2024年广东省深圳市福田区实验教育集团侨香学校中考数学三模试卷

2024年广东省深圳市福田区实验教育集团侨香学校中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3和 B．3和﹣3 C．和 D．和 2．（3分）2024年春节档神仙打架，其中由贾玲主演的《热辣滚烫》以34.6亿元票房位居票房榜首位．34.6亿用科学记数法表示为（　　） A．3.46×109 B．3.46×1010 C．34.6×109 D．34.6×1010 3．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是（　　） A．一 B．定 C．满 D．意 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a6＝a12 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．2（a+b）＝2a+b D．（2a+3）2＝4a2+12a+9 5．（3分）体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1 ■ ■ 3 4 30 A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 6．（3分）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 7．（3分）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A．6×24x＝4×16（6﹣x） B．4×24x＝6×16（6﹣x） C．24x＝16（6﹣x） D．16x＝24（6﹣x） 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）连接DB、DA、DC，DA交BC于点E，则下列结论中错误的是（　　） A．AD垂直平分BC B．若∠BAC＝120°，则DE＝4AE C．S四边形ABDC＝AD•BC D．若∠BAC＝60°，则BC垂直平分AD 9．（3分）对于二次函数y＝ax2+bx+c，定义函数是它的相关函数．若一次函数y＝x+1与二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 10．（3分）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子．不过，事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割．其中爱国品牌红旗汽车H9的设计中应用了白银分割（图1）；福州华林寺大殿——现存最古老木构建筑物中也大量运用了白银比例．东方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的A4纸，对折后得到两个全等的A5纸、A5纸折叠后得到两个全等的A6纸等等（图2），A4纸，A5纸、A6纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 如图3，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）分解因式：﹣2a3+2a＝　 　． 12．（3分）在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一；女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是 　 　． 13．（3分）已知关于x的方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 　 　． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣4，4），B（n，﹣2）．则△AOB的面积是 　 　． 15．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝10，CF＝4，则线段CP的长是 　 　． 三、解答题（共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16．（5分）． 17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝4． 18．（8分）春节是我国的传统佳节，深圳是一个很年轻包容的城市，市民来自全国各地．春节期间，小深调查了本年级学生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示广东省内深圳市外．并将调查情况绘制成如下两幅统计图． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的学生有 　 　人； （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数 　 　； （4）若有来自A、B、C、D的四位同学，从中抽取两位同学在开学典礼中分享春节见闻，请用树状图或列表法求恰好抽到的同学都来自广东省的概率． 19．（8分）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵20元．花费2800元购买的排球数量比花费4000元购买的足球数量少5个，其中，排球单价不低于100元． （1）求排球、足球的单价各为多少？ （2）若排球、足球共买60个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了8500元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 20．（8分）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠ADB＝30°，点O在BD上． （1）求证：直线AD与⊙O相切； （2）若AB＝12，求图中阴影部分的面积． 21．（9分）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 … 【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围． 22．（10分）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使点A落在点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BP，把纸片展开，连接A′B，A′P． 【问题解决】 （1）如图2，连接PC，在折叠过程中，当点A′恰好落在线段PC上时，则tan∠A′BC＝　 　，AP＝　 　． （2）如图3，连接BD，将矩形纸片ABCD折叠，使得点C的对应点C落在对角线BD上，并使折痕经过点D，得到折痕DQ，再把纸片展开，连接C′Q．当点A′也落在对角线BD上时，试判断四边形BPDQ的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3） 如图4，延长BA′交线段CD的延长线于点Q，交线段AD于点M．当△MDQ的三边中有两边长之比为1：2时，请直接写出AP的长． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3和 B．3和﹣3 C．和 D．和 【解答】解：A、3和不是相反数，是倒数关系，不符合题意； B、3和﹣3是相反数，符合题意； C、|﹣|＝，故不符合题意； D、﹣（﹣）＝，故不符合题意； 故选：B． 2．（3分）2024年春节档神仙打架，其中由贾玲主演的《热辣滚烫》以34.6亿元票房位居票房榜首位．34.6亿用科学记数法表示为（　　） A．3.46×109 B．3.46×1010 C．34.6×109 D．34.6×1010 【解答】解：34.6亿＝3460000000＝3.46×109， 故选：A． 3．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是（　　） A．一 B．定 C．满 D．意 【解答】解：原正方体中与“数”字所在的面相对的面上的字是意， 故选：D． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a6＝a12 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．2（a+b）＝2a+b D．（2a+3）2＝4a2+12a+9 【解答】解：A、原式＝a8，故不符合题意； B、原式＝﹣8a3，故不符合题意； C、原式＝2a+2b，故不符合题意； D、原式＝4a2+12a+9，故不符合题意； 故选：D． 5．（3分）体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1 ■ ■ 3 4 30 A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 【解答】解：这组数据中成绩为46、47的人数和为50﹣（1+2+1+3+4+30）＝9， 则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50， 第25、26个数据都是50， 则中位数为50， 故选：A． 6．（3分）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E， 由题意得：AD＝BE＝40cm， 在Rt△BCE中，∠C＝50°， ∴BC＝＝（cm）， ∴该椅子座垫高度还要升高的高度＝BC﹣BE＝（﹣40）cm， 故选：C． 7．（3分）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A．6×24x＝4×16（6﹣x） B．4×24x＝6×16（6﹣x） C．24x＝16（6﹣x） D．16x＝24（6﹣x） 【解答】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用（6﹣x）千克糯米制作碱水粽， 根据题意得4×24x＝6×16（6﹣x）． 故选：B． 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）连接DB、DA、DC，DA交BC于点E，则下列结论中错误的是（　　） A．AD垂直平分BC B．若∠BAC＝120°，则DE＝4AE C．S四边形ABDC＝AD•BC D．若∠BAC＝60°，则BC垂直平分AD 【解答】解：由作图得DB＝DC＝BC， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BDA＝∠CDA， ∴AD垂直平分BC， 故A正确； ∵△DBC是等边三角形， ∴∠BDC＝60°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BDA＝∠CDA＝∠BDC＝30°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°， ∴AB＝AD， ∵∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°， ∴AE＝AB＝×AD＝AD， ∴AD＝4AE， ∴DE＝3AE≠4AE， 故B错误； ∵AD⊥BC， ∴S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝AD•BE+AD•CE＝AD•BC， 故C正确； ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC， ∴AB＝DB， ∵BC⊥AD， ∴AE＝DE， ∴BC垂直平分AD， 故D正确， 故选：B． 9．（3分）对于二次函数y＝ax2+bx+c，定义函数是它的相关函数．若一次函数y＝x+1与二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 【解答】解：直线y＝x+1与y轴的交点为（0，1）， 二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数为y＝， 一次函数y＝x+1与函数y＝恰有两个交点，如图所示： 由图象知，当c≥1时，y＝x+1与y＝x2﹣4x+c（≥0）恰有两个交点， ∴方程x2﹣4x+c＝x+1有两个不相等的实数根， 即x2﹣5x+c﹣1＝0， Δ＝（﹣5）2﹣4（c﹣1）＞0， ∴c＜， ∴c的取值范围为1≤c＜， ∴c可能的值为2， 当c＜﹣1时，如图： ∴当c＜﹣1时，一次函数y＝x+1与函数y＝恰有两个交点， 故选：D． 10．（3分）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子．不过，事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割．其中爱国品牌红旗汽车H9的设计中应用了白银分割（图1）；福州华林寺大殿——现存最古老木构建筑物中也大量运用了白银比例．东方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的A4纸，对折后得到两个全等的A5纸、A5纸折叠后得到两个全等的A6纸等等（图2），A4纸，A5纸、A6纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 如图3，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得，白银矩形四边形ABFE∽白银矩形四边形ADCB， ∴， 即AB2＝AD•AE， ∵AD＝2AE， ∴AB2＝AD2， ∴＝2， ∴（负值舍去） 即白银矩形的长与宽的比为． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）分解因式：﹣2a3+2a＝　﹣2a（a+1）（a﹣1）　． 【解答】解：原式＝﹣2a（a2﹣1） ＝﹣2a（a+1）（a﹣1）． 故答案为：﹣2a（a+1）（a﹣1）． 12．（3分）在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一；女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是 　　． 【解答】解：列表如下： 200米 800米 200米 （200米，200米） （200米，800米） 1000米 （1000米，200米） （1000米，800米） 共有4种等可能的结果，其中小明、小花所选的必考项目不同的结果有：（200米，800米），（1000米，200米），（1000米，800米），共3种， ∴小明、小花所选的必考项目不同的概率为． 故答案为：． 13．（3分）已知关于x的方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 　a≤3　． 【解答】解：∵关于x的方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根， ∴△≥0，即4﹣4（a﹣2）≥0得， a≤3， 且a﹣2≠0，a≠2； ∴a的取值范围为a≤3且a≠2． 当a＝2时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知a的取值范围为a≤3． 故答案为：a≤3． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣4，4），B（n，﹣2）．则△AOB的面积是 　12　． 【解答】解：∵反比例函数y2＝的图象经过点A（﹣4，4），B（n，﹣2）， ∴﹣2×n＝（﹣4）×4， ∴n＝8． ∴B（8，﹣2）． ∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A，B， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣， 当y＝0时，x＝4， 即OC＝4， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC ＝ ＝12， 故答案为：12． 15．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝10，CF＝4，则线段CP的长是 　13　． 【解答】解：如图，作FH⊥PE于H． ∵四边形ABCD是正方形，AB＝10， ∴AC＝10，∠ACD＝∠FCH＝45°， ∵∠FHC＝90°，CF＝4， ∴CH＝HF＝2， ∵CE＝4AE， ∴EC＝8，AE＝2， ∴EH＝10， 在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（10）2+（2）2＝208， ∵∠GEF＝∠GCF＝90°， ∴∠EFG＝∠ECG＝45°， ∴∠ECF＝∠EFP＝135°， ∵∠CEF＝∠FEP， ∴△CEF∽△FEP， ∴＝， ∴EF2＝EC•EP， ∴EP＝＝13． 故答案为：13． 三、解答题（共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 16．（5分）． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝． 17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝4． 【解答】解： ＝× ＝× ＝﹣（x+3）（x+2） ＝﹣x2﹣5x﹣6， 把x＝4代入得： 原式＝﹣（4+3）（4+2）＝﹣42． 18．（8分）春节是我国的传统佳节，深圳是一个很年轻包容的城市，市民来自全国各地．春节期间，小深调查了本年级学生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示广东省内深圳市外．并将调查情况绘制成如下两幅统计图． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的学生有 　600　人； （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数 　72°　； （4）若有来自A、B、C、D的四位同学，从中抽取两位同学在开学典礼中分享春节见闻，请用树状图或列表法求恰好抽到的同学都来自广东省的概率． 【解答】解：（1）本次参加抽样调查的学生有240÷40%＝600（人）． 故答案为：600． （2）C类的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人）． 扇形统计图中A的百分比为180÷600×100%＝30%，C的百分比为120÷600×100%＝20%． 补全条形统计图和扇形统计图如图所示． （3）扇形统计图中C所对圆心角的度数为360°×20%＝72°． 故答案为：72°． （4）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的同学都来自广东省的结果有：AD，DA，共2种， ∴恰好抽到的同学都来自广东省的概率为＝． 19．（8分）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵20元．花费2800元购买的排球数量比花费4000元购买的足球数量少5个，其中，排球单价不低于100元． （1）求排球、足球的单价各为多少？ （2）若排球、足球共买60个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了8500元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则足球的单价为（x+20）元， 依题意得：﹣＝5， 解得：x1＝80（不符合题意，舍去），x2＝140， 经检验，x＝140是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝160， 答：排球的单价为140元，足球的单价为160元； （2）设学校购买m个足球，则购买（60﹣m）个排球， 依题意得：（60﹣m）≤m≤（60﹣m）， 解得：15≤m≤20， 设费用为w元， 由题意得：w＝160m+140（60﹣m）＝20m+8400， ∵20＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝15时，w的最小值＝20×15+8400＝8700， ∵8700＞8500，8700﹣8500＝200， ∴张老师带的钱够不够，最少还200元． 答：张老师带的钱够不够，最少还差200元． 20．（8分）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，∠ABD＝∠ADB＝30°，点O在BD上． （1）求证：直线AD与⊙O相切； （2）若AB＝12，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OA，如图1所示： ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABD＝30°， ∴∠AOD＝∠OAB+∠ABD＝60°， ∵∠ABD＝∠ADB＝30°， ∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADB）＝180°﹣（60°+30°）＝90°， 即AD⊥OA， 又∵OA为⊙O的半径， ∴直线AD与⊙O相切； （2）解：连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于E，过点O作OF⊥BC于F，如图2所示： ∵OA＝OB，OE＝⊥AB，AB＝12， ∴BE＝AE＝AB＝6， 在Rt△BOE中，∠ABD＝30°，cos∠ABD＝， ∴OB＝＝＝， ∵∠ABC＝60°，∠ABD＝30°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°， ∵OB＝OC，OF⊥BC， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°，BC＝2BF， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OCB+∠OBC）＝120°， 在Rt△BOF中，OB＝，∠OBC＝30°， ∴OF＝OB＝， 由勾股定理得：BF＝＝6， ∴BC＝2BF＝12， ∴S△OBC＝BC•OF＝＝，S扇形BOC＝＝16π． ∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△OBC＝． 21．（9分）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 … 【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围． 【解答】解：任务1：∵二次函数经过点（4，16），（8，16）， ∴抛物线的顶点坐标为（6，18）． 设抛物线解析式为：y＝a（t﹣6）2+18． ∵抛物线经过点（0，0）， ∴36a+18＝0． 解得：a＝﹣． ∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣（t﹣6）2+18； 任务2：∵x＝3t， ∴t＝． ∴y＝﹣（﹣6）2+18 ＝﹣x2+2x． 当水火箭落地（高度为0m）时，﹣x2+2x＝0． 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝36． 答：水火箭飞行的水平距离为36米； 任务3：设PQ的长度为c． ∴水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c． ①当抛物线经过点A时． ∵AP＝42m， ∴点A的坐标为（42，0）． ∴﹣×422+2×42+c＝0． 解得：c＝14． ②当抛物线经过点B时． ∵AP＝42m，． ∴BP＝（18+18）m． ∴点B的坐标为（18+18，0）． ∴﹣×（18+18）2+2×（18+18）+c＝0． 解得：c＝18． ∵水火箭落到AB内（包括端点A，B）， ∴14m≤c≤18m． ∴14m≤PQ≤18m． 答：发射台高度PQ的取值范围为：14m≤PQ≤18m． 22．（10分）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使点A落在点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BP，把纸片展开，连接A′B，A′P． 【问题解决】 （1）如图2，连接PC，在折叠过程中，当点A′恰好落在线段PC上时，则tan∠A′BC＝　　，AP＝　2　． （2）如图3，连接BD，将矩形纸片ABCD折叠，使得点C的对应点C落在对角线BD上，并使折痕经过点D，得到折痕DQ，再把纸片展开，连接C′Q．当点A′也落在对角线BD上时，试判断四边形BPDQ的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图4，延长BA′交线段CD的延长线于点Q，交线段AD于点M．当△MDQ的三边中有两边长之比为1：2时，请直接写出AP的长． 【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝10，∠A＝90°， ∴∠APB＝∠PBC， 由折叠可知，∠A′PB＝∠APB，∠PA′B＝∠A＝90°， ∴A′B＝AB＝6，A′P＝AP， ∵∠A′PB＝∠PBC，∠BA′C＝90°， ∴， ∴， ∴AP＝PA′＝PC﹣CA′＝10﹣8＝2， 故答案为：，2； （2）四边形BPDQ是平行四边形， 理由：四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝6，∠A＝90°， ∴∠ADB＝∠DBC， 由折叠的性质可知，∠PA′B＝∠A＝90°，∠DC′Q＝∠C＝90°，A′B＝AB＝DC＝DC′，A′P＝AP， ∴∠PA′D＝∠QC′B，DC′﹣A′C′＝A′B﹣A′C′， ∴．DA′＝BC′， ∴△PDA′≌△QBC′（ASA）， ∴PD＝BQ， 又∵PD∥QB ∴四边形BPDQ是平行四边形； （3）①当MD：MQ＝1：2时，∠MQD＝30°，如图（1）， ∵∠PMA′＝∠QMD＝60°， ∴， ∴． 在Rt△A′MP中，， ∴． ②当MD：QD＝1：2时，如图（2）， ∵AB∥CQ， ∴△ABM∽△DQM， ∴， ∴AM：AB＝1：2， 同理：△A′PM∽△DQM， ∴A′M：A′P＝1：2， ∴AM＝3， ∴， ∴， ∴， ③∵AM＜AD， ∴，即， ∴QD：MD＝1：2这种情况不存在， ④连接BD，则， ∵BM＜BD， ∴，即， ∴QD：QM＝1：2这种情况不存在， 综上，AP的长为6﹣12或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$