精品解析：重庆市九龙坡区部分学校2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题

高2025届高二（下）半期测试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上：写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，其中是的导函数，则（ ） A. 12 B. 20 C. 10 D. 24 2. 已知则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知的分布列为 则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ） A. 60种 B. 68种 C. 82种 D. 108种 6. 2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ） ①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条 ②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条 ③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为 ④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我们把函数图象上任一点的横坐标与纵坐标之积称为该点的“积值”．设函数图象上存在不同的三点A，B，C，其横坐标从左到右依次为，，，且其纵坐标均相等，则A，B，C三点“积值”之和的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知二项式的展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有（ ） A. 展开式共有7项 B. 所有二项式系数的和为128 C. 只有第4项的二项式系数最大 D. 展开式的常数项为 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54 B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 11. 已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则a被10除所得的余数为_____________. 13. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________. 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分） 15. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 16. 2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； （2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列． 17. 某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图： （1）若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； （2）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案. 方案一：每满800元可立减100元； 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折. 若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当恒成立时，求的取值范围； （3）证明：. 19. 已知集合，规定：若集合，则称为集合的一个分拆，当且仅当：，，…，时，与为同一分拆，所有不同的分拆种数记为.例如：当，时，集合的所有分拆为：，，，即. （1）求； （2）试用、表示； （3）设，规定，证明：当时，与同为奇数或者同为偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025届高二（下）半期测试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上：写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，其中是的导函数，则（ ） A. 12 B. 20 C. 10 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，得到，求出函数解析式和. 【详解】由题意得，故， 则，故. 故选：D 2. 已知则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时求得；当时， ，然后计算时的值即可得出答案． 【详解】解：把代入得． 把代入得 ． ． 故选：B． 3. 已知的分布列为 则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质可求出的值，可判断AD选项；利用期望公式可判断B选项；利用方差公式可判断C选项. 【详解】对于A选项，由分布列的性质可得，可得，则，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 4. 已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【详解】由题意知，因为切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线斜率都是， 即关于的方程有两个不相等的正实数根， 化简得，有两个不相等的正实数根， 则，解得. 故选：A. 5. 一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ） A. 60种 B. 68种 C. 82种 D. 108种 【答案】D 【解析】 【分析】利用插空法结合组合数求解. 【详解】每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮， 所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有种方法， 且不同颜色数有种， 所以这排电子元件能表示的信息种数共有种. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查组合计数问题，关键是插空法的应用. 6. 2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ） ①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条 ②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条 ③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为 ④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可. 【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动， 对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上， 所以最短路径条数为条，错误； 对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确； 对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条， 所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确； 对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率， 所以，错误. 故说法正确的个数是2. 故选：B. 7. 两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得. 【详解】由题意可知：服从二项分布，所以. 同理：服从二项分布，所以. 因为，所以，所以. 对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增， 所以当时，有，即. 故选：C 8. 我们把函数图象上任一点的横坐标与纵坐标之积称为该点的“积值”．设函数图象上存在不同的三点A，B，C，其横坐标从左到右依次为，，，且其纵坐标均相等，则A，B，C三点“积值”之和的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，画出的大致图象，结合积值的定义构造函数，利用导数求其最大值. 【详解】依题意，A，B，C三点“积值”之和为， 因为，可得在和上单调递增，在上单调递减， 当时，，，； 当时，，可画出大概图象： 且有，使得，那么必有， 且关于对称，即，，， ， 则A，B，C三点“积值”之和 令，单调递减， 当时取最大值，， 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知二项式的展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有（ ） A. 