精品解析：四川省达州市普通高中2024届第二次诊断性测试数学（文科）试题

四川省达州市普通高中2024届第二次诊断性测试 数学（文科）试题 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用除法进行化简，后根据虚部概念得解. 【详解】，则的虚部为． 故选：D. 2. 设全集，则图中阴影部分对应的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算即可求解 【详解】 图中阴影部分表示 所以 故选：C 3. 下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B. 该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C. 经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D. 该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC. 【详解】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确； B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为亿元，故B错误； C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确； D：2016-2023年旅游收入的极差是亿元，故D正确. 故选：B. 4. 如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（ ） A. 三角形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在、以及三个特殊位置时，截面图形的形状，选出正确选项. 【详解】B选项，当点与重合时， 取中点，因为是中点，则，且， 连接，则四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项； C选项，当点与重合时， 取中点，因为是的中点，所以， 连接，截面四边形为梯形，故排除C选项； D选项，当点为中点时， 因为是中点，所以且， 连接，则四边形是平行四边形， 又因为，， 因为是正方体，所以，所以， 所以平行四边形是菱形，故排除D选项； 不管点在什么位置，都不可能是三角形. 故选：A. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断B、C；再利用特殊值排除D. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、C； 又，故排除D. 故选：A 6. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 7. 已知实数满足，则最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当且，即时等号成立. 故选：B 8. 双曲线的左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，由直线的斜率公式，结合的坐标满足双曲线方程，可得的关系，由离心率公式即可求解. 【详解】由题意得， 设，可得， 即， 又直线与直线斜率之积为2， 得， 则离心率. 故选：. 9. 已知圆心为的与直线相切，则直线被截得的弦长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出圆心到直线的距离即为半径，再求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】因为圆心到直线的距离， 即圆的半径， 又圆心到直线的距离， 所以直线被截得的弦长为. 故选：D 10. 已知向量，若，且，则实数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先应用线性运算得出,再根据向量的数量积公式计算求参. 【详解】因为， 所以, , 所以. 故选:A. 11. 如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体.已知椭圆绕短轴旋转得到的椭圆体的体积和表面积可以用公式和计算.若灯笼主体的体积为，则该灯笼主体表面积取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据体积可以得到的关系式，进而可以求出表面积，再利用导数求其范围即可. 【详解】由题意可得 ，可得 ，可得 ， 所以表面积 ， 则 ， 令 ，可得 ， 故 时，， 所以函数 在 上单调递增， 而， 所以 . 故选：C. 12. 当时，不等式恒成立，则取值范围是（ ） A. B. C. ，e] D. 【答案】C 【解析】 【分析】恒成立问题一般采用分离参数的方法，进而转化成求函数的最值即可. 【详解】当 时, 不等式显然成立, 当 时, 由题意可得 则有 . 则 设，， 则，所以在上单调递增， 所以， 所以当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增; 所以 , 所以 故选：C 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】先解对数不等式，再结合充分不必要条件求出参数范围. 【详解】因为所以, 因为是的充分不必要条件， 所以. 故答案为：. 14. 已知，则____________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用分段函数解析式分层计算即可. 【详解】. 故答案为：1. 15. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象.若，则的最小值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，利用左加右减得到，由得到，，求出的最小值. 【详解】， 向左平移个单位得到， ，故， 故，，解得，， 又，故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 16. 在中，角的对边分别为，点在平面内，满足，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合题干得到，从而，又因为，所以，得到是等边三角形，建立平面直角坐标系，根据得到点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而求得的最大值. 【详解】在中，由余弦定理得，代入到， 整理得， 则，当且仅当时等号成立， 又由，所以，此时， 又因为，所以，所以，所以是等边三角形. 以中点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图， ，设， 由得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的最大值为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：建立平面直角坐标系解决几何问题 第一步：根据角度和长度，建立合适的平面直角坐标系， 第二步：写出所需点、向量的坐标，设未知点的坐标为， 第三步：根据题干信息得到与之间的关系，解题. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17. 等差数列的前项和为，且. （1）求； （2）若为等比数列，，求通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列基本量运算得出，再求； （2）应用等比数列通项公式基本量运算得出公比，再求通项即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为，. 【小问2详解】 数列公比为 18. 随着技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表: 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 （1）判断是否有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； （2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，则抽取的2人中恰1人的入学测试成绩优秀的概率. 附，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）没有把握 （2） 【解析】 【分析】（1）计算再和边界值比较即可判断相关性 （2）应用列举法结合古典概型公式即可. 【小问1详解】 . 没有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关. 【小问2详解】 使用分层抽样， 人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀， 成绩优秀的2人记为，成绩不优秀的3人记为 这5人中抽取2人的所有情况有: 共10种; 其中恰好1人成绩优秀的有共6种. 抽取的2人中恰1人的入学测试成绩优秀的概率为. 19. 如图，在直角梯形中，，把梯形ABCD绕AB旋转至分别为中点. （1）证明:平面； （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明:设中点为，连接 为中位线，， 平面平面， 平面， 为梯形中位线，， 平面平面， 平面， 平面平面EFG， 平面平面， 平面平面. （2）3 【解析】 【分析】（1）先证明平面平面，再用面面平行性质得到线面平行. （2）用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图连接,平面 平面到平面的距离为3， . 如图可求得直角梯形中，可求得． 由余弦定理求得为等边三角形，则， 同理．如图等腰梯形中，得. 可求，设到平面的距离为， . 到平面的距离为3. 20. 已知抛物线，直线与交于两点，线段AB中点. （1）求抛物线的方程； （2）直线与轴交于点为原点，设的面积分别为，若成等差数列，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立与，得到两根之和，故，，得到答案； （2）联立抛物线和直线方程，得到，故，根据成等差数列，得到，故，进而得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设， ， ，故， ，， ， 【小问2详解】 ，∴， 故， 成等差数列，成等差数列. ，，故， ，即， . 21. 已知. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）令，当时，判断零点的个数，并说明理由. 【答案】（1） （2）时有唯一零点，或时无零点. 【解析】 【分析】（1）先求导得出切线斜率再点差法求切线方程； （2）先求函数的导函数根据单调性得出，再分类讨论构造新函数再结合单调性分类讨论判断零点即可. 【小问1详解】 ∵，即切点为， 处切线方程为:. 【小问2详解】 ， . 当时，在上单调递减， 无零点. 当时，令， 若，即时，在上单调递增， 无零点. 若，即时， 单调递减，单调递增， ， 设， ，设， 即在上单调递减，，即， 在上单调递增，，即无零点. 若，即时，在上单调递减，， ，即时，无零点. ，即时，有唯一零点. 综上，时有唯一零点，或时无零点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导得，再对进行合理地分类讨论即可. (二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4:坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，曲线 (为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）求以曲线与曲线的公共点为顶点的多边形面积. 【答案】（1），和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极坐标方程及得到，对左右两边同时平方，由，整理即可得到直角坐标方程； （2）联立方程解出交点的坐标，进而求得三角形面积. 【小问1详解】 由及得， ， ， ，，，， ，方程为和. 【小问2详解】 得或， 得或， 以曲线与曲线的公共点为顶点的多边形为三角形，其面积为. [选修4-5:不等式选讲] 23. 设，不等式有解. （1）求取值范围； （2）记的最大值为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由绝对值不等式可得，再将不等式有解转化为，即可得到结果； （2）根据题意，由（1）可知，再由柯西不等式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ，时，， 由不等式有解得，， 解得.故的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可得， ， 当且仅当时取等号，即最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市普通高中2024届第二次诊断性测试 数学（文科）试题 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，则图中阴影部分对应的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B. 该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C. 经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D. 该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 4. 如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过平面截正方体的截面图形不可能是（ ） A. 三角形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知实数满足，则最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 8. 双曲线左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 已知圆心为的与直线相切，则直线被截得的弦长为（ ） A B. 1 C. D. 2 10. 已知向量，若，且，则实数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体.已知椭圆绕短轴旋转得到的椭圆体的体积和表面积可以用公式和计算.若灯笼主体的体积为，则该灯笼主体表面积取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 当时，不等式恒成立，则取值范围是（ ） A. B. C. ，e] D. 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是____________. 14. 已知，则____________. 15. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象.若，则的最小值为____________. 16. 在中，角的对边分别为，点在平面内，满足，则的最大值为____________. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17. 等差数列的前项和为，且. （1）求； （2）若为等比数列，，求通项公式. 18. 随着技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表: 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 （1）判断是否有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； （2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，则抽取2人中恰1人的入学测试成绩优秀的概率. 附，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5024 6.635 19. 如图，在直角梯形中，，把梯形ABCD绕AB旋转至分别为中点. （1）证明:平面； （2）若，求点到平面的距离. 20. 已知抛物线，直线与交于两点，线段AB中点. （1）求抛物线的方程； （2）直线与轴交于点为原点，设的面积分别为，若成等差数列，求. 21. 已知. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）令，当时，判断零点的个数，并说明理由. (二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4:坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，曲线 (为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）求以曲线与曲线的公共点为顶点的多边形面积. [选修4-5:不等式选讲] 23. 设，不等式有解. （1）求取值范围； （2）记的最大值为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $