【三维设计】2015人教版高中数学必修2：第二章 点、直线、平面之间的位置关系（课堂同步教学课件+学案+练习+单元检测，20份）

2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 2．1.1　平面 平面 [提出问题] 宁静的湖面、海面；生活中的课桌面、黑板面；一望无垠的草原给你什么样的感觉？ 问题1：生活中的平面有大小之分吗？ 提示：有． 问题2：几何中的“平面”是怎样的？ 提示：从物体中抽象出来的，绝对平，无大小之分． [导入新知] 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的． 2．平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②. 3．平面的表示法 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. [化解疑难] 几何里的平面有以下几个特点 (1)平面是平的； (2)平面是没有厚度的； (3)平面是无限延展而没有边界的； 平面的基本性质 [提出问题] 问题1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？ 提示：在桌面上． 问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？ 提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上． 问题3：两张纸面相交有几条直线？ 提示：一条． [导入新知] 平面的基本性质 公理 内容 图形 符号 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l [化解疑难] 从集合角度理解点、线、面之间的关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示； (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示； (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示． 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 [例1]　根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC. [解]　(1)点P∈直线AB； (2)点C ∉直线AB； (3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC； (5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC； (7)平面A1B∩平面AC＝直线AB. [类题通法] 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． [活学活用] 1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1)； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)； (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3)． 点、线共面问题 [例2]　证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [解]　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内． 证法1：(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内． 证法2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内． [类题通法] 证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定