精品解析：重庆市第八中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

重庆八中2022—2023学年度（上）初三年级期末考试 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. “保护环境，人人有责”，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的正确结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知和位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 5. 如图所示的曲线表示的是重庆某日空气质量指数随时间（单位：）的变化情况，则当取得最大值时，对应的的值大约为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 6. 估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 7. 用字母“”，“”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个“”，第②个图案中有6个“”，第③个图案中有8个“”，按此规律排列下去，则第⑥个图案中字母“”的个数为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 进入12月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若12月第1周营业收入为3亿元，这三周的营业总收入为13亿元，若平均每周的增长率记为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、是切线，、为切点，点在上，且，则等于( ) A. B. C. D. 10. 如图，边长为6的正方形中，点E、F分别在边、上，连接、、，已知平分，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 11 D. 12 12. 将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上． 13. 计算：______． 14. 四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为，放回后，再取出一个记为，则能被5整除的概率为______. 15. 如图，在菱形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，过点作交于点，则阴影部分的面积为______. 16. 年卡塔尔世界杯在今年冬天举行，吸引了全世界的目光．某学校初三年级有个班也组织了一次足球联赛，比赛规则如下：每个班都与其他班级比赛一场，每场比赛中获胜的班级获得个积分，平局两个班各获得个积分，输掉比赛获得积分．已知其中有个班一共得了个积分，且剩余其他所有班级积分的平均数为整数，则参加此次比赛一共有______个班级． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 化简： （1）； （2）． 18. 血橙的营养价值高，维生素C含量丰富，深受大家喜爱.某商场准备在A、B两个血橙种植基地中选择一个进行合作，为了解这两个种植基地血橙的产量和产量的稳定性，从A、B两个种植基地的果树株树都是1000株，各随机抽取25株血橙果树进行调查（每株果树所结的血橙个数用表示，共分为三个等级：不合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： A基地25株果树所结血橙个数分别为： 27，27，35，46，55，48，36，47，68，82，48，57，66，75，36，57，57，66，58，61，71，38，47，46，71 B基地25株果树所结血橙个数处于“良好”等级包含的所有数据为： 51，63，54，62，54，51，63，64，64，54 抽取的A、B两个基地每株果树所结血橙个数的统计表 基地 平均数 众数 中位数 方差 “优秀”等级所占百分比 A 53 57 55 215.04 B 53 54 a 236.24 20% 抽取的B基地每株果树所结血橙个数扇形统计图 （1）填空：______，______，______. （2）请估计两个基地属于“优秀”等级的果树共有多少株； （3）根据以上数据，你认为该商场应选择与哪个基地进行合作?请说明理由（写出一条理由即可）. 19. 如图，在中，，，射线； （1）在原图上用尺规完成以下基本作图：在射线上截取线段，使，连接；作的平分线交于点.（保留作图痕迹，不写作法） （2）小明在（1）所作的图形中，连接后发现，并给出了以下证明，请你将他的证明过程补充完整： 证明：∵在中，， ∴， ∵______① ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴，，______② ∴ ∴ ∴ 又∵______③ ∴为等边三角形 ∴______④ ∴ 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. （1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上一点，连接，，且的面积为，求点的坐标. 21. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向的点处，它沿着点的南偏东的方向航行千米到达点处，此时点位于点的北偏东． （1）求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． （2）渔船到达点后，按原航向继续航行一段时间后，到达点等待补给，此时渔船在点的南偏东的方向．在渔船到达点的同时，一艘补给船从点出发，以每小时千米的速度前往处，请问补给船能在分钟内到达点吗？（参考数据： ） 22. 某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 23. 一个四位自然数，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位自然数为“好运数”． “好运数”的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为；“好运数”的千位数字与4的差记为，令． 例如：∵对6241，，，∴6241是“好运数”． ∵，，∴． 又如：∵对5193，，但，∴5093不是“好运数”． （1）请判断8474，9562是否为“好运数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值； （2）若一个“好运数”，当能被7整除时，求出所有满足条件的． 24. 如图1所示，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于C． （1）求的面积； （2）如图2所示，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点E，过点P作直线交轴于点F，请求出的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线向左平移个单位，得到新拋物线，点M是新拋物线对称轴上一点，N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点为顶点的菱形的点N的坐标，并写出其中一个点N坐标的求解过程． 25. 