精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县东朗中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试题

从江县东朗中学2023-2024学年度第一学期9月开学质量监测 八年级 数学测试卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共30分. 1. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么（ ） A. a2+b2> c2 B. a2+b2<c2 C. a2+b2= c2 D. a2+b2≠c2 2. 如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从角走到角，至少走（　　） A. 8米 B. 9米 C. 1米 D. 1米 3. 三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4. 《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A. 16 B. 17 C. 25 D. 64 5. 已知直角三角形的面积为，两直角边的和为，则它的斜边长的平方为（　　） A. B. C. D. 6. 小明从家走到邮局用了分钟，然后右转弯用同样的速度走了分钟到达书店（如图所示），已知书店距离邮局米，那么小明家距离书店（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. 12≤a≤13 B. 12≤a≤15 C. 5≤a≤12 D. 5≤a≤l3 8. 如图所示，一圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分. 11. 如图，以△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝9，S3＝25，当S2＝_____时∠ACB＝90°． 12. 如图，在中，，平分，于点，若，，则___． 13. 如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是___________． 14. 如图，一块形如“”字形的铁皮，每个角都是直角，且，，则______． 三、解答题：本大题7小题，共54分. 15. 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． （1）请你画出拼成的这个图形的示意图； （2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理． 16. 如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求需要绿化的空地的面积； （2）为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长． 17. 如图，长方形纸片中，，现将重合，使纸片折叠压平，设折痕为，试确定重叠部分的面积． 18. 如图，地到，两地分别有笔直的道路，相连，地与地之间有一条河流通过，，，三地的距离如图所示． （1）如果地在地的正东方向，那么地在地的什么方向？请说明理由． （2）现计划把河水从河道段的某个点引到地，求，两点间的最短距离． 19. 如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）． 20. 如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 21. 定义：如图所示，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县东朗中学2023-2024学年度第一学期9月开学质量监测 八年级 数学测试卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共30分. 1. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么（ ） A. a2+b2> c2 B. a2+b2<c2 C. a2+b2= c2 D. a2+b2≠c2 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即可判断． 【详解】如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理的内容是解答本题的关键． 2. 如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从角走到角，至少走（　　） A. 8米 B. 9米 C. 1米 D. 1米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据两点之间线段最短及勾股定理解答即可． 【详解】解：因为两点之间线段最短，所以为从到C的最短距离， 根据题意得：米， 根据勾股定理，得，米． 故选：C． 3. 三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先由完全平方公式展开，再由勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：， ， ． 此三角形为直角三角形． 故选：B． 4. 《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A. 16 B. 17 C. 25 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案． 【详解】解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A， ∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17， 故A＝17， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由 m 生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同． 5. 已知直角三角形的面积为，两直角边的和为，则它的斜边长的平方为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，关键是准确应用直角三角形三边关系．熟练掌握勾股定理的运用．设两直角边长为和，则，联立得方程组并解方程组即可求得三角形的直角边的长，再利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：设两直角边长为和， 则， 解方程组得或， 所以斜边 故选：． 6. 小明从家走到邮局用了分钟，然后右转弯用同样的速度走了分钟到达书店（如图所示），已知书店距离邮局米，那么小明家距离书店（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】考查了勾股定理在实际生活中的应用．利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离书店的距离． 【详解】解：小明家到书店所用的时间为分钟， 又小明的速度为米分钟， 故小明家距离书店的距离为米． 故选：B． 7. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. 12≤a≤13 B. 12≤a≤15 C. 5≤a≤12 D. 5≤a≤l3 【答案】A 【解析】 【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答． 【详解】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13． 即a的取值范围是12≤a≤13． 故选：A． 8. 如图所示，一圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：底面周长为，半圆弧长为， 展开得： 又因为，， 根据勾股定理得：， 故选：B． 9. 如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的计算、侧面展开——路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：圆柱体的展开图如下图所示：用一根棉线从顺着圆柱侧面绕圈到的运动最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成个小长方形，从沿着个长方形的对角线运动到的路线最短． 圆柱底面半径为， 长方形的宽即圆柱体的底面周长为：， 又圆柱高为， 小长方形的一条边长是， 根据勾股定理求得， ， 故选：B． 10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题：每小题4分，共16分. 11. 如图，以△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝9，S3＝25，当S2＝_____时∠ACB＝90°． 【答案】16 【解析】 【分析】设△ABC的三边分别为BC=a、AC=b、AB=c，当∠ACB＝90°时，△ABC是直角三角形，由勾股定理可得到a2+b2＝c2，即S1+S2＝S3，代入可得解． 【详解】设△ABC的三边分别为BC=a、AC=b、AB=c， ∴S1＝a2＝9，S2＝b2，S3＝c2＝25， 当∠ACB＝90°时，△ABC是直角三角形， ∴a2+b2＝c2，即S1+S2＝S3， ∴S2＝S3﹣S1＝16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了勾股定理的几何背景，灵活运用勾股定理是解题关键． 12. 如图，在中，，平分，于点，若，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质．根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式求出． 【详解】解：在中，，，， 则， 平分，，， ， ， 即， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作于， 由垂线段最短可知，此时最小， 由勾股定理得，， ，即， 解得，， 故答案为：． 14. 如图，一块形如“”字形的铁皮，每个角都是直角，且，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】延长，交于点，则，依据勾股定理进行计算，即可得到的长． 【详解】解：如图所示，延长，交于点，则， ，， ，，， 中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形． 三、解答题：本大题7小题，共54分. 15. 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． （1）请你画出拼成的这个图形的示意图； （2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理． 【答案】 （1）（答案不唯一）如图所示： （2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2， 大正方形的面积等于四个直角三角形与中间的小正方形的面积的和，即大正方形的面积也可表示为：c2+4×ab， ∴（a+b）2＝c2+4×ab， 即a2+b2+2ab＝c2+2ab， ∴a2+b2＝c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【解析】 【分析】（1）把四个全等的直角三角形的斜边首尾相接，可拼成所需图案，如图所示（答案不唯一）； （2）分别用两种方法计算大正方形的面积，从而可得（a+b）2＝c2+4×ab，化简即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是拼出熟知的勾股图． 16. 如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求需要绿化的空地的面积； （2）为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长． 【答案】（1）114m2； （2）的长为m 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可； （2）由三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， 是直角三角形，， 需要绿化的空地的面积； 【小问2详解】 解：，， ， ， 解得：， 即小路的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出． 17. 如图，长方形纸片中，，现将重合，使纸片折叠压平，设折痕为，试确定重叠部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是图形的翻折变换和勾股定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等．要求重叠部分的面积，选择作为底，高就等于的长；而由折叠可知，由平行得，代换后，可知，问题转化为在中求． 【详解】解：设，由折叠可知，， 在中，，即， 解得：， 由折叠可知， ， ， ，即， ． 18. 如图，地到，两地分别有笔直的道路，相连，地与地之间有一条河流通过，，，三地的距离如图所示． （1）如果地在地的正东方向，那么地在地的什么方向？请说明理由． （2）现计划把河水从河道段的某个点引到地，求，两点间的最短距离． 【答案】（1）正北方向， 理由如下： ， 是直角三角形， 地在地的正北方向； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到逆定理得到是直角三角形，于是得到地在地的正北方向； （2）作于，则的长是，两地的最短距离，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于， 则的长是，两地的最短距离， 是直角三角形， ， ，两点间的最短距离， 答：，两点间的最短距离是． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键． 19. 如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）． 【答案】点到的距离约为 【解析】 【分析】过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 答：点到的距离约为． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． 20. 如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】（1） （2）游人在小时内撤离才可脱离危险 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【小问1详解】 解：，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 则台风中心经过从移动到点； 【小问2详解】 解：如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在内撤离才可脱离危险． 21. 定义：如图所示，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 【答案】（1） 解：是． 理由：， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形． 故点、是线段的勾股分割点． （2）或 【解析】 【分析】本题参考勾股定理的逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型． （1）根据勾股定理逆定理即可判断． （2）设，则，分两种情形：①当为最长线段时，依题意；②当为最长线段时，依题意；分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 当为最长线段时，依题意， 即，解得； 当为最长线段时，依题意． 即，解得． 综上所述的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $