专题22等差数列（六大考点+一个易错点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题22等差数列 一、等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 二、等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 考点01等差数列基本量的运算 【例1】设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 【例2】已知等差数列的公差为，且，则（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【变式1-1】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值集合. 【变式1-2】在数列中，.若为等差数列，则 . 【变式1-3】设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 考点02等差数列的判定与证明 【例3】已知数列的各项均不为0，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知数列满足，且 (1)证明：数列是等差数列； (2)求 的前项和. 【变式2-1】已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 【变式2-2】（1）已知等差数列满足，，求的通项公式； （2）已知数列满足，（且），求证：数列是等差数列，并求出的通项公式. 【变式2-3】已知数列的前n项和为，且．证明：数列是等差数列； 考点03等差数列项的性质 【例5】在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．118 B．128 C．138 D．148 【例6】已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3-1】设等差数列中，，前项和为，则 ． 【变式3-2】数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 【变式3-3】若是等差数列，且是方程的两个根，则（    ） A．4046 B．4044 C． D． 考点04等差数列和的性质 【例7】已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为（    ） A．130 B．150 C．180 D．210 【例8】已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【变式4-2】已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则 ． 考点05等差数列的最值问题 【例9】已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例10】已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 【变式5-2】若是等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知等差数列中， (1)求数列的通项公式 (2)若单调递增，，求数列前项和的最小值 考点06等差数列求和公式的二次函数特征 【例11】已知等差数列的前项和为．若，则的值是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【例12】记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． 【变式6-2】等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有 个. 【变式6-3】已知等差数列的前n项和满足，那么以下4个结论中正确的有 .（填所有正确结论的序号 （1）公差    （2）不等式的最小正整数解为13 （3）    （4）满足的n的个数为11个 易错点01涉及最值时忽略等差数列中为0的项 注意：求等差数列前项和最大值的方法通常有两种:①将前项和表示成关于的二次函数,即,当为整数时，有最大值；若不是整数,等于离它较近的一个或两个整数时最大；②可根据且确定最大时的值. 1．（多选）数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 2．已知等差数列的前项和为，若，， (1)求 (2)当取最大值时，求的值 一、单选题 1．已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 2．等差数列 中， 是其前 项和，，则公差 的值为（       ） A． B．1 C．2 D．3 3．对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设是等差数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知各项都不为零的无穷数列满足: ，若为数列中的最小项，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列公差为，其前项和为，等差数列公差为，其前项和为，则下列命题中正确的个数是（    ） ①若为等差数列，则       ②若为等差数列，则 ③若为等差数列，则       ④若，则是公差为的等差数列. A． B． C． D． 二、多选题 9．已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为递减数列 C． D． 10．已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 11．已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为 C． D．实数的取值范围为 三、填空题 12．已知等差数列满足，，则通项公式为 . 13．设是等差数列的前项和，且为常数，则 ． 14．在数列中，，且，则 . 四、解答题 15．已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 16．已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．设数列的前项和为，若，且． (1)证明数列是等差数列，并求的表达式； (2)求数列的通项公式． 18．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值． 19．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题22等差数列 一、等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 二、等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 考点01等差数列基本量的运算 【例1】设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 【答案】D 【详解】设公差为， 由，得，所以， 由，得 故， 则， 因为， 所以， 化简得，解得或（舍去）. 故选：D. 【例2】已知等差数列的公差为，且，则（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【答案】A 【详解】因为是公差为的等差数列，所以是公差为2的等差数列. 易得，令，得， . 故选：A. 【变式1-1】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 所以的通项公式为. （2）由（1）知， 由，得，整理得， 显然，则由，解得， 所以满足条件的n的取值集合为. 【变式1-2】在数列中，.若为等差数列，则 . 【答案】 【详解】设的公差为，所以，所以， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1-3】设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知，所以. 考点02等差数列的判定与证明 【例3】已知数列的各项均不为0，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可知为公差为3的等差数列，且首项为， 故， 故，. 故选：C 【例4】已知数列满足，且 (1)证明：数列是等差数列； (2)求 的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 则， 所以. 【变式2-1】已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ，，，. （2）由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 【变式2-2】（1）已知等差数列满足，，求的通项公式； （2）已知数列满足，（且），求证：数列是等差数列，并求出的通项公式. 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 【详解】（1）等差数列中，由，得，解得，而， 因此公差，通式公式为. （2）依题意，，由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，， 所以的通项公式为. 【变式2-3】已知数列的前n项和为，且．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】证明：当时，，得， 当时，由，得， 所以，所以（常数）， 故数列是以为首项，2为公差的等差数列． 考点03等差数列项的性质 【例5】在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．118 B．128 C．138 D．148 【答案】C 【详解】由，又， 所以， 由题意得． 故选：C． 【例6】已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1， 故选：B． 【变式3-1】设等差数列中，，前项和为，则 ． 【答案】30 【详解】等差数列中，根据等差数列的性质可知：， 即，则． 故答案为：30． 【变式3-2】数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 【答案】A 【详解】因为即，所以数列为等差数列， 因为且，所以，得， 所以. 故选：A. 【变式3-3】若是等差数列，且是方程的两个根，则（    ） A．4046 B．4044 C． D． 【答案】C 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 考点04等差数列和的性质 【例7】已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为（    ） A．130 B．150 C．180 D．210 【答案】C 【详解】等差数列的前项和中，也成等差数列， 即成等差数列，． 故选：C． 【例8】已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 因为数列，都是等差数列， 所以不妨令， 所以， ， 所以. 故选：C 【变式4-1】记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】B 【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列. 由于，则成等差数列. 则，解得. 则成等差数列．故，则. 故选：B. 【变式4-2】已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D 【变式4-3】设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则 ． 【答案】 【详解】由题意知，，，， ∴. 故答案为：． 考点05等差数列的最值问题 【例9】已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得． 则 故当取得最小值时，的值是6． 故选：A． 【例10】已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：等差数列的前项和为， 前项和可看做关于的二次函数，则公差时，有最大值，充分性得证； 必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立. 故选：C. 【变式5-1】设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意知是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差， 若，此时，，是等差数列的前项和中的最小值， 此时，即，则； 若，，此时是等差数列的前项和中的最小值， 此时，，即， 则， 综上可得：的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-2】若是等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B. 【变式5-3】已知等差数列中， (1)求数列的通项公式 (2)若单调递增，，求数列前项和的最小值 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设公差为， 因为， 则为方差的两根， 所以或， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，或； （2）若单调递增，则， 故， 所以， 所以当时，取得最小值. 考点06等差数列求和公式的二次函数特征 【例11】已知等差数列的前项和为．若，则的值是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为． 等差数列的前项和可看作是关于的二次函数， 又故对称轴方程为． 又，解得． 故选：B. 【例12】记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：因为，所以，得到， 设等差数列的公差为，由，得到，又，所以， 所以，， 又， 令，其图象如图所示 结合等差数列的前n项和及通项的函数特征，    由图知，n的取值范围是． 方法二：由条件得，即． 因为，所以，并且有， 所以． 由，得， 整理得． 因为，所以， 即，解得， 所以n的取值范围是， 故选：C. 【变式6-1】（多选）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． 【答案】AD 【详解】等差数列中，若且，则，，故. ，故A正确； ，故，故B错误； ，故C错误； ，，故，故D正确； 故选：AD. 【变式6-2】等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有 个. 【答案】2020 【详解】依题意，，解得， 因此，， 由于二次函数图象的对称轴为， 则在的2024个数值中，， 所以不同的数值有2020个. 故答案为：2020 【变式6-3】已知等差数列的前n项和满足，那么以下4个结论中正确的有 .（填所有正确结论的序号 （1）公差    （2）不等式的最小正整数解为13 （3）    （4）满足的n的个数为11个 【答案】（1）（2）（3） 【详解】由等差数列的前n项和满足，即最大， 所以，（1）正确； 又因为最大，，（3）正确； ， ， 所以的值当递增，当，递减，前12项和为正， 当时为负，（2）正确； 满足的n的个数为12个，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 易错点01涉及最值时忽略等差数列中为0的项 注意：求等差数列前项和最大值的方法通常有两种:①将前项和表示成关于的二次函数,即,当为整数时，有最大值；若不是整数,等于离它较近的一个或两个整数时最大；②可根据且确定最大时的值. 1．（多选）数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【详解】，时， ， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，显然，当时，当且仅当，故C正确； 对于D，由于，所以当或4时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD. 2．已知等差数列的前项和为，若，， (1)求 (2)当取最大值时，求的值 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得，所以. （2）， 所以当取最大值时，或. 一、单选题 1．已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 【答案】B 【详解】因为，且，所以， 又，所以， 又，所以，解得. 故选：B 2．等差数列 中， 是其前 项和，，则公差 的值为（       ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ，则， 则. 故选：C 3．对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：若是等差数列， 则． 必要性：若，则， 两式相减得， 即，所以是等差数列． 所以甲是乙的充要条件. 故选：C． 4．设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列和都为等差数列，且， 则， 故选：B． 5．已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由为等差数列，且，所以， 因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数， 又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以， 则有，解可得， 综上可得，，所以实数的取值范围为． 故选：D． 6．设是等差数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是等差数列的前n项和， 由， 由， 设公差为，则， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：A. 7．已知各项都不为零的无穷数列满足: ，若为数列中的最小项，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】各项都不为零，， 故为公差为1的等差数列， 则， 因为为数列中的最小项，所以， 所以，且，解得. 故选：A 8．已知等差数列公差为，其前项和为，等差数列公差为，其前项和为，则下列命题中正确的个数是（    ） ①若为等差数列，则       ②若为等差数列，则 ③若为等差数列，则       ④若，则是公差为的等差数列. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于①：因为为等差数列， 所以，即. 又因为等差数列公差为 所以，整理得：，故①正确； 对于②：因为为等差数列， 所以，即 又因为等差数列公差为，等差数列公差为. 所以，整理得：，故②正确； 对于③：因为为等差数列，所以. 又因为等差数列公差为，等差数列公差为. 所以，整理得：，即或，与矛盾，故③错误； 对于④：因为等差数列公差为，等差数列公差为 所以， 因为，所以 则 所以是公差为的等差数列，故④正确. 故选：C 二、多选题 9．已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为递减数列 C． D． 【答案】ACD 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以A正确； 因为，所以数列为递增数列，所以B错误； 由，可得，所以C正确； 因为，所以，所以D正确． 故选：ACD． 10．已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，故A 正确； 对于选项BC：当时，可知公差， 所以，故B正确； 则，令，解得， 所以是数列中的项，故 C错误； 对于选项D，当时，可知公差， 则，即， 所以若是数列中的项，则k 的值可能为6，故D正确. 故选 ：ABD. 11．已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为 C． D．实数的取值范围为 【答案】ACD 【详解】当时，由及，解得，故A正确 因为数列的前项和为，且，即， 当时，可得，两式相减得， 因为，故，所以及均为公差为4的等差数列， 当上，由及，所以， 所以数列的通项公式为.故B错误 由B知，可得，故C正确； 因为对于任意成立，所以恒成立， 设，则， 时，， 时，， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为 故选：ACD. 三、填空题 12．已知等差数列满足，，则通项公式为 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，，， 所以，解得，所以. 故答案为： 13．设是等差数列的前项和，且为常数，则 ． 【答案】2 【详解】解：当时，， 即，即． 因为， 所以当时，， 两式相减得， 所以，两式相减得． 因为数列为等差数列， 所以数列的公差，故， 解得． 14．在数列中，，且，则 . 【答案】 【详解】因为，则， 可知是以首项为，公差为1的等差数列， 可得，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． （2）， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 16．已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 得（）， 两式相减得， 即（）， 所以当时，， 经检验也符合上式， 故； （2）由题意， 记，则数列的前项和， 所以，当时，， 当时，， 综上， 17．设数列的前项和为，若，且． (1)证明数列是等差数列，并求的表达式； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）证明：由于，且，， 两边同乘，得：， 所以数列是等差数列，其首项，公差为2． ， 所以. （2）当时， ， 当时，不适合上式． 综上， 18．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)11 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得，， 故． （2）由（1）可得，则， 所以，则数列是等差数列， 故． 因为，所以，所以， 所以或． 因为，所以的最小值是11． 19．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，由题意知：， ， 所以，所以的通项公式是. （2）数列的通项公式为， 记数列与前项的和分别为， 则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$