在中，，，是边上一动点，连接． （1）如图1，在平面内将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上一点，连接交于，连接，若，，，求的长； （2）如图2，在平面内将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于，连接，若，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出与四边形重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2022—2023学年度（上）初三年级期末考试 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. “保护环境，人人有责”，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念． 根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意， 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式分析即可求得顶点坐标，的顶点坐标是 【详解】抛物线的顶点坐标是(3，5) 故选：C． 【点睛】本题考查了的性质，掌握顶点式是解题的关键． 3. 计算的正确结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方运算，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 4. 如图，已知和位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得∽，且相似比为，根据题意和相似三角形的性质即可得的周长． 【详解】解：∵和位似，位似中心为点O，且， ∴∽，且相似比为， ∵的周长为9， ∴的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的判定与性质． 5. 如图所示的曲线表示的是重庆某日空气质量指数随时间（单位：）的变化情况，则当取得最大值时，对应的的值大约为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像即可求解． 【详解】解：观察如图所示的曲线，当取得最大值时，对应的的值大约为12， 故选：B． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，数形结合是解题的关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算，进而估算计算的结果的取值范围，问题得解． 【详解】解：原式， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小以及二次根式的混合运算，解题的关键是正确得出的取值范围． 7. 用字母“”，“”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个“”，第②个图案中有6个“”，第③个图案中有8个“”，按此规律排列下去，则第⑥个图案中字母“”的个数为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得第①个图案中有个“”，第②个图案中有个“”，第③个图案中有个“”，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：第①个图案中有个“”， 第②个图案中有个“”， 第③个图案中有个“”， …… 第n个图案中字母“” 的个数为， 所以第⑥个图案中字母“”的个数为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 8. 进入12月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若12月第1周营业收入为3亿元，这三周的营业总收入为13亿元，若平均每周的增长率记为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知12月的第二周营业收入为，12月的第三周营业收入为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选D． 【点睛】本题主要考查增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键． 9. 如图，、是切线，、为切点，点在上，且，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接根据切线的性质得到：，根据圆周角定理，得到，利用四边形内角和，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵是切线． ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查切线的性质，以及圆周角定理．熟练掌握，切线垂直于过切点的半径，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． 10. 如图，边长为6的正方形中，点E、F分别在边、上，连接、、，已知平分，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到，使，连接，由平分，可证，得，，即可证，得，设，根据，有，即可解得答案． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： 平分， ， ，， ∴， ，， 四边形是正方形， ，， ∴， ， 设，则，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 11. 若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定的值，进而解决此题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 关于的不等式组有且只有2个奇数解， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为非负数， ，且， 且， 所有满足条件的整数为：或或0或2或3或4或5， 所有满足条件的整数的值的和为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键． 12. 将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了绝对值的性质和负整数指数幂，解题的关键是掌握对应运算法则． 根据绝对值的性质和负整数指数幂即可求解； 【详解】解：， 故答案为：． 14. 四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为，放回后，再取出一个记为，则能被5整除的概率为______. 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 0 5 3 2 0 0 5 5 3 2 5 10 一共有16种情况，其中点能被5整除的有6种情况， 点能被5整除的概率． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，在菱形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，过点作交于点，则阴影部分的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意阴影部分面积可以用扇形面积，减去的面积即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，且平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形， 在中，过点作于点，如图， 则有， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数解直角三角形、扇形面积的计算、阴影面积求法等相关知识点，根据题意找到等量关系，分步求解是解题的关键点． 16. 年卡塔尔世界杯在今年冬天举行，吸引了全世界的目光．某学校初三年级有个班也组织了一次足球联赛，比赛规则如下：每个班都与其他班级比赛一场，每场比赛中获胜的班级获得个积分，平局两个班各获得个积分，输掉比赛获得积分．已知其中有个班一共得了个积分，且剩余其他所有班级积分的平均数为整数，则参加此次比赛一共有______个班级． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知本次比赛一共进行了场比赛，并且可知每一场比赛都有个积分，所以共有个积分，再根据其他所有班级积分的平均数为整数，判断班级的数目即可． 【详解】解：由题意可知：一共进行了场比赛， ∴共有个积分， ∵其中有个班一共得了个积分，且剩余其他所有班级积分的平均数为整数， ∴为整数， ∵ ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴当时，为整数， ∴参加此次比赛一共有个班级， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式及求平均数，根据题目意思用代数式表示出剩余其他班级积分的平均数是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解； （2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解． 【小问1详解】 解∶ ； 【小问2详解】 解∶ 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握式的混合运算和分式的混合运算法则是解题的关键． 18. 血橙的营养价值高，维生素C含量丰富，深受大家喜爱.某商场准备在A、B两个血橙种植基地中选择一个进行合作，为了解这两个种植基地血橙的产量和产量的稳定性，从A、B两个种植基地的果树株树都是1000株，各随机抽取25株血橙果树进行调查（每株果树所结的血橙个数用表示，共分为三个等级：不合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： A基地25株果树所结血橙个数分别为： 27，27，35，46，55，48，36，47，68，82，48，57，66，75，36，57，57，66，58，61，71，38，47，46，71 B基地25株果树所结血橙个数处于“良好”等级包含的所有数据为： 51，63，54，62，54，51，63，64，64，54 抽取的A、B两个基地每株果树所结血橙个数的统计表 基地 平均数 众数 中位数 方差 “优秀”等级所占百分比 A 53 57 55 215.04 B 53 54 a 236.24 20% 抽取的B基地每株果树所结血橙个数扇形统计图 （1）填空：______，______，______. （2）请估计两个基地属于“优秀”等级的果树共有多少株； （3）根据以上数据，你认为该商场应选择与哪个基地进行合作?请说明理由（写出一条理由即可）. 【答案】（1）54；28；40 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先求基地“良好”等级所占百分比，即可求出基地“不合格”等级所占百分比，也就是的值；先求基地“不合格”等级的数据个数，即可求得基地中位数为第13个数据；根据基地“优秀”等级数据有7个即可求出的值； （2）用两个基地的果树总株树乘以“优秀”等级所占百分比即可得出答案； （3）从“优秀”等级所占百分比的比较得出答案. 【小问1详解】 解： 基地“良好”等级的数据有10个， 基地“良好”等级所占百分比为， 基地“优秀”等级所占百分比为 基地“不合格”等级所占百分比为 ，即； 基地“不合格”等级所占百分比为 基地“不合格”等级的数据有个 基地有25个数据 基地中位数为第13个数据 基地“良好”等级的10个数据按照从小到大排序为：， 基地中位数为第13个数据，即54 基地“优秀”等级数据有7个 基地“优秀”等级所占百分比为 ，即 故答案，， 【小问2详解】 解：根据题意得两个基地属于“优秀”等级的果树：（株） 两个基地属于“优秀”等级的果树有480（株） 【小问3详解】 解：商场应该选择与基地进行合作，理由如下：基地的“优秀”等级所占百分比高于基地的“优秀”等级所占百分比， 【点睛】本题考查了众数、中位数、方差、平均数，统计表和扇形统计图，解题关键是掌握统计表中各个数量之间的关系. 19. 如图，在中，，，射线； （1）在原图上用尺规完成以下基本作图：在射线上截取线段，使，连接；作的平分线交于点.（保留作图痕迹，不写作法） （2）小明在（1）所作的图形中，连接后发现，并给出了以下证明，请你将他的证明过程补充完整： 证明：∵在中，， ∴， ∵______① ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴，，______② ∴ ∴ ∴ 又∵______③ ∴为等边三角形 ∴______④ ∴ 【答案】（1）图见详解 （2）平分，，， 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，长为半径在射线上画弧，交于点D，则有，连接，然后以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点F、N，则以点F、N为圆心，大于长为半径画弧，交于一点，进而连接点A和这个点，交于点E，最后问题可求解； （2）根据平行四边形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定可进行求解问题． 【小问1详解】 解：所作图形如下所示： 【小问2详解】 证明：∵在中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为平分，，，． 【点睛】本题主要考查尺规作图、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. （1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上一点，连接，，且的面积为，求点的坐标. 【答案】（1）；，图见解析 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，分别代入，求得以及的值，进而待定系数法求一次函数解析式，根据两点画出一次函数图象即可； （2）根据函数图象，结合两点的横坐标，根据直线在双曲线的上方时的自变量的取值范围，即可求解； （3）设一次函数与轴的交点为，求得，设，则，根据的面积为，可得列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：点，分别代入， 即， 解得：， ∴ ∴, 将代入， 即 解得： ∴, 如图所示， 【小问2详解】 解：根据函数图象可知，不等式的解集为或， 【小问3详解】 解：设一次函数与轴的交点为， 由一次函数，令，解得，则， 设， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，求一次函数与反比例函数解析式，求直线围成的三角形面积，数形结合是解题的关键． 21. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向的点处，它沿着点的南偏东的方向航行千米到达点处，此时点位于点的北偏东． （1）求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． （2）渔船到达点后，按原航向继续航行一段时间后，到达点等待补给，此时渔船在点的南偏东的方向．在渔船到达点的同时，一艘补给船从点出发，以每小时千米的速度前往处，请问补给船能在分钟内到达点吗？（参考数据： ） 【答案】（1）千米 （2）能 【解析】 【分析】（1）由锐角三角函数可求的长，即可求解； （2）利用锐角三角函数求出的长，由时间=，可求一艘补给船到达点所需的时间，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 由题意可得：（千米）， ， （千米）， ∴此时渔船距离直线的距离为千米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 由题意可得：， ，， （千米），（千米）， 千米， ， 千米， ， （千米）， （分钟）， ， ∴补给船能在分钟内到达点． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】（1）A型设备每小时铺设的路面110米 （2）18 【解析】 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【小问1详解】 设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 23. 一个四位自然数，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位自然数为“好运数”． “好运数”的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为；“好运数”的千位数字与4的差记为，令． 例如：∵对6241，，，∴6241是“好运数”． ∵，，∴． 又如：∵对5193，，但，∴5093不是“好运数”． （1）请判断8474，9562是否为“好运数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值； （2）若一个“好运数”，当能被7整除时，求出所有满足条件的． 【答案】（1）8474是“好运数”； 9462不是“好运数”； （2）9552或5163 【解析】 【分析】（1）根据“好运数”的定义判断即可； （2）根据题目内容，理解“好运数”的定义，设“好运数”的千位数为x，十位数为y，求出，然后根据能被7整除时，求出所有满足条件的“好运数”即可． 【小问1详解】 解：∵对8474，，， ∴8474是“好运数”； ∵对于9562，，， ∴9562不是“好运数”， ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：设“好运数”的千位数为x，十位数为y，则百位数为，个位数为， 则， ∴，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∵能被7整除， ∴或或或或或或或或或或或， ∴（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）或 （舍去）， ∴“好运数”m为9552或5163． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，不等式组的解法等知识，理解“好运数”，明确条件和所求的关系是解题的关键． 24. 如图1所示，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于C． （1）求的面积； （2）如图2所示，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点E，过点P作直线交轴于点F，请求出的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线向左平移个单位，得到新拋物线，点M是新拋物线对称轴上一点，N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点为顶点的菱形的点N的坐标，并写出其中一个点N坐标的求解过程． 【答案】（1）； （2）最大值为：，． （3）N的坐标为：或或． 【解析】 【分析】（1）分别求解抛物线与坐标轴的交点坐标即可得到答案； （2）如图，延长，交于点T，延长交x轴于Q，则，，先求解，证明，可得，则，可得，再建立二次函数关系式求解即可； （3）先求解新拋物线，则，新抛物线的对称轴为直线，设，而，，再分三种情况讨论：当为对角线时，菱形为，当为对角线时，则，如上图，当为对角线时，此时菱形为，再利用菱形的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧）， ∴， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，延长，交于点T，延长交x轴于Q，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为，则，解得， ∴为， 设，则， ∴，， ∴ ， 当时，取得最大值， 最大值为：， 此时的纵坐标为：，即． 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线向左平移个单位，得到新拋物线，则，新抛物线的对称轴为直线， 设，而，， 当为对角线时，菱形为， ∴， ∴， 解得：，即， 由平移的性质可得：，即； 当为对角线时，则，如上图， 而， 的最小值为：，而， ∴此时不存在以为对角线的菱形， 当为对角线时，此时菱形为， 则， 同理可得：， 解得：，， 当，则，如图， 由平移的性质可得：，即， 当，则，如图， 由平移的性质可得：，即． 综上：N的坐标为：或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线与坐标轴的交点坐标，建立线段长度和的二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，菱形的判定与性质，本题难度大，属于压轴题，准确的运算，清晰的分类讨论都是解本题的关键． 25. 在中，，，是边上一动点，连接． （1）如图1，在平面内将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上一点，连接交于，连接，若，，，求的长； （2）如图2，在平面内将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于，连接，若，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出与四边形重叠部分的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证明出，可得到，，，再令，则，可推出，从而得到，作交于，可推出，再根据勾股定理可求出的长，然后根据三角形的等面积法求出的长度，最后用勾股定理即可求出的长； （2）作交于，根据，得到，，从而证明出，由此得到，再证明出，由此得到，最后根据边的关系进行转化即可得到答案； （3）令，则由题意可得， ，从而可得到，根据三角形三边关系可知：当三点共线时，即当并交于时，的值最小，从而可得到，由解得：，再将重合部分的面积进行分解，从而可计算出重合部分的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，作交于， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 在和中， ， ， ，，， 令，则， ， ， , , ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：线段，的数量关系为：， 证明：如图所示，作交于， 令， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：线段，的数量关系为：， 【小问3详解】 解：令，则由题意可得， ， ， ， 由三角形三边关系可知：当共线时，即当并交于时，的值最小， ， ， 由勾股定理得，，即， 由解得：， , 作交于，令与的交点为， 则，， ， ∴ ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，线段的旋转变换，三角形全等的判定定理，相似三角形的判定和性质，三角形的等面积法求边长等知识点，熟练掌握这些定理和知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $