精品解析：陕西省商洛市2024届高三第五次模拟预测文科数学试题

陕西省商洛市2024届高三第五次模拟预测文科数学试题 考生注意: 1.本试类分第I类(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 第I卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由并集的概念即可求解. 【详解】由，得. 故选：A. 2. 在空间中，下列命题是真命题的是（ ） A. 三条直线最多可确定1个平面 B. 三条直线最多可确定2个平面 C. 三条直线最多可确定3个平面 D. 三条直线最多可确定4个平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面的性质判断即可. 【详解】在空间中，三条直线最多可确定个平面， 例如：三棱锥中的三个侧面. 故选：C 3. 已知复数满足，则的实部与虚部之和为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法运算、虚部以及实部的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以的实部与虚部之和为9. 故选：D. 4. 已知，，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，由数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，因为，所以， 所以． 故选：C. 5. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概型分析求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张， 总共包含，这10个基本事件， 抽到的2张卡片上的数都是奇数包含其中这3个基本事件， 所以抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为. 故选：D. 6. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化成标准形式，根据焦点位置，列出不等式组，解之即得. 【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B. 7. 设满足约束条件则的最大值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先画出平面区域，利用z的几何意义求最大值. 【详解】由题意x，y满足平面区域如图： 联立，解得， 所以当直线经过时，z取到最大值为. 故选：D 8. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，可以设置不同的激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是单调递增函数 C. 方程有唯一解 D. 恒成立 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义和复合函数的单调性分析，易于判断A,B项；考虑函数的值域可判断C , D两项. 【详解】对于A项，因为的定义域为，且，所以是奇函数，故A项错误； 对于B项，， 因是增函数，是增函数且恒为正数，则是减函数，故是增函数，故 B项正确； 对于C , D两项，因，则，可得 ，即故C ,D项都不正确． 故选：B. 9. 若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换、函数平移变换法则得的表达式，利用整体代入法即可求解. 【详解】， 由题意得. 令，得， 所以图象的对称中心的坐标是. 故选：C. 10. 设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合方差公式直接求解即可. 【详解】由题意得， 所以数据的方差 . 故选：B 11. 已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，若A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，则（ ） A. 14 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】将代入，得，将代入，得，利用梯形的面积公式得，再利用抛物线的定义即可求解. 【详解】将代入，得，将代入，得， 所以，因为A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18， 所以，解得， 故由抛物线定义知. 故选：A 12. 已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正四棱锥底边长为2a，高为，外接球半径，内切球半径，设，分别为AD和BC的中点，由题意得的内切圆半径即为内切球半径，的外接圆半径即为正四棱锥的外接球半径，利用勾股定理求解即可. 【详解】设正四棱锥的底边长为2a，高为，外接球半径，内切球半径． 设M，N分别为AD和BC的中点，则的内切圆半径即为内切球半径． 设，则，． 由，得，即． 另外的外接圆半径即为正四棱锥的外接球半径，所以在中， 有，即，即， 所以，解得． 故选：D 第II卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负和对数的真数大于零，列不等式组，可求得答案 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 14. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为______________. 【答案】45 【解析】 【分析】根据循环结构即可求解. 【详解】由框图可得输出的. 故答案为：45 15. 在中，所对的边分别为.若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】应用余弦定理计算求参即可. 【详解】由余弦定理得，代入数据得，解得. 故答案为：2. 16. 若函数的最小值为0，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把恒成立不等式同构再结合函数的单调性得出恒成立，再由导数求出最小值即可. 【详解】由题意可知恒成立， 所以恒成立. 令，则是增函数，且， 所以，即恒成立且等号能成立. 令，则. 当时，，单调递减； 当时，单调递增. 所以的最小值为，所以. 故答案为：. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 【答案】（1） （2）79.3 （3）7次 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解. （2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可. （3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解. 【小问1详解】 因为各组频率之和为1，组距为10， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为， 所以中位数位于第三组中， 设中位数为x，则， 解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3. 【小问3详解】 由题红灯等待时间低于85秒的频率为， 故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，结合中位线的性质可得四边形是平行四边形，即可得线线平行，即可得线面平行； （2）借助面面垂直的性质定理可得线面垂直，即可得三棱锥的高，从而可通过计算得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，所以，且， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为， 所以， 又因为是的中点，所以. 19. 已知数列的各项均为正数，其前项和为是等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由等比数列的性质和与的关系，解方程可得首项和公比，即可求解； （2）先求出，再由对数的运算性质求得，根据数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 由是等比数列，设公比为，则由得，所以， 所以，所以，故由得， 所以，所以，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，当时，. 当时，.经检验不适合， 所以，所以， 则数列的前项和， ， 两式相减可得， 所以. 20. 已知双曲线的焦距为，且的离心率为.记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点. （1）求的方程； （2）证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件. 【答案】（1） （2） 当轴时，不妨假设在第一象限， 由，解得， 则， 则，必要性得证； 由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立，得， 由且，得且， . ， 整理得，则当或（满足且）时， 均有的面积为，所以充分性不成立. 故“的面积为”是“轴”的必要不充分条件. 【解析】 【分析】（1）由焦距为，可得，离心率为，可得，进而，则可得的方程； （2）当轴时，求出坐标，则可求出的面积，即可证明必要性；设直线的方程为，，联立直线与双曲线方程，消元，得韦达定理，由，求出，即可证明. 【小问1详解】 设的焦距为，则，得， 因为，所以， 所以，故的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：轴，即可得交点坐标，由面积公式求出面积；通过直曲联立消元，利用韦达定理，是解决直线与圆锥曲线一类问题的通用方法，本题即可求出直线的斜率，问题的证. 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是定义域内的单调函数，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，求出，，利用斜截式即可求解切线方程； （2）由导数与单调性的关系可得恒成立或恒成立，参变量分离可得恒成立或恒成立，构造新函数，利用导数求出函数的最值，从而可得的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 . 因为是定义域内的单调函数，所以恒成立或恒成立， 即恒成立或恒成立. 令，则. 再令，则，所以是增函数. 因为，所以当时，在单调递减； 当时，，在单调递增. 所以的最小值为. 又因为， 当时，，所以的值域为， 所以不可能有恒成立，只有恒成立，且. 故的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. (二)选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4:坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）若射线与曲线交于点（异于极点），与曲线交于点，且，求. 【答案】（1）曲线的极坐标方程为：，曲线的极坐标方程为： （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）依题意将射线依次代入曲线，的极坐标方程可求出，，代入求解即可. 【小问1详解】 因为曲线：即， 所以由得曲线的极坐标方程为：， 曲线的方程为， 所以由得曲线的极坐标方程为：， 整理得. 【小问2详解】 射线与曲线交于点A，故，故， 射线与曲线交于点，故，故， 由于，故，整理得， 因为，所以，所以. [选修4-5:不等式选讲] 23. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式即可； （2）先应用绝对值三角不等式得出函数的最小值，再应用最值转化恒成立问题最后解出参数范围. 【小问1详解】 当时，，得，即； 当时，恒成立； 当时，，得，即. 综上所述，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，当时取等号，所以的最小值为5. 由不等式恒成立可得， 解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省商洛市2024届高三第五次模拟预测文科数学试题 考生注意: 1.本试类分第I类(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 第I卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在空间中，下列命题是真命题的是（ ） A. 三条直线最多可确定1个平面 B. 三条直线最多可确定2个平面 C. 三条直线最多可确定3个平面 D. 三条直线最多可确定4个平面 3. 已知复数满足，则的实部与虚部之和为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 4. 已知，，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 5. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设满足约束条件则的最大值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 8. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，可以设置不同的激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是单调递增函数 C. 方程有唯一解 D. 恒成立 9. 若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，若A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，则（ ） A. 14 B. 12 C. 16 D. 18 12. 已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 函数的定义域为______． 14. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为______________. 15. 在中，所对的边分别为.若，则__________. 16. 若函数的最小值为0，则__________. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 19. 已知数列的各项均为正数，其前项和为是等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20. 已知双曲线的焦距为，且的离心率为.记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点. （1）求的方程； （2）证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件. 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是定义域内的单调函数，求的取值范围. (二)选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4:坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）若射线与曲线交于点（异于极点），与曲线交于点，且，求. [选修4-5:不等式选讲] 23. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $