精品解析：广西柳州市文华中学2023－2024学年上学期九年级期中考试数学试卷

柳州市文华中学教育集团2023年秋初三数学课堂练习反馈 （全卷满分120分，学生闭卷作答，120分钟完成） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 在同一平面内，已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 4. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 某种彩票的中奖率是10%，则买这种彩票100张一定中奖 B. 如果有两个角是同位角，那么这两个角一定相等 C. 三角形的内角和180° D. 打开电视机，它正在播放动画片 5. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知A,B均为圆O上一点，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 8. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 设是方程；的两个实数根，则的值为（ ）． A. 3 B. 9 C. D. 10. 如图，一块含角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，扇形的圆心角是，正方形的顶点分别在，和上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线与新图象只有四个交点，求的取值范围．（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 14. 抛物线的顶点坐标是__________． 15. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____． 16. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是______________. 17. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该直角三角形内切圆的直径为_____步． 18. 如图，已知点A的坐标是，的半径为1，切于点B，点P为上的动点，当是等腰三角形时，则点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程x2﹣4x+1=0． 20. 已知等腰三角形ABC，如图． （1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆； （2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC=128°，求∠BAC的度数． 21. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 22. 如图，等腰中，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转后，得到， （1）求的度数； （2）若，求的长． 23. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数／分 80 85 90 95 人数／人 4 2 10 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 24. 如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为__________． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，连接，如图③．线段长度的最小值为__________． 26. 如图，已知抛物线的顶点为，且通过点． （1）求顶点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）在抛物线上存在一点，使得，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市文华中学教育集团2023年秋初三数学课堂练习反馈 （全卷满分120分，学生闭卷作答，120分钟完成） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可． 【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意； D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可作出判断． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，正确把握相关定义是解题关键． 3. 在同一平面内，已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离即可得出答案. 【详解】解：∵， 根据点到圆心的距离大于圆的半径，则该点在圆外． 故选：A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 4. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 某种彩票的中奖率是10%，则买这种彩票100张一定中奖 B. 如果有两个角是同位角，那么这两个角一定相等 C. 三角形的内角和180° D. 打开电视机，它正在播放动画片 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断. 【详解】A、是随机事件，故选项错误；B、两直线平行同位角才一定相等，故选项错误；C、是必然事件，故选项正确；D、是随机事件，故选项错误.故选C. 【点睛】本题考查了随机事件，解题的关键是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念. 5. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，把代入已知方程，从而列出关于的新方程，通过解方程来求的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 解得 ； 故选：A． 6. 将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象平移的规律，即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：； 再将二次函数的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，熟练掌握二次函数的图象平移的规律“左加右减”，“上加下减”是解题的关键． 7. 如图，已知A,B均为圆O上一点，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：A,B均为圆O上一点，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”是解题的关键． 8. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率是x，，第一次降价后的价格为，第二次降价的价格为，根据题意列出函数关系式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元， 则y与x之间的函数关系式为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 9. 设是方程；的两个实数根，则的值为（ ）． A. 3 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是方程；的两个实数根， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 10. 如图，一块含角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角板可求出斜边长，从而可求圆锥的母线，由直角边可求出底面圆的周长，从而可求解． 【详解】解：由题意得： 斜边为：， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转体与原图形之间的关系，圆锥的侧面积公式，掌握二者之间的关系和公式是解题的关键． 11. 如图，扇形的圆心角是，正方形的顶点分别在，和上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形及等腰直角三角形的性质求得，再由勾股定理求出扇形的半径，根据扇形的面积公式，利用进行计算，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质及扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 12. 如图，将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线与新图象只有四个交点，求的取值范围．（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数图象有3个交点时，可以有两种情况：①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数图象只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式△=0，根据这一条件可确定m的取值，进而即可得到答案． 【详解】令y=4，则4=(x−1)2， 解得：x=3或−1， ∴A(−1，4)， 平移直线y=−x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于l1时，此时l1过点A(−1，4)， ∴4=1+m，即m=3， ②当直线位于l2时，此时l2与函数y=(x−1)2 的图象有一个公共点， ∴方程−x+m=x2−2x+1，即x2−x+1−m=0有两个相等实根， ∴△=1−4(1−m)=0， 即m=， 由①②知：若直线y=−x+m与新图象只有四个交点时，m的取值范围为：<m<3． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与一次函数图象的综合，通过数形结合，把函数图象的交点问题化为方程的根的问题，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 14. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键． 直接利用顶点式的特点可求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 15. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】根据题意，可知该方程根的判别式，解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练使用一元二次方程根的判别式是解题关键． 16. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是______________. 【答案】 【解析】 【详解】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长． 解：连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD=CD； ∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC==120°， ∴∠ABD==60°， ∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=， ∴a=2cm． 故选A． “点睛”此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解． 17. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该直角三角形内切圆的直径为_____步． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理列方程求解即可． 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得：，，，， ∴四边形为矩形，， 又∵， ∴矩形为正方形， 设半径为，则， ∴，， ∴， 解得， ∴圆的直径为4步， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 18. 如图，已知点A的坐标是，的半径为1，切于点B，点P为上的动点，当是等腰三角形时，则点P的坐标为________． 【答案】，或 【解析】 【分析】分情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别利用圆的基本性质、切线的性质等求解即可． 【详解】解：①过点作与相切，此时，连接，作轴于点， 根据题意易得，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； ②当时，若点位于如图所示位置， ∵ ∴，又， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 满足，此时点的坐标为； ③当时，点的位置如图所示： 过点作轴于点， 由①知，， ∴， ∵，，即为的垂直平分线， 则满足，此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质等内容，熟练运用几何知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程x2﹣4x+1=0． 【答案】x1=2+，x2=2-. 【解析】 【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 20. 已知等腰三角形ABC，如图． （1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆； （2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC=128°，求∠BAC的度数． 【答案】 （1）圆O即为的外接圆． （2）116°． 【解析】 【详解】（1）先分别作线段AB、AC的垂直平分线EF、GH，EF与GH相交于点O，再连接OB，以点O为圆心，以OB的长为半径作圆，圆O即为的外接圆． （2）在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD， ∵∠BOC=128°， ∴∠BDC=∠BOC=64°， ∴∠BAC=180°-∠BDC=116°． 21. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1） （2）2或6m 【解析】 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 22. 如图，等腰中，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转后，得到， （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得 的度数； （2）根据勾股定理求出的长，根据，可得和的长，根据旋转的性质可得，再根据勾股定理即可得的长． 【小问1详解】 解：∵为等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可知， ∴； 【小问2详解】 解：，， ， ， ，， 由旋转的性质可知：, ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解题的关键是掌握旋转的性质． 23. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数／分 80 85 90 95 人数／人 4 2 10 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1）200人，补全条形统计图如解图所示： （2）90，90 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数，列表法或画树状图法求概率． （1）用“祖冲之奖”的学生的人数除以其所占的百分比，可得获奖学生的总人数，从而求出获得“秦九韶奖”和“刘徽”奖的人数即可求解； （2）根据中位数，众数的定义，即可求解； （3）根据题意，画出树状图，可得共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：本次获奖人数有：（人）， 则获得“秦九韶奖”的人数有（人）． 则 “刘徽”奖的人数为（人）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：根据题意得：把获得“祖冲之奖”的学生成绩从小到大排列后，位于正中间的两个数均为90分，且90分出现的次数最多， ∴获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分； 故答案为：90，90； 【小问3详解】 解：树状图如图所示， ∵从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）． ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是． 24. 如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形，圆的切线，垂径定理，矩形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，圆的切线判定和性质定理，垂径定理，矩形判定和性质，勾股定理解直角三角形． （1）连接，则，根据等腰三角形的性质，得，再证明 即可； （2）过点O作 ，则，证明四边形是矩形，得到，设，在中，由勾股定理得，，代入解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点O作， 则， ∵， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵，设， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 25. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为__________． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，连接，如图③．线段长度的最小值为__________． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）探究一：；探究二： 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． （1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值． 【小问1详解】 解：两个完全相同的矩形纸片和， ， 是等腰三角形， ，．， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； 【小问2详解】 探究一：，，， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，， 则，， 是的中点， ，且， ， ，， ，且， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 点在以为直径的圆上， 设的中点为，则， ， 当点在线段上时，的最小值为， 故答案为：． 26. 如图，已知抛物线的顶点为，且通过点． （1）求顶点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）在抛物线上存在一点，使得，求点坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，顶点式的运用，学会数形结合的解题方法，即可． （1）把点代入抛物线，即可； （2）设直线的解析式为：，求出解析式；当直线向上平移，与抛物线仅一个交点时，面积有最大值，且平移的解析式为，求出点的坐标，再根据，即可． （3）过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点；得到，根据全等三角形的判定和性质，则，求出，，得到点的坐标，设直线的解析式为：，求出解析式，联立抛物线，延长交于点，过点作交于点，且轴，同理得到，求出，，得到点的坐标，设直线的解析式为：，求出解析式，联立抛物线，即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的顶点为，且通过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴顶点． 【小问2详解】 ∵，， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当直线向上平移，与抛物线仅一个公共点时，面积有最大值，且平移的解析式为， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， ∴平移直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴点， 设直线与轴的交点为点， ∴， ∴， ∴ ∴． 【小问3详解】 过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∴点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴直线的解析式为：， 联立抛物线， ∴， 解得：（舍去），， ∴点； 延长交于点，过点作交于点，且轴 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上 ∴直线的解析式为：， ∴联立抛物线， ∴， 解得：（舍去），， ∴点； 综上所述，点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $