精品解析：江苏省泰州中学附属初级中学2022—2023学年上学期第一次月考八年级数学试卷

2022 年秋学期八年级数学单元独立作业 （考试时间：120 分 满分：150 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A图形中三角形和三角形内部图案的对称轴不一致，所以不是轴对称图形，不符合题意； B为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线，符合题意； C外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案不是轴对称图形，所以也不是轴对称图形，不符合题意； D图形中圆内的两个箭头不是轴对称图象，而是中心对称图形，所以也不是轴对称图形，不符合题意， 故选B． 2. 已知等腰三角形的一个内角等于 ，则它的一个底角是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．分的角是顶角和底角两种情况讨论即可． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数， 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角的度数是或． 故选：C． 3. 以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（其中 ）（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键．根据勾股定理逆定理分别计算并判断即可． 【详解】解：A、∵， 但是与不一定相等， ∴不能组成直角三角形；故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴能组成直角三角形；故B符合题意； C、∵， ∴， ∴不能组成直角三角形；故C不符合题意； D、∵，当，时， ∴； ∴不能组成直角三角形；故D不符合题意； 故选：B． 4. 如图，直线，等边 的顶点 B 在直线 b 上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质的应用，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是根据对顶角的性质和三角形的外角的性质得到，然后根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵直线， ∴， 故选C． 5. 如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解：如图，连接， ∵正的边长为 3，与关于直线l对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时， 故选B 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键． 6. 如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（ ）； A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由轴对称可得，，则，进而可判断①的正误；由，结合轴对称的性质可知，，由三角形内角和可求，进而可判断②的正误；由，可得边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等，进而可判断③的正误；由轴对称的性质结合勾股定理可判断④的正误；由不全等，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵和是的对称图形， ∴，， ∴，①正确，故符合要求； ∴， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴，即， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等， ∴平分，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴；故④符合要求； ∵，，，， ∴， ∴不全等，即，⑤错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，角平分线的判定．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 7. 角是轴对称图形，__是它的对称轴． 【答案】角平分线所在的直线 【解析】 【分析】根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”． 故答案为：角平分线所在的直线． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键． 8. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8， ∴由勾股定理得，斜边=10． ∴斜边上的中线长=×10=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度． 9. 三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，， ∴， 故答案为：9． 10. 如下图，点 B，F，C，E 在同一直线上，，，要使，若以“”为 依据，还要添加条件_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据进行分析，再确定需要添加的条件即可． 【详解】解：添加：， 理由为： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 添加：， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在 中，，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质以及三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由条件可证明，再利用外角的性质可求得，在中利用三角形内角和定理可求得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，，且，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．由全等三角形的性质可得，进而可求出，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图， 是的角平分线，于 E ，若 ， ，的面积等于 15 ，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键． 延长，过D点作于F，根据角平分线的性质得到，由即可求解． 【详解】解：如图 延长，过D点作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ，， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 14. 把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积_____． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质，证得是解决问题的关键． 根据题意，可以证得，得到，再根据勾股定理，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 三个四边形均为正方形， ，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 即． 故答案为：35． 15. 如图，在Rt△ABC中，，M为边BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是___． 【答案】2 【解析】 【分析】过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，先求出AC的长，根据角平分线的性质可证ME=MF，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：设AC的中点为B'，过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F， ∵将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点B'处， ∴∠BAM=∠CAM=45°，AB=AB'=3， ∵点恰好落在边AC的中点处， ∴AC=6， ∵∠BAM=∠CAM=45°，ME⊥AC，MF⊥AB， ∴ME=MF， ∴S△ABC=AB•AC=•（AB+AC）•ME， ∴ME=2， 所以点M到AC的距离是2， 故答案为为：2． 【点睛】本题考查了翻折变换，角平分线的性质，三角形的面积公式，利用面积法求ME的长是本题的关键． 16. 如图，C是射线上一点，点B在射线上运动（点B与点A不重合），，点C到的距离为4，的长度为a ，当a满足_____条件时， 唯一确定． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离，三角形的存在性的问题，解题的关键是要确定点的位置． 过点作于点，根据与和的大小判断的存在性和唯一性即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，此时是直角三角形． ①当时，不能组成三角形； ②当时，即点与点重合时，是直角三角形，唯一确定； ③当时，在上总能找到与对称的两点和，使，即此时不唯一； ④当时，在上只能找到一点，使，即此时唯一， 综上所述，当或时三角形唯一确定， 故答案为：或． 三、解答题（共 10 小题，共 102 分） 17. 如图，在中，，点D在上，且，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，再证明，最后结合三角形的内角和定理可得答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． 18. 已知：如图，，，，求 的度数 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明，可得，可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19. 已知：如图，在中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：BE＝CF； （2）连结EF，则直线AD与线段EF有何位置关系？为什么？ 【答案】 （1）证明： ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF ，∠DEA=∠DFA=90° 在Rt△DEA和Rt△DFA中 ∴Rt△DEA≌Rt△DFA (HL) ∴AE=AF， 又∵AB=AC ∴BE=CF； （2）AD⊥EF，理由如下： 如图：连接EF交AD于O ∵ AD平分∠BAC ∴∠EAO=∠FAO 在△EAO和△FAO中 ∴△EAO≌△FAO （SAS） ∴∠EOA=∠FOA， 又∵∠EOA+∠FOA=180° ∴∠EOA=90°，即AD⊥EF． 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的性质得到DE=DF 、∠DEA=∠DFA=90°，再运用HL证明Rt△DEA≌Rt△DFA得到AE=AF，最后根据线段的和差即可证明； （2）连EF交AD于O，由角平分线的定义可得∠EAO=∠FAO，再运用SAS证明 △EAO≌△FAO得到∠EOA=∠FOA，最后再根据平角的性质得到∠EOA=90°即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）三角形的面积为 ； （3）以为边作与全等的三角形，则可作出 个三角形与全等； （4）在直线上找一点P，使PCB的周长最短（在图中作出点P）． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）3 （3）3 （4）如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可． （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． （3）根据全等三角形的判定作出图形即可． （4）连接交直线l于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：如图，以为边作与全等的三角形有3个． 【小问4详解】 解：略． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，已知△ABC，AC＜AB． (1) 用直尺和圆规作出一条过点A的直线l，使得点C关于直线l的对称点落在边AB上(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 设直线l与边BC的交点为D，且∠C=2∠B，请你通过观察或测量，猜想线段AB、AC、CD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)如图，直线l为所作； (2)AB=AC+CD. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先作∠BAC的平分线l，再过点C作CF⊥l交AB于F，则可得到点C和F点关于l对称，所以l为所作； （2）连结DF，如图，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，则AD垂直平分CF，所以DF=DC，则∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性质得∠BDF=2∠DCF，接着证明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，则FB=FD=CD，则易得AB=AF+FB=AC+CD． 试题解析：（1）略 （2）AB=AC+CD．理由如下： 连结DF，如图， ∵AD平分∠BAC，AD⊥CF， ∴AF=AC， ∴AD垂直平分CF， ∴DF=DC， ∴∠DCF=∠DFC， ∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF， ∵∠AFC=∠ACF， ∵∠AFC=∠B+∠BCF， ∴∠ACF=∠B+∠BCF， ∵∠ACB=2∠B， ∴2∠B-∠BCF=∠B+∠BCF， ∴∠B=2∠BCF， ∴∠B=∠BDF， ∴FB=FD， ∴FB=CD， ∴AB=AF+FB=AC+CD． 22. 如图，中，是边上的高，、分别是、的中点，且． （1）判断并说明与的位置关系； （2）若，，求． 【答案】（1） 解：，理由如下： 连接， ∵是边上的高， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由是边上的高，则，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，最后由等腰三角形的“三线合一”性质即可； （）由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解； 此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（）得：，， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 23. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD． （1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）若AB=21，AD=9，求AE的长． 【答案】 （1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°， 在Rt△BCE和Rt△DCF中，， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）； （2）AE的长为15． 【解析】 【分析】（1）直接利用“HL”即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）利用“HL”证明Rt△AFC≌Rt△AEC，再根据（1）中的结论和角平分线的性质可以求得AE的长． 【详解】（1）略 （2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°， 在Rt△AFC和Rt△AEC中，， ∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）， ∴AF=AE， 由（1）知Rt△BCE≌Rt△DCF，则BE=DF， ∵AB=21，AD=9， ∴AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+ DF =AD+2DF=9+2DF=21， 解得，DF=6， ∴AE=AF=AD+DF=9+6=15， 即AE的长是15． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答． 24. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A1B1C，连接BB1，设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F （1）求证：△CBD≌△CA1F； （2）试用含α的代数式表示∠B1BD； （3）当α等于多少度时，△BB1D是等腰三角形． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠B1BD＝45°﹣；（3）当△BB1D为等腰三角形时，α＝30°． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用旋转的性质及全等三角形的判定方法，来判定三角形全等； （2）利用等腰直角三角形的性质得到∠CBA=45°．然后由旋转的性质推知BC=B1C，则∠CB1B=∠CBB1，所以根据三角形内角和定理进行解答即可； （3）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°． 【详解】（1）证明：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC． ∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C， ∴∠A1＝∠A，A1C＝AC，∠ACA1＝∠BCB1＝α． ∴∠A1＝∠CBD，A1C＝BC． 在△CBD与△CA1F中， ， ∴△CBD≌△CA1F（ASA）． （2）∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°． 又由旋转的性质得到BC＝B1C，则∠CB1B＝∠CBB1， ∴∠CB1B＝∠CBB1＝＝90°﹣． ∴∠B1BD＝∠CBB1﹣∠CBA＝90°﹣﹣45°＝45°﹣； （3）在△CBB1中，∵CB＝CB1 ∴∠CBB1＝∠CB1B＝（180°﹣α）． 又∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． ①若B1B＝B1D，则∠B1DB＝∠B1BD， ∵∠B1DB＝45°+α，∠B1BD＝∠CBB1﹣45°＝（180°﹣α）﹣45°＝45°﹣， ∴45°+α＝45°﹣， ∴α＝0°（舍去）； ②∵∠BB1C＝∠B1BC＞∠B1BD， ∴BD＞B1D，即BD≠B1D； ③若BB1＝BD，则∠BDB1＝∠BB1D，即45°+α＝（180°﹣α），α＝30° 由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α＝30°． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角. 25. 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且． （1）如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） （2）如图 2，当点 E 与点 C 不重合时，连接 ， ①若，求 的度数； ②用等式表示与直间的数量关系，并证明． 【答案】（1）互相垂直； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①求解，可得，由，可得，可得；②过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； 【小问1详解】 解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图： 则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图： 则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 26. 在 中，，于点 C，E 为上一点，连接交于点 F， 且． （1）如图 1，求证：； （2）如图 2，作 于点 M，交 于点 H，判断并说明 与 的数量关系； （3）在（2）的条件下，当 时， ①若 的面积为 30，求线段的值； ②求． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形外角及角的和差关系可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，根据题意可得，然后根据等角的余角相等可得，进而可得，则问题可求解； （3）①过点E作于点G，由题意易得，则有，然后可得，设，，则有，进而根据三角形面积公式可建立方程求解；②由①可得，，则有，，进而可得，设，再进一步求解，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①过点E作于点G，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴设，，则有， ∴， ∵的面积为， ∴，解得：（负根舍去）， ∴； ②设，由①可得：，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及等积法，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及等积法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022 年秋学期八年级数学单元独立作业 （考试时间：120 分 满分：150 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形的一个内角等于 ，则它的一个底角是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（其中 ）（ ） A. B. C. ，， D. 4. 如图，直线，等边 的顶点 B 在直线 b 上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 4 6. 如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（ ）； A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 7. 角是轴对称图形，__是它的对称轴． 8. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 9. 三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 _____． 10. 如下图，点 B，F，C，E 在同一直线上，，，要使，若以“”为 依据，还要添加条件_____． 11. 如图，在 中，，，，，则_____． 12. 如图，，且，，，则_____． 13. 如图， 是的角平分线，于 E ，若 ， ，的面积等于 15 ，则_____． 14. 把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积_____． 15. 如图，在Rt△ABC中，，M为边BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是___． 16. 如图，C是射线上一点，点B在射线上运动（点B与点A不重合），，点C到的距离为4，的长度为a ，当a满足_____条件时， 唯一确定． 三、解答题（共 10 小题，共 102 分） 17. 如图，在中，，点D在上，且，，求的度数． 18. 已知：如图，，，，求 的度数 19. 已知：如图，在中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：BE＝CF； （2）连结EF，则直线AD与线段EF有何位置关系？为什么？ 20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）三角形的面积为 ； （3）以为边作与全等的三角形，则可作出 个三角形与全等； （4）在直线上找一点P，使PCB的周长最短（在图中作出点P）． 21. 如图，已知△ABC，AC＜AB． (1) 用直尺和圆规作出一条过点A的直线l，使得点C关于直线l的对称点落在边AB上(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 设直线l与边BC的交点为D，且∠C=2∠B，请你通过观察或测量，猜想线段AB、AC、CD之间的数量关系，并说明理由． 22. 如图，中，是边上的高，、分别是、的中点，且． （1）判断并说明与的位置关系； （2）若，，求． 23. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD． （1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）若AB=21，AD=9，求AE的长． 24. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A1B1C，连接BB1，设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F （1）求证：△CBD≌△CA1F； （2）试用含α的代数式表示∠B1BD； （3）当α等于多少度时，△BB1D是等腰三角形． 25. 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且． （1）如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） （2）如图 2，当点 E 与点 C 不重合时，连接 ， ①若，求 的度数； ②用等式表示与直间的数量关系，并证明． 26. 在 中，，于点 C，E 为上一点，连接交于点 F， 且． （1）如图 1，求证：； （2）如图 2，作 于点 M，交 于点 H，判断并说明 与 的数量关系； （3）在（2）的条件下，当 时， ①若 的面积为 30，求线段的值； ②求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $