精品解析：海南省海口市华侨中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

2022−2023学年第一学期 海南华侨中学九年级数学期末考试题 （考试时间100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. 4 C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四条线段中，成比例线段是（ ） A. 1，2，3，4 B. 3，4，5，8 C. 1，，，2 D. 1.1，2.2，3.3，4.4 6. 如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，在边上，，，若的面积等于9，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 8. 如图，在中，，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AC于点D，交于点E，若，则AC长度为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 9. 如图，坡角为α的斜坡AB长5米，若tanα＝，则BC的长为（　　） A. 米 B. 5米 C. 10米 D. 5米 10. 有五张卡片的正面分别写有“畅”“游”“五”“大”“道”，五张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“畅”和“游”的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，那么新的抛物线解析式是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13 ＝_____． 14. 设， 是抛物线两点，则_____（填，或） 15. 如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，，则的值为______． 16. 如图，在中，，，，是边的中线，过点作于点，连接并延长交于点，则的长是______，的长是______． 三、解答题（本大题满分72分） 17 计算 （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 19. 如图，某广场有一块长为100米，宽为60米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲．若种植花草的空地面积为4950平方米，求修建的小路的宽度． 20. 如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔，游轮以海里时的速度向正东方向航行小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上． （1） ； （2）过作于点，求到直线的距离； （3）求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到海里，参考数据：，） 21. 如图1，正方形中，P是边上任意一点，Q是对角线上的点，且满足． （1）①求证：； ② ； （2）如图2，矩形中，，，P、Q分别是边和对角线上的点，，，求的长； （3）如图3，菱形中，交的延长线于点H ．若，对角线， P、Q分别是线段和上的点，， ，求的长． 22. 如图1，抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接，， （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P的横坐标为3，求的面积； （3）如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标． （4）若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022−2023学年第一学期 海南华侨中学九年级数学期末考试题 （考试时间100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成． 【详解】由题意，，解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性． 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则可得答案． 【详解】不是同类二次根式，不能合并，故本项错误． ，合并同类二次根式，故本项错误． ，二次根式的乘法法则，故本项正确． ，二次根式的除法法则，故本项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记法则是解题的关键． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式及相应结果是解题关键． 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答． 【详解】解：移项，得： ， 配方，得：， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和方法． 5. 下列四条线段中，成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 3，4，5，8 C. 1，，，2 D. 1.1，2.2，3.3，4.4 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算前两条线段之比与后两条线段之比，看是否相等进行判定． 【详解】解：A、因为 ，故1，2，3，4不是成比例线段，不符合题意； B、因为 ，故3，4，5，8不是成比例线段，不符合题意； C、因为 ，故1，，，2是成比例线段，符合题意； D、因为 ，故1.1，2.2，3.3，4.4不是成比例线段，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查成比例线段，如果四条线段满足，则四条线段成比例，掌握成比例线段的定义是解决问题的关键． 6. 如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 【详解】∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意； 当时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意； 当时，不是夹角，故不能判定与相似，故D错误，符合题意． 故选：D． 7. 如图，在中，，在边上，，，若的面积等于9，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据三角形的面积公式，可求得，根据相似三角形的性质，可求得，据此即可求得． 【详解】解：过点作于，过点作于， ， ， ，， ， ． ， 的面积等于9， ， ， ， ． 的面积为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键． 8. 如图，在中，，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AC于点D，交于点E，若，则AC的长度为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线性质得到，进而求出，，根据，求出，，即可求出． 【详解】解：由题意得直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形角所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质等知识，熟知相关定理，根据题意得到直线是线段的垂直平分线是解题关键． 9. 如图，坡角为α的斜坡AB长5米，若tanα＝，则BC的长为（　　） A. 米 B. 5米 C. 10米 D. 5米 【答案】B 【解析】 【分析】设BC＝x米，根据正切的定义用x表示出AC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设BC＝x米， ∵tanα＝， ∴＝， ∴AC＝2x米， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即（5）2＝x2+（2x）2， 解得：x1＝5，x2＝﹣5（舍去）， 则BC＝5米， 故选：B． 【点睛】本题考查度数解直角三角形的应用—坡度坡角问题，准确掌握正切的定义是解题的关键． 10. 有五张卡片的正面分别写有“畅”“游”“五”“大”“道”，五张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“畅”和“游”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出表格表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后由概率公式计算即可． 【详解】根据题意可列表格如下， 畅 游 五 大 道 畅 畅，游 畅，五 畅，大 畅，道 游 游，畅 游，五 游，大 游，道 五 五，畅 五，游 五，大 五，道 大 大，畅 大，游 大，五 大，道 道 道，畅 道，游 道，五 道，大 根据表格可知共有20种等可能的结果，其中恰好抽到“畅”和“游”的结果有2种， ∴从中任意抽取两张卡片，恰好是“畅游”的概率是． 故选：A． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率．正确列出表格或画出树状图是解题关键． 11. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，那么新的抛物线解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故选：． 12. 如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法正确；设EC的长为x，BE=2EC=2x，，证得△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，B说法正确；，AB=BE=2x，可得C说法正确；利用相似的性质可得：，求出，进一步可得：，可得，D说法错误． 【详解】解：在矩形ABCD中，△ABE是等边三角形， ∴∠DAB=90°，∠EAB=60°， ∴∠DAE=90°-60°=30°， 故A说法正确； 设EC的长为x， 易得∠ECB=30°， ∴BE=2EC=2x，， AB=BE=2x， ∵， ∴∠ECA=∠CAB， 又∵∠EFC=∠BFA， ∴△ECF∽△BAF， ∴， 故B说法正确； ， ∴， 故C说法正确． 由相似的性质可知：， ∵， ∴， ∴，故D说法错误． 故选：D 【点睛】本题考查了矩形和等边三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形和等边三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. ＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则． 14. 设， 是抛物线的两点，则_____（填，或） 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次函数的图像和性质判断即可． 【详解】解：由可知： 再对称轴直线右侧，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，充分运用数形结合思想是解题的关键． 15. 如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知为直角三角形斜边上的中线即可求出，再利用锐角三角函数即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，点D为边的中点，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握直线三角形斜边上中线的特点以及锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 16. 如图，在中，，，，是边的中线，过点作于点，连接并延长交于点，则的长是______，的长是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，作交于，由勾股定理计算即可得出的长，解直角三角形得出，从而得出，由平行线分线段成比例定理得出，设，则，，证明，由相似三角形的性质得出，从而得出，结合，得出，再结合，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于， ∵点是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的除法，再计算加减即可； （2）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值计算即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3），． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）移项，再利用因式分解法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 19. 如图，某广场有一块长为100米，宽为60米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲．若种植花草的空地面积为4950平方米，求修建的小路的宽度． 【答案】修建小道的宽度是5米 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系列出方程是关键．设修建小道的宽度是x米，根据种植花草的空地面积为4950平方米，列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设修建小道的宽度是x米，依题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：修建小道的宽度是5米． 20. 如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔，游轮以海里时的速度向正东方向航行小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上． （1） ； （2）过作于点，求到直线的距离； （3）求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到海里，参考数据：，） 【答案】（1）， （2）海里 （3）海里 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题意可得的度数，结合三角形内角和可得的度数； （2）由题可得的长度，再结合三角函数可求得，即可求解； （3）根据题意可得等腰直角三角形，即（海里），结合三角函数可得，再根据，即可求出处与灯塔相距多少海里． 【小问1详解】 解：∵灯塔在处北偏东的方向上， ∴， 又∵一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔， ∴， ∴， 故答案为，． 【小问2详解】 解：由题可得（海里）， ∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（海里）， ∴到直线的距离海里． 【小问3详解】 解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴（海里）， 在中，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴， 即（海里）， ∴处与灯塔相距海里． 21. 如图1，正方形中，P是边上任意一点，Q是对角线上的点，且满足． （1）①求证：； ② ； （2）如图2，矩形中，，，P、Q分别是边和对角线上的点，，，求的长； （3）如图3，菱形中，交的延长线于点H ．若，对角线， P、Q分别是线段和上的点，， ，求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①利用正方形性质得到，进而利用等量代换得到，即可证明； ②利用正方形性质和勾股定理得到，再根据相似三角形性质求解，即可解题； （2）连接交于点，利用矩形的性质以及等腰三角形性质证明，利用勾股定理算出，最后利用相似三角形性质求解，即可解题； （3）连接交于点，利用勾股定理结合三角函数得到，再结合菱形的性质证明，利用等面积法，进而得到，最后利用相似三角形求解，即可解题． 【小问1详解】 解：①四边形为正方形，，是对角线， ， ， ， ， ， ； ②四边形为正方形， ，， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接交于点， 四边形矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：连接交于点， 四边形为菱形，，是对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形为菱形，是对角线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，等腰三角形性质，三角函数运用，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 22. 如图1，抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接，， （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P的横坐标为3，求的面积； （3）如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标． （4）若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）四边形面积最大面积是，此时 （4）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）直接使用待定系数法求解即可； （2）过点P做轴的平行线交于点，将分为和分别求解即可； （3）结合（2）将四边形面积分为和两部分相加，设，则，列出四边形面积的表达式，将其化为顶点式即可解题； （4）根据平行四边形的性质，结合坐标与图形，以及二次函数图象与性质，分别讨论点B，M，N，P形成平行四边形的情况，再求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点， 将、两点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设的所在直线的解析式为：， 将代入得：，解得：， 的所在直线的解析式为， 将P的横坐标代入得：， 的坐标为， 如图，过点P做轴的平行线交于点，则点横坐标为， 将点横坐标为代入，， 的坐标为， 由图知： ； 【小问3详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， 点A、（A点在B点左侧）关于直线对称， ， ， 如（2）所示： 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时即； 【小问4详解】 解：由（2）可知：的坐标为， ①如图所示，四边形为平行四边形， ，且， ∴点的纵坐标为，，解得：，， ∴点的坐标为， ， 设点， ， ，则，即； ②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于点，过点作轴于点， ，，，， 可得， ，且，设，， ，解得：，， 当时，，即，则，当时，，即，则， 点的坐标为或； ③如图所示，四边形为平行四边形， ，，， 设，则， ，即点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，二次函数与几何图形综合，二次函数的最值，平行四边形性质，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$