精品解析：江苏省南通市第一中学2024-2025学年高三上学期7月强化训练一数学试题

高三数学强化练习二 客观题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简集合、，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案. 【详解】解：不等式成立的充分条件是， 设不等式的解集为A，则， 当时，，不满足要求； 当时，， 若，则，解得. 故选：A. 3. 若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 4. 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析知，将所求式子化为，结合基本不等式可得结果. 【详解】若取得最小值，则， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 故选：C. 5. 若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由时，，由题意，当时，，对分和两种情况讨论即可求解. 【详解】解：由时，， 因为函数的值域为R，所以当时，， 分两种情况讨论： ①当时， ，所以只需，解得，所以； ②当时，，所以只需，显然成立，所以. 综上，的取值范围是. 故选：D. 6. 已知函数则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出分段函数在上单调递增的条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】函数在上单调递增， 则有，解得， 时不一定满足，不能得到在上单调递增； 在上单调递增时，有，一定成立， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C. 7. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 8. 命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）； 命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立； 命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0. 则下列说法正确的是（ ） A. 只有q1是p的充分条件 B. 只有q2是p的充分条件 C. q1，q2都是p的充分条件 D. q1，q2都不是p的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】对于命题q1：当a＞0时，结合f（x）单调递减，可推出 f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），命题q1是命题p的充分条件.对于命题q2：当a＝x0＜0时，f（a）＝f（x0）＝0，结合f（x）单调递增，推出f（x+a）＜f（x），进而f（x+a）＜f（x）+f（a），命题q2都是p的充分条件. 【详解】解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时， 当a＞0时，此时x+a＞x， 又因为f（x）单调递减， 所以f（x+a）＜f（x） 又因为f（x）＞0恒成立时， 所以f（x）＜f（x）+f（a）， 所以f（x+a）＜f（x）+f（a）， 所以命题q1⇒命题p， 对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0， 当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0， 又因为f（x）单调递增， 所以f（x+a）＜f（x）， 所以f（x+a）＜f（x）+f（a）， 所以命题p2⇒命题p， 所以q1，q2都是p的充分条件， 故选：C. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数在R上为增函数 C. 函数的值域为 D. 函数只有一个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】A．根据分段函数的每一段的取值范围进行分析即可； B．先分析每一段函数的单调性，然后再分析在分段点处的函数值大小关系，由此进行判断； C．分析每一段函数的值域，然后取并集并进行判断； D．分别考虑和时，时的值，由此判断出的零点个数. 【详解】选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确； 选项B：当时，函数为增函数，当时，函数为增函数，且， 所以函数在R上不单调，故B错误； 选项C：当时，，即，当时，，， 所以函数的值域为，故C正确； 选项D：当时，令，解得，当时，令，解得， 故函数有两个零点，故D错误， 故选：AC. 【点睛】易错点睛：分析分段函数时需要注意的事项： （1）分析分段函数的定义域和值域时，求解的是各段函数定义域和值域的并集； （2）分析分段函数的单调性时，先要分析各段函数的单调性，然后分析分段点处的函数值的大小关系，最后得出结论； （3）分析分段函数的零点时，根据各段函数等于零时的值，确定出函数的零点. 10. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不含端点），则（ ） A. 存在点，使平面 B. 存在点，点到直线的距离等于 C. 过四点的球的体积为 D. 过三点的平面截正方体所得截面为六边形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的判定定理即可；对于B，设，然后解方程即可；对于C，利用外接球的性质求出其半径，再求其体积即可；对于D，直接构造出相应的截面即可. 【详解】 对于A，当是的中点时，由于是的中点，故. 而，且，故四边形是平行四边形，所以，从而. 而在平面内，不在平面内，所以平面，故A正确； 对于B，设，则，，. 所以， 这就得到. 故点到直线的距离，故B错误； 对于C，设的中点为，过四点的球的球心为，在平面上的投影为，则. 由可知平面，再由可知是的中点. 所以球的半径. 从而球的体积，故C正确； 对于D，分别在上取点，使得. 则过三点的平面截正方体所得截面为六边形，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对线面平行的判定定理的使用. 11. 已知函数的定义域为，且对任意，恒成立；若时，.下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 对任意，有 C. 存在，使得 D. “函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得” 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项，根据条件求得，可判断，：直接利用关系式的变换求出结果．对于选项：利用假设法和关系式的而变换推出矛盾，进一步判定结果． 对于选项：直接利用函数的单调性判定结果． 【详解】对于选项：，时，，，，而，，故正确； 对于选项：（2），而当，时，， 所以（2），所以，故正确； 取，，其中，，1，，则，；， 从而，而， 对于，假设存在使，，，，，， 这与矛盾，所以错误； 对于：由上面推导可得当，时，，单调递减，为减函数， 所以若，，，则函数在区间上单调递减；当函数在区间上单调递减”，则，，，故正确． 故选：． 填空题 12. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___． 【答案】[－2，5] 【解析】 【详解】试题分析：，，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，即 考点：充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件． 2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 13. 已知且满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：． 14. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出，，…,，相加可得答案． 【详解】函数的定义域为，满足， 且当,时，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 设数集满足条件：①AR；②且；③若，则． （1）若，则中至少有多少个元素； （2）证明： 中不可能只有一个元素． 【答案】（1）三个元素； （2）假设中只有一个元素，设这个元素为a，由已知，即，此方程无实数解，这与A中只有一个元素a矛盾，所以A中不可能只有一个元素． 【解析】 【分析】（1）根据数集的性质，结合元素与集合的关系进行求解即可； （2）根据集合与元素的关系，结合一元二次方程根的判别式，利用反证法进行求解即可. 【详解】（1）若，则，∴ ，∴ ． ∴中至少有三个元素； （2）略 16. 集合是函数的定义域，集合中的元素是由函数在区间上的最大值组成的，，，．试写出函数关于的解析式，并求函数的值域． 【答案】， 【解析】 【分析】首先求出，再分、、分别求出，即可求出对于的，从而求出，再分段求出的取值范围，即可求出的值域. 【详解】对于函数，则，解得， 所以，所以， 当时，在区间上单调递减，则， 所以； 当即时，在区间上单调递增， 则，所以； 当即时，，所以； 所以，又， 所以，即， 当时，则； 当时，则； 当时，则， 综上可得的值域为. 17. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若，设函数在区间上的最大值为，求的表达式，并求出的最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一次函数和二次函数的单调性分析可得答案； （2）由，可得抛物线开口向上，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系，即可得到结论. 【小问1详解】 当时，，则在上单调递增，满足条件； 当时，的对称轴为，要使在上单调递增， 则，解得：， 综上，若在上单调递增，则的取值范围为 【小问2详解】 当时，的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增； 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，，， 当时，即时，； 当时，即，， 当时，即，， 综上，， 所以当时， 18. 如图，在三棱锥中，分别为棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）若点到底面的距离等于，且，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取棱的中点，连接， 因为，所以， 又因为，由直角三角形的性质，可得， 因为，所以， 可得，即， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，连接，分别证得和和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设，分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设，则， 所以， 可得， 设为平面的法向量，则， 取，可得，所以， 设为平面的法向量，则， 取，可得，所以. 所以，故二面角的正弦值为. 19. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为，当时，解集为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由不等式转化为，分，，讨论求解；（2）将对任意的，恒成立，转化为对任意的，恒成立，当，恒成立，当时，恒成立，利用基本不等式求解； （3）分析可知函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集，分、、三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数， 所以，即为，所以， 当时，解得，当时，解得，当时，解得， 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 【小问2详解】 因为对任意的恒成立，所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，恒成立， 令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以实数a的取值范围是 【小问3详解】 当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得 当时，，则，解得， 当时，，不成立； 综上，实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学强化练习二 客观题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 8. 命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）； 命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立； 命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0. 则下列说法正确的是（ ） A. 只有q1是p的充分条件 B. 只有q2是p的充分条件 C. q1，q2都是p的充分条件 D. q1，q2都不是p的充分条件 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数在R上为增函数 C. 函数的值域为 D. 函数只有一个零点 10. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不含端点），则（ ） A. 存在点，使平面 B. 存在点，点到直线的距离等于 C. 过四点的球的体积为 D. 过三点的平面截正方体所得截面为六边形 11. 已知函数的定义域为，且对任意，恒成立；若时，.下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 对任意，有 C. 存在，使得 D. “函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得” 填空题 12. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___． 13. 已知且满足，则的最小值为________． 14. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________． 15. 设数集满足条件：①AR；②且；③若，则． （1）若，则中至少有多少个元素； （2）证明： 中不可能只有一个元素． 16. 集合是函数的定义域，集合中的元素是由函数在区间上的最大值组成的，，，．试写出函数关于的解析式，并求函数的值域． 17. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若，设函数在区间上的最大值为，求的表达式，并求出的最小值. 18. 如图，在三棱锥中，分别为棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）若点到底面的距离等于，且，求二面角的正弦值. 19. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $