向水池内注水________小时；每小时注水_______万吨； （3）________小时把水排空；每小时排水________万吨． 题型7：酒精、农药浓度问题 【典例20】．．实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x的关系可近似地用反比例函数刻画（如图）． （1）求k的值． （2）当时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？ （3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．假设某驾驶员晚上喝完半斤白酒，第二天早上能否驾车？请说明理由． 【典例21】．．某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（）时，满足，下降时，y与x成反比． （1）直接写出a的取值，并求当时，y与x的函数表达式； （2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 题型8：其他实际问题 【典例22】．．数学兴趣小组用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度与小车下滑时间之间的关系如下表所示： 支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 根据表格提供的信息，下列说法错误的是（    ） A．支撑物高度为时，小车下滑时间为 B．支撑物高度越大，小车下滑时间越小 C．若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间 D．若支撑物高度为，则小车下滑时间可以小于的任意值 【典例23】．．某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数解析式； （2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围． 【典例24】．．小明想用实验的方法测量某种食用油的沸点，他找到一个秒表和一支刻度标有0—100℃的温度计．他在锅中加入一定量的这种食用油，在煤气灶上加热，并且每隔10秒测一次温度，他发现加热到第100秒时，油沸腾了．以下是他的测量数据： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 下面说法不正确的是（    ） A．加热到30秒时油温是70℃ B．估计这种食用油的沸点温度是210℃ C．在这个问题中，时间和油温都是变量，其中油温是自变量 D．在一定范围内，每加热10秒，油温上升20℃ 题型9：存在性问题（几何问题） 【典例25】．．如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB． 【典例26】．．已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 一、单选题 1．从兴文到成都大约有千米，某天小丽一家准备自驾车从兴文到成都参观大熊猫基地，在这个过程中，如果设行驶的速度为千米/时，行驶的时间为小时，其中常量是（    ） A． B． C． D．，t 2．已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（   ） A． B． C． D． 3．在综合实践活动中，小强同学了解到裤子的尺码（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表： 尺码/英寸 … … 腰围/ … … 若小强的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 4．如图，四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a．运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b．一辆汽车在平直的公路上匀速运动（汽车行驶路程与时间的关系）； c．一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d．小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 5．一水池蓄水20 m3，打开阀门后每小时流出5 m3，放水后池内剩余的水量Q(m3)与放水时间t(时)的函数关系用图象表示为(　　) A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 6．赵老师手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）： 年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24 身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4 下列说法中错误的是（    ） A．赵老师的身高增长速度总体上先快后慢 B．x与h都是变量，且x是自变量，h是因变量 C．赵老师的身高在21岁以后基本不长了 D．赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm 7．张大爷出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了20分钟报纸后，用了15分钟返回家，如图中表示张大爷离家时间与距离之间的关系（   ） A． B． C． D． 8．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ） A． B． C． D． 9．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（    ） A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是 C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m D．摩天轮的半径是35m 10．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 二、填空题 11．填空：两个变量之间的依赖关系用 来表达，这种表示函数的方法叫做解析法． 12．把2x﹣y=3写成y是x的函数的形式为   ． 13．学校购买一些铅笔奖励学习进步的同学，铅笔单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化，则表示函数与自变量关系的式子是 （x是正整数），其中常量是 ，变量是 ． 14．圆柱底面半径为5cm，则圆柱的体积V（cm3）与圆柱的高h（cm）之间的函数关系式为 ，它是 函数 15．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 120 112 104 96 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶 小时，油箱的余油量为0． 16．对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是 （填序号）． 17．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则边上的高长为 ． 18．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    三、解答题 19．已知变量随着变量的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．已知银行某年9月的“半年期存款”年利率是2.25%，某人当年9月存入银行元，经过半年到期时按规定缴纳20%利息税后，得到利息元. 问税后利息（元）与本金（元）成正比例吗？如果成正比例，那么求出这个比例系数. 21．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域） （2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？ 22．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米． (1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式； (2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？ 23．某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价x（元）与日销量y（件）之间的关系如下表： 降价x/元 0 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 150 155 160 165 b 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)求表中b的值； (3)若该商品的售价为440元，求该商品的日销量为多少件？ 24．已知为实数. 、与的关系如表格所示. 根据表格中的数字变化规律，解答下列问题： … … … 3 4 5 6 … … … （1）当为何值时，？ （2）当为何值时，？ 25．小明骑车上学，当他骑了一段时间后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校．他离家距离（米）与所用的时间（分钟）的关系如图所示．根据图象回答下列问题：    (1)小明家到学校的距离是______米； (2)小明在书店停留了______分钟； (3)本次上学途中，小明一共骑行了______米； (4)据统计骑车的速度超过了330米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由． 26．如图1，两地之间有一条笔直的道路，地位于两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地．图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点． (1)在图2中表示的变量是______，因变量是______； (2)乙比甲晚出发______，两地相距______； (3)请直接写出甲的速度为______； (4)______，______； (5)在图2中点表示的含义是______； (6)请直接写出当______时，甲、乙相距． 27．某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$