精品解析：安徽省池州市贵池区2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题

贵池区2023~2024学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 命题单位：池州八中 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5亮米黑色签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效. 4，保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，点D为BC中点，E为AD中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，利用基向量，结合向量的运算进行求解. 【详解】因为点D为BC中点，所以；因为E为AD中点，所以； 所以 . 故选：A. 2. 若复数为纯虚数，，则 A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由题意得到关于的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小. 详解：若复数为纯虚数，则： ，即：， 结合，可知：，故. 本题选择B选项. 点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D，因轴，轴，则， 又轴，则四边形为平行四边形，故. 又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为， 因四边形面积是四边形的面积的倍， 则四边形OABC的面积为. 故选：B 4. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为， 所以平地降雪厚度的近似值为. 故选：C 5. 一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向，以每小时海里的速度航行30分钟后到达处．又测得灯塔在货轮的东北方向，则（ ） A. 20 B. 40 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出，，，再由两角和的正弦公式求出，根据正弦定理即可求出的值． 【详解】由题可知，，，， 由两角和的正弦公式得： ， 在中，由正弦定理得： ，即， 解得， 故选：A． 6. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案． 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线为，则，， 解得， 则圆锥高为， 因此该圆锥的体积， 故选：D 7. 在中，点是中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量的性质得到，再使用基本不等式求解即可. 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故，即. 从而，当且仅当等号成立. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于采用恰当的配凑以运用基本不等式，从而求得最值. 8. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出和，然后结合向量的数量积的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以，即， 结合正弦定理得，即， 所以，所以， 因为的面积为，所以，即，所以， 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的共轭复数是 B. 对应的点在第二象限 C. 的虚部为 D. 若复数满足，则的最大值是6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义判断A，根据复数的乘方化简，再由复数的几何意义判断B，根据复数的除法化简，即可判断C，根据三角不等式或根据复数的几何意义判断D. 【详解】对于A：由复数，所以的共轭复数是，故A正确； 对于B：由复数，得， 所以对应的点为，位于第二象限，故B正确； 对于C：由复数，所以，所以的虚部为，故C错误； 对于D： 法一：因为，利用复数模的三角不等式得，即的最大值是6. 法二：如图，因为在复平面上对应的点为， 又，表示在复平面上对应的点到的距离等于， 所以表示的点的轨迹为圆心在，半径等于的圆. 因为，， 所以当对应的点在处时，的最大值为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则与夹角的余弦值为 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 向量在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；由平面向量共线的坐标表示可判断B选项；分析可知且与不共线，求出的取值范围，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则，A对； 对于B选项，因为，，，则， 若，则，解得，B对； 对于C选项，若与夹角为锐角，则，解得， 且与不共线，所以，， 所以，当且时，与的夹角为锐角，C错； 对于D选项，向量在上的投影向量 ，D对. 故选：ABD. 11. 在中，内角所对的边分别为，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，且，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，边角互化得到，判断即可； 对于选项B，由可得，或，又，故或，即可判断； 对于选项C，由锐角三角形得到，结合正弦定理可解； 对于选项D，因为，所以，运用正弦定理边角互化得到三角函数，求值域即可判断. 【详解】对于选项A，因为，所以，则有两解，正确； 对于选项B，由可得，或，又，故或，则为等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于选项C，由得，则， 因为，所以，C正确； 对于选项D，因为，所以，又因为， 所以，则 ， 由，得， 所以当，即时，取得最大值，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，分别为的对边，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助余弦定理与正弦定理化简计算即可得. 【详解】由，则， 即，由正弦定理可知，， 即，又，所以. 故答案为：. 13. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则正方体的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的几何特征得外接球与内切球半径分别为，即可由得的值，即可由球的表面积公式求解. 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的外接球与内切球半径分别为，且球心均为正方体的中心， ，且线段的最小值为， ， 正方体的外接球的表面积为. 故答案为： 14. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，O为坐标原点，复数是关于x的方程的一个根. （1）求实数m，n的值； （2）若复数，，，所对应的点分别为A，B，C，记的面积为，的面积为，求. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）把代入方程，然后根据复数相等即得；或由题可知也是方程的根，根据韦达定理计算得到答案； （2）根据复数除法运算结合条件可得，，，进而可得，即得；或根据复数的三角形式及几何意义可得，进而即得. 【小问1详解】 解法一：依题意，， 整理得， 于是，有， 解得，； 解法二：依题意，是方程的另一个根， 于是，有， 解得，； 【小问2详解】 由（1）知，因为， 所以， 所以，，， 从而，，， 可知，所以. 解法二：由（1）知，因为， 所以， 可知， 所以. 16. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、．已知向量，，且． （1）求的值； （2）若，求△ABC的面积S． 【答案】（1）2（2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量垂直得到边角关系：，再由正弦定理将边的关系化角的关系，结合两角和的正弦以及三角形角的关系，即可求解； （2）由向量模的定义知，又由（1）知，而所以三边都已确定，再由余弦定理求出cos A的值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）， 由正弦定理得 ， 所以； （2）由得， 又由（1）知，而所以解得， 由余弦定理得， 因此三角形面积为 考点：正余弦定理 17. 如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）. （1）若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标； （2）若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，坐标系为平面直角坐标系，设点利用求出，再利用模长公式计算可得答案； （2）根据向量的模长公式、数量积公式计算可得答案.， 【小问1详解】 当时，坐标系为平面直角坐标系， 设点，则有，而， 又，所以，又因， 解得，故点的坐标是； 【小问2详解】 依题意夹角为， ， ， 所以. 18. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下， （1）计算制作该模型所需原料的质量； （2）计算该模型的表面积（精确到0.1） 参考数据：，， 【答案】（1）118.8；（2）cm2． 【解析】 【分析】先计算出该模型的体积，体积等于长方体的体积减去四棱锥的体积，再用体积乘以密度即可求出所需原料的质量； （2）由已知数据计算出四棱锥的侧面积，则该模型的表面积 【详解】解：（1）因为E，F，G，H，分别为所在矩形各棱的中点，所以四边形EFGH为菱形． 由AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，得 又因为O为长方体的中心，所四棱锥O﹣EFGH的高． ， ． ∴该模型体积为： cm3． ∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗， ∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8g． （2）记面的中心为，连接，，， 则，，． 由题意，四棱锥O﹣EFGH的四个侧面为全等三角形． 在等腰中，取中点，连接， ， 所以． ∴该模型表面积为： cm3 cm2． 19. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形设. （1）当时，求四边形OACB的周长； （2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求 （3）问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）由题意可得，代入数据可得，即有OC的最大值为3，取等号时，设可得，解出后借助余弦定理即可得； （3）借助余弦定理可得，结合面积公式与诱导公式可得，结合正弦型函数的性质即可得解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即，于是四边形OACB的周长为； 【小问2详解】 因为，且为等边三角形，，， 所以，所以， 即OC的最大值为3，取等号时， 所以， 不妨设， 则，解得， 所以， 所以； 【小问3详解】 在中，由余弦定理得， 所以，， 于是四边形OACB的面积为 ， 当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为， 所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵池区2023~2024学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 命题单位：池州八中 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5亮米黑色签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效. 4，保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，点D为BC中点，E为AD中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，，则 A. B. C. D. 或 3. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ） A. B. C. D. 5. 一货轮航行到处，测得灯塔在货轮北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向，以每小时海里的速度航行30分钟后到达处．又测得灯塔在货轮的东北方向，则（ ） A. 20 B. 40 C. D. 6. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 7. 在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的共轭复数是 B. 对应的点在第二象限 C. 虚部为 D. 若复数满足，则的最大值是6 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则与夹角的余弦值为 B. 若，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 向量在上的投影向量是 11. 在中，内角所对的边分别为，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，且，则 D. 若，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，分别为的对边，若，则__________. 13. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则正方体的外接球的表面积为__________. 14. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，O为坐标原点，复数是关于x的方程的一个根. （1）求实数m，n的值； （2）若复数，，，所对应的点分别为A，B，C，记的面积为，的面积为，求. 16. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、．已知向量，，且． （1）求的值； （2）若，求△ABC的面积S． 17. 如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）. （1）若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标； （2）若，点坐标为，求向量与的夹角的余弦值. 18. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下， （1）计算制作该模型所需原料的质量； （2）计算该模型的表面积（精确到0.1） 参考数据：，， 19. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形设. （1）当时，求四边形OACB的周长； （2）克罗狄斯托勒密所著《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求 （3）问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$