甘肃省兰州市第十一中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷

甘肃省兰州市第十一中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．（3分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A．a2+2a3＝3a5 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a3＝a6 3．（3分）下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　） A．13cm、7cm、5cm B．5cm、8cm、3cm C．7cm、5cm、1cm D．5cm、5cm、9cm 4．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高 5．（3分）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（　　） A．122° B．120° C．118° D．115° 6．（3分）下列能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+y）（x﹣y） B．（﹣x﹣y）（x﹣y） C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2） 7．（3分）如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（　　） A．AD∥BC B．BE∥DF C．BE＝DF D．∠A＝∠C 8．（3分）某兴趣小组上网查询，获取声音在空气中的传播速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/温度/°C ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为20°C时，声音10s可以传播342m D．温度每升高10°C声速增加6m/s 9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝9，BD＝6，则点D到AB的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 10．（3分）如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 11．（3分）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若∠A＝40°，则当△PCD周长最小时，∠CPD＝（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．（3分）已知3x＝5，3y＝2，则3x﹣y的值是 　 　． 14．（3分）一辆汽车油箱中现存油50升，若油从油箱中匀速流出，速度为0.3升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 　 　． 15．（3分）若多项式x2﹣mx+36是一个完全平方式，则m＝　 　． 16．（3分）如图，已知∠AOB＝30°，点D是边OA上一点，在射线OB上取一点C，当△OCD是等腰三角形时，∠OCD的度数为 　 　． 三、解答题（共72分） 17．（6分）计算： （1）； （2）（3a3）2﹣a2•a4． 18．（4分）在△ABC中，∠B＝∠A+21°，∠C＝∠B+42°，求∠A的度数． 19．（5分）尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） ①如图，作∠BAC的对称轴AM． ②点E为∠BAC边AC上一点，在AM上找一点F，使F点到点A、E距离相等． 20．（5分）已知：如图，B、E分别是AC、DF上一点，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F． 21．（5分）一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共24个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍． （1）求摸出1个球是蓝色球的概率； （2）再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为 22．（6分）老师在黑板上布置了一道题： 已知y＝﹣1，求代数式[（2x+3y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣10y2]÷（2x）的值，小白和小红展开了讨论： 根是上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值． 23．（6分）如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E． （1）∠DAE＝40°，求∠BAC的度数； （2）若△ADE的周长为18，求BC的长度． 24．（6分）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小红家到舅舅家的路程是 　 　米，小红在商店停留了 　 　分钟； （2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？ （3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？ 25．（6分）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAC＝∠PAQ＝62°．求∠APQ的度数． 26．（7分）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按形状拼成正方形ABCD． （1）观察图2填空：正方形ABCD的边长为 　 　，阴影部分的小正方形的边长为 　 　； （2）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系，并说明理由； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知a﹣b＝6，ab＝﹣5，求a+b的值． 27．（8分）在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，探究等边三角形的有关问题． （1）如图①，“智慧组”在等边△ABC中，作AD⊥BC于点D，经过探究提出下面结论：在直角三角形（Rt△ABD）中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（BD＝AB）． ①Rt△ACD中等于30°的角为 　 　；②CD＝　 　AC．（直接填空） （2）“奋进组”直接探究了下面的问题： 已知：在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°，以CA为腰，在△ABC外作等腰△CAE，使CA＝CE，∠ACE＝α（0°＜α＜120°），连接BE，则∠AEB的度数是个定值，利用图②求出∠AEB的度数； （3）“创新组”发现：在图②取BE中点F，连接CF并延长CF交直线AE于点G，若AG＝2，AE＝4，则可得出线段FG的长．请求出线段FG的长． 28．（8分）已知：点P是∠MON平分线上一点，点A在射线OM上，作∠APB+∠MON＝180°，交直线ON于点B，作PC⊥ON于点C． （1）观察猜想：如图1，当∠MON＝90°时，写出PA和PB的数量关系，并说明理由． （2）探究证明：如图2，当∠MON＝50°时，写出OA，OC和BC之间的等量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，当∠MON＝α，点B在射线ON的反向延长线上时，请直接写出线段OA、OC和BC之间的数量关系． 参考答案 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．（3分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A．a2+2a3＝3a5 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a3＝a6 【解答】解：A、a2与2a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、（a2）3＝a6，故此选项符合题意； C、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意； D、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（3分）下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　） A．13cm、7cm、5cm B．5cm、8cm、3cm C．7cm、5cm、1cm D．5cm、5cm、9cm 【解答】解：A、5+7＜13，长度是5cm、7cm、13cm的木棒不能做成三角形框架，故A不符合题意； B、3+5＝8，长度是5cm、8cm、3cm的木棒不能做成三角形框架，故B不符合题意； C、5+1＜7，长度是1cm、7cm、5cm的木棒不能做成三角形框架，故C不符合题意； D、5+5＞9，长度是5cm、5cm、9cm的木棒能做成三角形框架，故D符合题意． 故选：D． 4．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高 【解答】解：守株待兔是随机事件，则A符合题意； 种豆得豆是必然事件，则B不符合题意； 水中捞月是不可能事件，则C不符合题意； 水涨船高是必然事件，则D不符合题意； 故选：A． 5．（3分）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（　　） A．122° B．120° C．118° D．115° 【解答】解：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DFE＝94°， ∵∠DCE是△CEF的一个外角， ∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°， 故选：A． 6．（3分）下列能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+y）（x﹣y） B．（﹣x﹣y）（x﹣y） C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2） 【解答】解：根据平方差公式可得，能用平方差公式的是（﹣x﹣y）（x﹣y）＝（﹣y）2﹣x2＝y2﹣x2，其它几个都不能用平方差公式， 故选：B． 7．（3分）如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（　　） A．AD∥BC B．BE∥DF C．BE＝DF D．∠A＝∠C 【解答】解：∵AE＝CF， ∴AF＝CE， A、添加AD∥BC，可得到∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意． B、添加BE∥DF，可得到∠BEC＝∠AFD，不能判定△ADF≌△CBE，故本选项符合题意． C、添加BE＝DF，由全等三角形的判定定理SSS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意． D、添加∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意． 故选：B． 8．（3分）某兴趣小组上网查询，获取声音在空气中的传播速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/温度/°C ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为20°C时，声音10s可以传播342m D．温度每升高10°C声速增加6m/s 【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A正确； ∵根据数据表，可得温度越高，声速越快， ∴选项B正确； ∵342×510＝3420（m）， ∴当空气温度为20℃时，声音10s可以传播3420m， ∴选项C错误； ∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s）， ∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s， ∴选项D正确． 故选：C． 9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝9，BD＝6，则点D到AB的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E， 如图所示： ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， 又∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴CD＝ED， 又∵BC＝BD+DC，BC＝9，BD＝6， ∴DC＝BC﹣BD＝9﹣6＝3， ∴ED＝3， 即点D到AB的距离是3， 故选：A． 10．（3分）如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠BAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDB＝90°﹣75°＝15°， 故选：A． 11．（3分）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的底边长＝20﹣8﹣8＝4， ∴它的“优美比”＝＝； 当等腰三角形的底边长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的腰长＝×（20﹣8）＝6， ∴它的“优美比”＝＝； 综上所述：它的“优美比”为或， 故选：D． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若∠A＝40°，则当△PCD周长最小时，∠CPD＝（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【解答】解：如图，连接AP． ∵MN垂直平分AC， ∴PA＝PC，∠PAC＝∠PCA， ∴PC+PD＝PA+PD， 当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD． ∴△PCD周长最小值＝PC+PD+CD＝AD+CD． ∵AB＝AC，点D是边BC的中点， ∴∠BAC＝2∠CAD， ∵∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠CAD， ∴∠CPD＝∠BAD＝40°． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．（3分）已知3x＝5，3y＝2，则3x﹣y的值是 　　． 【解答】解：当3x＝5，3y＝2时， 3x﹣y＝3x÷3y＝5÷2＝． 故答案为：． 14．（3分）一辆汽车油箱中现存油50升，若油从油箱中匀速流出，速度为0.3升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 　Q＝50﹣0.3t　． 【解答】解：油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是Q＝50﹣0.3t， 故答案为：Q＝50﹣0.3t． 15．（3分）若多项式x2﹣mx+36是一个完全平方式，则m＝　±12　． 【解答】解：∵x2﹣mx+36是一个完全平方式， ∴x2﹣mx+36＝（x±6）2， ∴x2﹣mx+36＝x2±12x+36， ∴m＝±12， 故答案为：±12． 16．（3分）如图，已知∠AOB＝30°，点D是边OA上一点，在射线OB上取一点C，当△OCD是等腰三角形时，∠OCD的度数为 　30°或75°或120°　． 【解答】解：如图， ①当OD＝OC时， ∠OCD＝∠ODC＝＝75°； ②当OD＝DC时， ∠OCD＝∠COD＝30°； ③当OC＝CD时， ∠ODC＝∠COD＝40°， ∴∠OCD＝180°﹣∠ODC﹣∠COD＝120°． 综上所述，∠OCD的度数为30°或75°或120°． 故答案为：30°或75°或120°． 三、解答题（共72分） 17．（6分）计算： （1）； （2）（3a3）2﹣a2•a4． 【解答】解：（1） ＝﹣1+4﹣1 ＝2； （2）（3a3）2﹣a2•a4． ＝9a6﹣a6 ＝8a6． 18．（4分）在△ABC中，∠B＝∠A+21°，∠C＝∠B+42°，求∠A的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝∠A+21°，∠C＝∠B+42°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A+21°+∠A+21°+42°＝180°， ∴∠A＝32°， ∴∠A的度数是32°． 19．（5分）尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） ①如图，作∠BAC的对称轴AM． ②点E为∠BAC边AC上一点，在AM上找一点F，使F点到点A、E距离相等． 【解答】解：①射线AM即为所求； ②点F即为所求． 20．（5分）已知：如图，B、E分别是AC、DF上一点，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F． 【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴BD∥CE， ∴∠C＝∠DBA， ∵∠C＝∠D， ∴∠D＝∠DBA， ∴DF∥AC， ∴∠A＝∠F． 21．（5分）一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共24个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍． （1）求摸出1个球是蓝色球的概率； （2）再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为 【解答】解：（1）蓝色球有（24﹣6）÷3＝6（个）， 所以P（摸出一个球是蓝色球）＝； （2）设再往箱子里放入x个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为， 则2（x+6）＝x+24， 解得，x＝12． 答：再往箱子里放入12个蓝色球，可以使摸出的1个蓝色球的概率为． 22．（6分）老师在黑板上布置了一道题： 已知y＝﹣1，求代数式[（2x+3y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣10y2]÷（2x）的值，小白和小红展开了讨论： 根是上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值． 【解答】解：我认为小红说的对， 理由：[（2x+3y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣10y2]÷（2x） ＝（4x2+12xy+9y2+y2﹣4x2﹣10y2）÷（2x） ＝12xy÷（2x） ＝6y， ∵化简后的结果不含x， ∴小红说的对， 当y＝﹣1时，原式＝6×（﹣1）＝﹣6． 23．（6分）如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E． （1）∠DAE＝40°，求∠BAC的度数； （2）若△ADE的周长为18，求BC的长度． 【解答】解：（1）∵DM垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， ∵∠ADE+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°， ∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝2∠B， 同理：EA＝EC，∠AED＝2∠C， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∠DAE＝40°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠DAE＝140°， 即2∠B+2∠C＝140°， ∴∠B+∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°； （2）∵△ADE的周长为18， ∴DA+DE+AE＝18， 由（1）可知：DA＝DB，EA＝EC， ∴DB+DE+EC＝18， ∴BC＝18． 24．（6分）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小红家到舅舅家的路程是 　1500　米，小红在商店停留了 　4　分钟； （2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？ （3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？ 【解答】解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0， 故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从（8分）到（12分），故小红在商店停留了4分钟． 故答案为：1500，4； （2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡， 故小红在12﹣14分钟最快，速度为＝450（米/分）； （3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了：1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝2700（米）． 25．（6分）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAC＝∠PAQ＝62°．求∠APQ的度数． 【解答】解：∵∠BAC＝∠PAQ， ∴∠BAP＝∠CAQ， ∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ（ASA）， ∴AP＝AQ， ∴∠APQ＝∠AQP， ∵∠PAQ＝62°， ∴∠APQ＝（180°﹣62°） ＝59°． 26．（7分）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按形状拼成正方形ABCD． （1）观察图2填空：正方形ABCD的边长为 　m+n　，阴影部分的小正方形的边长为 　m﹣n　； （2）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系，并说明理由； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知a﹣b＝6，ab＝﹣5，求a+b的值． 【解答】解：（1）依题意得：正方形ABCD的边长为m+n，阴影部分的小正方形的边长为m﹣n， ∴故答案为：m+n；m﹣n． （2）式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，理由如下： ∵正方形ABCD的边长为m+n，阴影部分的小正方形的边长为m﹣n， ∴S正方形ABCD＝（m+n）2，S阴影＝（m﹣n）2， 又∵图2中正方形ABCD是由图1中的长方形剪拼而得到的，图1中长方形的面积为4mn， ∴S正方形ABCD﹣S阴影＝4mn， ∴（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn． （3）∵a﹣b＝6， ∴（a﹣b）2＝36， 由（2）中的等量关系得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝36+4×（﹣5）＝16， ∴a﹣b＝±4． 27．（8分）在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，探究等边三角形的有关问题． （1）如图①，“智慧组”在等边△ABC中，作AD⊥BC于点D，经过探究提出下面结论：在直角三角形（Rt△ABD）中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（BD＝AB）． ①Rt△ACD中等于30°的角为 　∠CAD　；②CD＝　　AC．（直接填空） （2）“奋进组”直接探究了下面的问题： 已知：在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°，以CA为腰，在△ABC外作等腰△CAE，使CA＝CE，∠ACE＝α（0°＜α＜120°），连接BE，则∠AEB的度数是个定值，利用图②求出∠AEB的度数； （3）“创新组”发现：在图②取BE中点F，连接CF并延长CF交直线AE于点G，若AG＝2，AE＝4，则可得出线段FG的长．请求出线段FG的长． 【解答】解：（1）①∵∠C＝60°，∠ADB＝90°， ∴∠CAD＝30°， 故答案为：∠CAD； ②∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°，BD＝CD， ∴CD＝AC＝CB． 故答案为：； （2）∵∠ACB＝60°，CB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵AC＝CE， ∴BC＝CE， ∴∠BEC＝∠EBC＝， ∵AC＝CE， ∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α， ∴∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣α﹣（60°﹣α）＝30°； （3）在CG上截取GH＝EG，连接EH，BG， ∵BC＝CE＝AC，F为BE的中点， ∴CF⊥BE，∠BCG＝∠ECG， ∴CF是BE的中垂线， ∴BG＝GE， 由（ 2）可知∠AEB＝30°， ∴∠EGF＝60°， ∵EG＝GH， ∴△EGH是等边三角形， ∴EG＝EH，∠GHE＝60°， ∴BG＝EH， ∵∠CGB＝∠CGA＝60°， ∴∠BGA＝∠CHE＝120°， ∵∠AGC＝∠ABC＝60°，∠AOG＝∠BOC， ∴∠GAB＝∠BCO， ∴∠GAB＝∠HCE， ∴△CHE≌△AGB（AAS）， ∴AG＝CH＝2， ∴CG＝GH+CH＝6+2＝8． 当a大于60度时，点G在线段AE上，同理求得CG＝2． ∵α＜120°， ∴CG＝2不合题意， 综上可得，CG的长为8． 28．（8分）已知：点P是∠MON平分线上一点，点A在射线OM上，作∠APB+∠MON＝180°，交直线ON于点B，作PC⊥ON于点C． （1）观察猜想：如图1，当∠MON＝90°时，写出PA和PB的数量关系，并说明理由． （2）探究证明：如图2，当∠MON＝50°时，写出OA，OC和BC之间的等量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，当∠MON＝α，点B在射线ON的反向延长线上时，请直接写出线段OA、OC和BC之间的数量关系． 【解答】解：（1）PA＝PB． 理由：过点P作PD⊥OM于点D， ∵点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C， ∴PC＝PD， ∵∠MON＝90°， ∴∠APB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠APD＝∠BPC， 又∵∠PDA＝∠PCB＝90°， 在△APD和△BPC中， ， ∴△APD≌△BPC（ASA）， ∴AP＝BP． （2）结论：OA＝OC+BC， 理由如下：如图2，过点P作PD⊥OM于点D， 同（1），可证△APD≌△BPC， ∴AD＝BC， 由△OPD≌△OPC，得OC＝OD， ∴OA﹣AD＝OC，得OA＝BC+OC． （3）OA＝BC+OC， 理由如下：如图3，过点P作PD⊥OM于点D， 同（1），可证△APD≌△BPC， ∴AD＝BC， 由△OPD≌△OPC，得OC＝OD， ∴OA﹣AD＝OC， 即OA＝BC+OC． 学科网（北京）股份有限公司 $$