展开式共有7项 B. 所有二项式系数的和为128 C. 只有第4项的二项式系数最大 D. 展开式的常数项为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据系数和公式求，再根据二项式定理和二项式系数的性质，判断选项. 【详解】由题意可知，当时，，所以， 二项式的展开式共有8项，所有的二项式系数的和为， 其中最大的二项式系数为和，为第4项和第5项，展开式的常数项为， 其中只有BD正确. 故选：BD 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54 B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】D 【解析】 【分析】 对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误， ③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位， 故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 , 从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加， 甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是， 即选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法: 1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置; 3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列; 4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中; 5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列; 6.间接法:正难则反、等价转化的方法. 11. 已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】赋值计算判断A；赋值并利用复合函数的求导法则求导探讨性质判断CD；探讨函数的周期计算判断D. 【详解】函数，对任意，， 对于A，令，得，而，则，A正确； 对于B，令，得， 则，两边求导得，，即， 因此关于对称，，B正确； 对于C，由，得， 令，得，两边求导得， 即，因此，函数是偶函数，C错误； 对于D，由，得，则， 因此函数的周期为4，，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则a被10除所得的余数为_____________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先利用二项式定理化简，再将写成，再利用二项式定理的展开式，即可求解. 【详解】， ， 所以被10除所得的余数为1. 故答案为：1 13. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得. 【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件， 设学生答对试题为事件，则，，， ，，， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分） 15. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 【答案】（1） （2） （3）第项和第项 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）当为整数时为有理项，即可求解； （3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解. 【小问1详解】 ，， 二项式系数最大的项为中间项，即第项， 所以； 【小问2详解】 ，， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合为； 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数的绝对值最大的项为第项和第项. 16. 2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； （2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型及对立事件的概率公式即可得解； （2）求出的可能取值，再求出各个值对应的概率，求出分布列即可得解. 【小问1详解】 记事件为“两手所取的球不同色”，事件是两手所取球颜色相同， 则，所以. 【小问2详解】 依题意，的可能取值为， 左手所取的两球颜色相同的概率为， 右手所取的两球颜色相同的概率为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 17. 某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图： （1）若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； （2）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案. 方案一：每满800元可立减100元； 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折. 若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案. 【答案】（1） （2）第二种方案 【解析】 【分析】（1）首先根据频率确定消费金额在和的频率比，从而确定两组的人数，再按照古典概型概率公式，即可求解； （2）首先确定第一种方案的消费，以及第二种方案的分布列和数学期望，再比较大小，即可选择. 【小问1详解】 消费金额在的频率为，在的频率为， 频率之比为，所以按照分层抽样，抽取的6人中消费金额在的有4人，消费金额在的有2人， 所以抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； 【小问2详解】 若选择方案一，则实际消费元， 若选择方案二，若不中奖，则消费元，概率为， 若中奖1次，则消费元，概率为， 若中奖2次，则消费元，概率为， 若中奖3次，则消费元，概率为， 设消费金额为，分布列如下， 期望, 因为，说明第二种方案平均消费少， 所以选择第二种方案. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当恒成立时，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数，对及进行分类讨论即可得； （2）令，由，即可得其必要条件，再借助导数对及的情况分类讨论即可得解； （3）借助（2）中所得，可得，令，可得，累加即可得证. 【小问1详解】 ， 当时，易知，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得， 令，解得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 令， ，故恒成立，即， ，令，则， 所以在上单调递增， 当时，，又， 有，即单调递减， ，即单调递增， 所以， 所以当时，成立； 当时，可得，， 所以 又 所以存在，使得，即， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）知，当时，有，即， 令，得， ， ， 即. 【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得，再令，可得，再累加即可得证. 19. 已知集合，规定：若集合，则称为集合的一个分拆，当且仅当：，，…，时，与为同一分拆，所有不同的分拆种数记为.例如：当，时，集合的所有分拆为：，，，即. （1）求； （2）试用、表示； （3）设，规定，证明：当时，与同为奇数或者同为偶数. 【答案】（1）9 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据新定义,结合集合元素个数和和不同分拆种数计算即可; (2)先考虑至少进入其中一个的情况类比得到所有元素的情况再应用乘法原理可得; (3) 运用二项式定理将展开，把转化为, 即可证明与同为奇数或者同为偶数. 【小问1详解】 集合， 对于每一个，都有进入或不进入两种可能， 而且至少进入其中一个， 所以有种进入、的不同方法； 同理有种进入、的不同方法； 由分步计数原理，、进入、共有种不同方法， 即. 【小问2详解】 因为集合， 下面按是否进入分为步求， 第一步：对于每一个，都有进入或不进入两种可能， 而且至少进入其中一个， 所以有种进入、、…、的不同方法； 第二步：同理有种进入、、…、的不同方法； … 第步：同理有种进入、、…、的不同方法. 由分步计数原理，、、…、进入、、…、， 共有种不同方法，即. 【小问3详解】 运用二项式定理将展开， ， 其中， ，其中， 所以当为奇数时，为奇数； 当为偶数时，也为偶数， 即与同为奇数或者同为偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $