2024年九年级中考数学专项复习讲义13：四边形、多边形

专题13 四边形、多边形 考点解读 四边形、多边形是中考中的重点内容之一，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，常结合相似，锐角三角函数等进行考查，难度中等或偏易．主要考查内容有： （1）多边形的内角和，外角和等问题； （2）图形的镶嵌问题； （3）平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定． 多边形主要在选择特和填空题考查为主． 考 向 目 录 考向01 平行四边形的性质与判定 考向02 三角形的中位线及其定理 考向03 矩形 考向04 菱形 考向05 正方形 考向06 直角三角形斜边中线的性质 考向07 多边形 01 平行四边形的性质与判定 揭秘 母题 【母题1】如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【母题2】如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 【母题3】如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为平行四边形． 方法技巧 1．平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分． 2．平行四边形的判定有： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 3．平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论相反，它们构成互逆的关系． 由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到平行四边形的结论，这是平行四边形的判定． 02 三角形的中位线及其定理 揭秘 母题 【母题1】如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为　　 A． B．7 C． D．8 【母题2】如图，线段与分别为的中位线与中线． （1）求证：与互相平分； （2）当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． 方法技巧 利用三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系． 03 矩形 揭秘 母题 【母题1】如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【母题2】如图，在中，点，分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【母题3】如图，在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 方法技巧 1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角． 2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． 3．矩形的判定 （1）定义法； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）对角线平分且相等的四边形是矩形； （4）有三个角是直角的三角形是矩形． 04 菱形 揭秘 母题 【母题1】如图，平行四边形中，、分别是、的平分线，且、分别在边、上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的面积等于，求平行线与间的距离． 【母题2】如图，平行四边形中，点是对角线上一点，连接，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【母题3】在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为40．求的长． 方法技巧 1．菱形具有平行四边形的一切性质． 2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 05 正方形 揭秘 母题 【母题1】如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则　　 A． B．2 C． D． 【母题2】如图1，在正方形中，对角线、相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【母题3】如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点，不重合），，，，分别为垂足．连接，，并延长交于点． （1）求证：； （2）判断与是否垂直，并说明理由． 方法技巧 1．正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 2．正方形的判定 （1）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （2）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形； （4）对角线相等的菱形是正方形． 06 直角三角形斜边中线的性质 揭秘 母题 【母题1】如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为　　 A． B． C．2 D．4 【母题2】如图，在中，，，，点是的中点，求　　． 【母题3】如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　　． 方法技巧 直角三角形斜边中线的性质： 1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等； 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质． 07 多边形 揭秘 母题 【母题1】正十二边形的外角和为　　 A． B． C． D． 【母题2】如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角　　 A． B． C． D． 【母题3】一个七边形的内角和是　　 A． B． C． D． 方法技巧 多边形内角与外角： （1）一个多边形的内角和取决于它的边数，随着边数的增加而增加，并且每增加一条边，内角和就增加． （2）边形的外角和与边数无关，总是等于． （3）正边形的每个内角都相等，则每个外角都相等，又其外角和为，所以正边形的每个外角度数为． 模拟 中考 一、选择题 1．如图，小明从点出发，沿直线前进5米后向左转，再沿直线前进5米，又向左转，，照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程为　　 A．20米 B．25米 C．30米 D．35米 2．如图，中，，是的中点，过点作的垂线，交于，连接，，，，则　　 A．3 B． C．5 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，的延长线与轴交于点，的平分线交于点，则点的横坐标是　　 A．5 B．12 C．13 D．17 4．如图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，若菱形的顶点、的坐标分别为、，点在轴上，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 6．如图，点，，，，在同一平面内，连接，，，，，若，则　　 A． B． C． D． 7．（2023•河北一模）对于题目，“在长为7的线段上取一点，使，以为边向上作矩形，且，点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长的速度运动，点从点出发，先以每秒1个单位长的速度向点运动，到达点后，再以每秒3个单位长的速度沿射线方向运动，已知、同时出发，运动时间为，若以、、，为顶点的四边形是平行四边形，求的值”，甲答：1，乙答，3．　　 A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 8．如图，将两个全等的正方形与重叠放置．若，，则图中阴影部分的面积是　　 A．48 B．54 C． D． 二、填空题 9．若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则　　． 10．如图，菱形中，与交于点，，为延长线上一点，使得，连结，分别交、于点、，连结，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点、、、构成的四边形是菱形．其中正确的结论有 　 　（填序号） 11．如图，，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点．连接，，，，则四边形的面积为 　 　． 三、解答题 12．已知：如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，请直接写出图中所有面积等于四边形的面积的三角形． 13．如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点，若，，求的长． 专题13 四边形、多边形 精选好题 一、选择题 1．下列说法中正确的是　　 A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 2．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是　　 A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 3．如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别是，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是　　 A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，平分交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．如图，菱形的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，将菱形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 8．如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为　　 A．3 B．2.5 C．2 D．5 9．如图，在正方形中，点在对角线上，，，，分别为垂足，连接，，若，则　　 A．5 B． C．2.5 D． 10．如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点顺时针旋转得到，连接．若点从点出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2023秒时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 11．如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是　　 A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 12．如图，在中，，，的平分线交于点，于点，交于点，连接，．下列结论： ①；②四边形是菱形；③；④． 上述结论中正确的序号是　　 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 13．正边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则　　． 14．一个多边形的内角和与它的外角和之比为，则这个多边形的边数是 　　． 15．如图，矩形中，，，连结对角线，为的中点，为边上的动点，连结，作点关于的对称点，连结，，若与的重叠部分面积等于的，则　　． 16．已知：对于平面内的一点和矩形，恒有．如图，在四边形中，，，，是的中点，则的面积的最大值是 　 　． 17．如图，在菱形中，，、分别是边，上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接．若的最小值为3，则的长为 　　． 18．四边形是边长为4的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），连接． （1）如图1，当点与点重合时，　　； （2）如图2，当点在线段上时，，则　　． 19．如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点． （1）　　； （2）若点是的中点，则的长为 　　． 20．如图，中，，，平分，交于点，平分，交于点，交于点，点，分别是和的中点，则的长为 　　． 21．如图，点是正方形边上一点，以为边作正方形，延长交于点，当矩形与正方形面积相等时，则　　． 22．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点是的中点，连接，则的长度为 　　． 三、解答题 23．如图1，四边形是正方形，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，． （1）若，，求的长； （2）若点是线段的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（1）的条件下，若，是线段上两个动点，点在线段上，且，当周长最小时，直接写出的面积． 24．如图，在菱形中，是它对角线上面的一个点，连接后并延长，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，，求线段的长． 25．如图，在中，，于点，过点作于点，交于点，点在边上，且，连接，延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． （3）若，，则　　． 26．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）证明四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 27．在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处． （1）如图1，若点落在对角线上，且，则的度数为　　． （2）如图2，若点落在边上，且，，求的长． （3）如图3，若点是的中点，的沿长线交于点，且，，求的长． 28．在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第一象限，矩形的顶点，，点在第二象限．将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设． （1）如图①，当时，与交于点，求点，的坐标； （2）若矩形与重叠部分的面积为． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，分别与交于点，与交于点．与交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 29．如图，矩形中，，，． （1）如图1，把矩形沿折痕折叠，点的对应点为点，交于点， 求证：； （2）如图2，把矩形沿折痕折叠，点的对应为，点的对应点为，使得点落在线段上，求的长度； （3）在图2的基础上，以点为中心，逆时针旋转，使得，其他条件不变，求阴影部分面积． 30．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作：如图1，点是边长为12的正方形纸片的边上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，把纸片展平，射线交射线于点． 判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：　　； （2）迁移探究 在（1）条件下，若点是的中点，如图2，延长交于点，点的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度；如果不确定，说明理由； （3）拓展应用 在（1）条件下，如图3，，交于点，取的中点，连接，则的最小值是 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$