精品解析：山东省菏泽市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（B）

2023—2024学年度第二学期期中考试 高二数学试题（B） 2024.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知二项式（其中且 ）的展开式中与的系数互为相反数，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 3. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则 A. 2 B. C. D. 4. ，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有极值，则c的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中无理项的项数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ） A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1200种 8. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则m的取值可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. C. 函数在x＝5处取得极小值 D. 函数存在最小值 11. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在点处的切线方程的斜率为____________. 13. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有____________种.（请用数字作答） 14. 已知关于x的不等式恰有3个不同的整数解，则k的取值范围是____________. 四、解答题：本题共5小题.共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中共有13项. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中各项系数之和. 16. 从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数．求： （1）共有多少个五位数？ （2）其中偶数排在一起的有多少个？ （3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？ （4）其中两个偶数不相邻的有多少个？ 17. 已知函数，，若的图象在点处的切线方程为， （1）求函数的解析式； （2）若在区间上是减函数，求实数a的取值范围. 18. 某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × × √ 217 √ √ × × 200 √ √ √ × 250 √ × √ × 100 × × × √ 133 √ × √ × （1）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率； （2）假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率； （3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明） 19. 对于函数，若，存在唯一的实数，使得 ，则称存在“数列”，其“数列”为 ，已知. （1）证明：存在“数列”. （2）若 恒成立，求的取值范围. （3）记的“数列”为 ，证明： 的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期中考试 高二数学试题（B） 2024.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知二项式（其中且 ）的展开式中与的系数互为相反数，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】借助二项式定理的通项公式建立方程即可求得答案. 【详解】依题意，， 则，又 ， 则，所以. 故选：A. 2. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在某点处的导数的定义即可求解. 【详解】由题得. 故选：B. 3. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则 A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D 4. ，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件利用排列数公式的意义即可得解. 【详解】因且，表示80个连续正整数的乘积， 其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为， 所以. 故选：A 5. 已知函数有极值，则c的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得，则 ，由此可求答案． 【详解】解：由题意得， 若函数有极值，则， 解得， 故选：A． 6. 的展开式中无理项的项数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先将二项式变形为，再通过的展开式的通项公式求出原二项式的通项公式，进而结合无理项的定义即可求解. 【详解】由题， 又的展开式， 所以的展开式的通项公式为， 所以当的指数不为整数时，该项为无理项， 而当时，不为整数，所以展开式中无理项的项数为4. 故选：B. 7. 某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ） A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1200种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用间接法，即可求解. 【详解】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有（种）， 其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有（种）； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有(种)； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(种). 因此满足题意的方法共有(种). 故选：C. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用单调性列出恒成立的不等式即可求解. 【详解】函数，求导得， 由在区间上单调递增，得，， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时， ，因此， 所以实数k的取值范围为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则m的取值可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据组合的公式列式求解,再结合的范围即可. 【详解】根据题意,对于,有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8,则有1≤m≤8, 若,则有, 变形可得：m＞27﹣3m, 解可得：m＞, 综合可得：＜m≤8,则m＝7或8； 故选：BC. 【点睛】本题主要考查了组合数的公式运用,属于中档题. 10. 定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. C. 函数在x＝5处取得极小值 D. 函数存在最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数图像的正负性即可分析原函数的单调性. 【详解】在恒成立，则在上单调递减，故A正确； 在恒成立，则在上单调递增， 则，故B错误； 上，上, 则函数在x＝5处取得极小值，故C正确; 由导数图可知在 上递减，在上递增， 在上递减，在上递增， 故在两个极小值 和中产生，故存在最小值，故D正确; 故选：ACD. 11. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在点处的切线方程的斜率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，接着根据导函数意义求出即为解. 【详解】由题得， 所以函数在点处的切线方程的斜率为. 故答案为：. 13. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有____________种.（请用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】先将丙和丁绑在一起作为一人，接着与乙、戊两人先进行排列，最后将甲插入其中的两空中的一空，从而根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先将丙和丁绑在一起有种排列方法， 然后将其与乙、戊进行排列有种排列方法， 最后将甲插入中间两空中的一空中有种排列方法， 所以不同的排列方式共有种. 故答案为：24. 14. 已知关于x的不等式恰有3个不同的整数解，则k的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为，令且，利用导数求得函数的单调性和最大值，画出的图象，结合图象和斜率公式，即可求解. 【详解】由不等式，化为， 令且，则， 当 时，，当 时，，函数在 上递增，在上递减， 则当 时，取得极大值，也为最大值，且当 时， ， 画出函数的图象，如图所示，而直线恒过定点， 当直线位于如图所示的两条直线和之间， 其中包含，不包含时，恰有三个整数解，与的图象分别交于点， 则，所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 四、解答题：本题共5小题.共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中共有13项. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中各项系数之和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，结合二项式定理分析求解； （2）利用赋值法，令，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：， 则的展开式通项为 ， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 【小问2详解】 令，可得展开式中各项系数之和为. 16. 从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数．求： （1）共有多少个五位数？ （2）其中偶数排在一起的有多少个？ （3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？ （4）其中两个偶数不相邻的有多少个？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先计算取5个数字的方法，再根据排列数公式，即可计算结果； （2）（3）根据（1），结合捆绑法，即可求解； （4）根据（1），结合插空法，即可求解. 【小问1详解】 依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，共有（种）情况，共有（个）五位数． 【小问2详解】 把选出的偶数捆绑在一起，和奇数进行全排列，故其中偶数排在一起的有（个）． 【小问3详解】 把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）． 【小问4详解】 先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）． 17. 已知函数，，若的图象在点处的切线方程为， （1）求函数的解析式； （2）若在区间上是减函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解. （2）将问题转化为对恒成立求解即可． 【小问1详解】 函数的图象在点处的切线方程为， 又，则，即， 又，即切点为，于是，解得， 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）知，在上是减函数， 则对恒成立，即对恒成立， 又在上为减函数，则在上为减函数， 当时，取得最小值，因此，解得， 所以实数的取值范围是． 18. 某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × × √ 217 √ √ × × 200 √ √ √ × 250 √ × √ × 100 × × × √ 133 √ × √ × （1）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率； （2）假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率； （3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）0.1176 （3）丙的可能性最大 【解析】 【分析】（1）先根据统计表得出在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品的人数；再利用频率估计概率即可. （2）先根据统计表得出在这1000位顾客中顾客购买了两种商品、顾客购买一种商品有及顾客购买了三种商品的人数；再利用频率估计概率得出各自的概率；最后利用相互独立的概率公式即可求解. （3）根据统计表求出在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率及顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率，进行比较即可判断. 【小问1详解】 从统计表可以看出，在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品有（位）. 所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为． 【小问2详解】 设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品． 从统计表可以看出，顾客购买了两种商品有（位）；顾客购买一种商品有（位）；顾客购买了三种商品 （位）； 所以可估计为，可估计为，可估计为． 依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为： ． 因此所求的概率可估计为0.1176． 【小问3详解】 因为在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率可以估计为； 顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率可以估计为． 所以该顾客购买丙的可能性最大. 19. 对于函数，若，存在唯一的实数，使得 ，则称存在“数列”，其“数列”为 ，已知. （1）证明：存在“数列”. （2）若 恒成立，求的取值范围. （3）记的“数列”为 ，证明： 的前项和. 【答案】（1）由 ，得 ， 则 在区间上单调递减，又 ， 当 且时， ，则 的值域为， 所以，令 ，可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数 ，使得 ， 即 存在数列. （2） （3）令，则 ， 可得在上单调递增，得到 ， 则 ，即， 可得，故， 而 ，可得，解得， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和. 【解析】 【分析】（1）由函数单调性和值域结合“数列”定义即可证明； （2）分离参数，利用导数研究函数的单调性求解最值即可求解； （3）由已知得，故，结合 得到，即可推出，继而可用放缩法得到，从而利用裂项法求和，证明不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若 恒成立，即 恒成立. 令 ，即 恒成立. 令 ，则 ， 令 ， ， 则 ，当且仅当时取等号， 则 在区间上单调递减， 得到 ，即 ，故 在区间上单调递增， 可得 ，得到 ，即 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $