8.7 抛物线（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第七节　抛物线 课标要求 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.) [系统主干知识] 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 3．抛物线的几个结论 若AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，AB的倾斜角为α，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则： ①x1x2＝，y1y2＝－p2； ②|AF|＝，|BF|＝， ＋＝； ③|AB|＝x1＋x2＋p＝，抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短； ④S△OAB＝； ⑤以AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切； ⑥过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． [细作教材小题] 1．(苏教版选择性必修一P116·T2)抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　 ) A． B． C． D． 解析：选D　抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，所以焦点在y轴，由2p＝，所以焦点坐标为. 2．(人教A版选择性必修一P136·T3改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　 ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选B　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3．(人教A版选择性必修一P134·例3改编)[多选]顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，－2)的抛物线方程为(　 ) A．x2＝－y B．y2＝－x C．y2＝4x D．x2＝4y 解析：选AC　当抛物线的焦点在x轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)，∴(－2)2＝2p×2，解得p＝2，∴y2＝4x.当抛物线的焦点在y轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，∴22＝－2p×(－2)，解得p＝，∴x2＝－y. 4．(北师大版选择性必修一P75·T3)若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点F的距离为3，则n的值为______． 解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，由题意抛物线x2＝4y上有点P(m，n)到其焦点F的距离为3，结合抛物线的定义可得，n＋1＝3，解得n＝2. 答案：2 5．(人教B版选择性必修一P164·例2改编)已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为________． 解析：设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－5y，而且|PA|2＝x2＋(y＋3)2＝y2＋y＋9＝2＋，又因为y≤0，所以y＝－时，|PA|＝.因此所求最小值为. 答案： 逐点清(一)　抛物线的定义及其应用 [例1]　已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆(x＋2)2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C　连接PF，根据抛物线定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离．连接圆心A(－2,4)与焦点F(1,0)，交圆于点Q1，交抛物线于点P1，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值即为Q1F的长度，其中|AF|＝＝5，故|Q1F|＝5－1＝4. [例2]　已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为________． 解析：由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|， 所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为(|MF|＋|NF|)＝，所以线段MN的中点到y轴的距离为－1＝. 答案： 点拨·建模　抛物线定义的应用策略 最值问题 利用抛物线上的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相互转化，通过几何法作图象，数形结合解决或代数法转化为函数最值问题或不等式解决 轨迹问题 用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线．特别注意：一定要验证定点是否在定直线上 距离问题 灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径 逐点清(二)　抛物线的标准方程 [例3]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l于D．若|AF|＝2，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　 ) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 解析：选C　如图，连接DF，设准线与x轴交点为M，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l：x＝－，由抛物线的定义可得|AF|＝|AD|，又∠DAF＝60°，所以△DAF为等边三角形，所以|DF|＝|AF|＝2，∠DFM＝60°，所以在Rt△DMF中，|DF|＝2|MF|＝2p＝2，则p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x. [例4]　(2021·新课标Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 解析：抛物线C的焦点为F，将x＝代入y2＝2px，解得y＝±p.不妨设P，则kOP＝＝2.因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，所以直线PQ：y－p＝－.令y＝0，得x＝.由|FQ|＝6，得－＝2p＝6，所以p＝3.故C的准线方程为x＝－. 答案：x＝－ 点拨·建模　求抛物线标准方程的方法 定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择 待定系数法 若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论 逐点清(三)　抛物线的几何性质 [例5]　[多选]已知直线l：x－y－＝0过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法错误的是(　 ) A．抛物线C的方程为y2＝4x B．线段AB的长度为 C．∠MFN＝90° D．线段AB的中点到y轴的距离为 解析：选BD　由题意不妨设点A在点B上方，直线l：x－y－＝0与x轴的交点为(1,0)，又l经过抛物线y2＝2px的焦点F，故F(1,0)，可得p＝2，即抛物线C的方程为y2＝4x，故A正确．由可得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝，可得A(3,2)，B，所以|AB|＝＝，故B错误．易知M(－1,2)，N，F(1,0)，可得kNF·kMF＝×＝－1，则MF⊥NF，即∠MFN＝90°，故C正确．因为A(3,2)，B，所以线段AB的中点为，则线段AB的中点到y轴的距离为，故D错误．故选BD． [例6]　若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2,1)的距离之和最小，则该点的坐标为________． 解析：如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点F的坐标为(－1,0)． 依题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为. 答案： 点拨·建模　抛物线几何性质的应用技巧 (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 逐点验收(一)　抛物线的定义及标准方程 1．动点P到直线x＋4＝0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2，则点P的轨迹是(　 ) A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选D　由于动点P到直线x＋4＝0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2，于是动点P在直线x＝－4的右边，且动点P到直线x＋4＝0的距离大于2，因此动点P到直线x＝－2的距离等于它到点M(2,0)的距离，进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线． 2. (2023·新疆三模)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为(　 ) A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：选C　由题意知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1的距离相等，因此－＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.故选C． 3．(2024·泰安一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0,2)，与抛物线C的准线交于点N，＝，则p的值等于(　 ) A． B．2 C． D．4 解析：选B　如图，设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B．由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|.因为＝，所以＝，即cos∠NMM′＝＝，所以cos∠OFA＝cos∠NMM′＝，而cos∠OFA＝＝＝，解得p＝2，故选B． 4．(2023·遵义三模)已知抛物线y＝x2的焦点为F，点B(1,3)，若点A为抛物线任意一点，当|AB|＋|AF|取最小值时，点A的坐标为(　 ) A． B． C．(1,4) D．(4,1) 解析：选B　设点A在准线上的射影为D，如图，则根据抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，求|AB|＋|AF|的最小值，即求|AB|＋|AD|的最小值，显然当D，B，A三点共线时|AB|＋|AD|最小，此时A点的横坐标为1，代入抛物线方程可知A. 逐点验收(二)　抛物线的几何性质 5．(2024·福州模拟)已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线y2＝2x，则F，焦点F恰好是△ABC的重心，则x1＋x2＋x3＝3×＝，故|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋＋＝x1＋x2＋x3＋＝3. 6．(2024·南通开学考试)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l，交准线l于点A，若直线AF的倾斜角为30°，则点P的纵坐标为(　 ) A．3 B．2 C．1 D． 解析：选A　设准线与y轴交于M点，则|FM|＝2，∠FAM＝30°，∴|AF|＝4，连接PF，则|PF|＝|PA|，又∠PAF＝90°－30°＝60°，∴△PAF是正三角形，∴|PA|＝4，准线l的方程是y＝－1，∴P点纵坐标为3.故选A． 7．(2024·开封期末)已知抛物线E：x2＝4y，圆C：x2＋(y－3)2＝1，P为E上一点，Q为C上一点，则|PQ|的最小值为(　 ) A．5 B．2－1 C．2 D．3 解析：选B　如图，连接PC，由题意知当P，Q，C三点共线时，|PC|取得最小值，易知C(0,3)，r＝1，设P(x0，y0)，则x＝4y0，所以|PC|＝＝＝，故当y0＝1时，|PC|min＝2，所以|PQ|min＝|PC|min－r＝2－1. 8．(2024·抚顺模拟)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝4x上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝3|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　 ) A． B． C． D． 解析：选B　易知F(1,0)，设M(x0，y0)，显然当y0<0时，kOM<0，当y0>0时，kOM>0，要想求解直线OM的斜率的最大值，此时y0>0.设P(m，n)，由|PM|＝3|MF|，y0>0，则＝3，即(x0－m，y0－n)＝3(1－x0，－y0)，解得又n2＝4m，故16y＝4(4x0－3)，即y＋＝x0，y0>0，故kOM＝＝＝≤＝，当且仅当y0＝，即y0＝时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为. 综合、应用、创新题 9．(2023·襄城三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为(　 ) A．π B． C． D． 解析：选B　由题意，如图所示，设P(t2,2t)(不妨令t>0)，由已知可得F(1,0)，则M，所以直线OM的方程为y＝x， 设k＝，则k＝≤1(当且仅当t＝1时取“＝”)，所以点F到直线OM的距离为＝≤，即圆F的半径最大值为，面积最大值为. 10．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在l的右下方，则△DAB面积的最大值为(　 ) A．16 B．12 C．8 D．6 解析：选A　由C：x2＝8y知F(0,2)，则直线l为y＝x＋2，设D，则D到直线l的距离为d＝，又点D在l的右下方，所以d＝＝，联立方程消元得x2－8x－16＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16，所以|AB|＝·＝16，所以S△DAB＝|AB|·d＝4＝(－x2＋8x＋16)．故当x＝4时，S△DAB有最大值16. 11．抛物线W：y2＝2px的焦点为F，点F关于原点O的对称点为A，若以F为圆心的圆经过点A且与W的两个交点为B，C，则下面结论正确的是(　 ) A．△BOC一定是钝角三角形 B．△BOC可能是锐角三角形 C．△ABC一定是钝角三角形 D．△ABC可能是锐角三角形 解析：选A　根据对称性，不妨设p>0，B位于第一象限，C位于第四象限，由题意得F，A，则圆的方程为2＋y2＝p2，联立抛物线方程y2＝2px，解得或则B，C，则有xB＝xF，则BF⊥AF，则tan∠BOF＝＝2， 则根据对称性有tan∠BOC＝tan 2∠BOF＝＝－<0，又因为∠BOC∈(0，π)， 所以∠BOC∈，所以△BOC一定是钝角三角形，故A正确，B错误；又因为|AF|＝|BF|＝p，且AF⊥BF，所以△ABF为等腰直角三角形，则∠BAF＝，则根据对称性知∠BAC＝，则△ABC为直角三角形，故C、D错误． 细节、微点提醒 抛物线中的最值 设P为抛物线y2＝2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有|PF|≥；焦点弦AB以通径(2p)为最小值；若A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值． [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．若圆x2－4x＋y2－2y＝0的圆心在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的焦点坐标为(　 ) A． B． C． D．(1,0) 解析：选A　圆x2－4x＋y2－2y＝0的圆心坐标为(2,1)，则12＝2p×2，得p＝，所以该抛物线的焦点坐标为. 2．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　 ) A．1 B．2 C．2 D．4 解析：选B　抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝，解得p＝2(p＝－6舍去)． 3．(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　 ) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：选D　因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D． 4．抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x＝2交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PR⊥QR，则C的方程为(　 ) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝12x 解析：选C　如图，由题可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则准线方程为x＝－，当x＝2时，可得y＝±2，可得P(2,2)，Q(2，－2)，又R，PR⊥QR，所以·＝－1，即2＝4p，解得p＝4， 所以C的方程为y2＝8x. 5．(2024·厦门模拟)已知抛物线E：x2＝8y的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF靠近点P的三等分点，若|PF|＝10，则Q点的纵坐标为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C　过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为P1，Q1，如图所示，设准线y＝－2与y轴的交点为F1，因为Q为PF靠近点P的三等分点，可得＝＝，又因为|PF|＝10，可得|QQ1|＝8，又由抛物线的准线方程为y＝－2，可得点Q的纵坐标为8－2＝6，即点Q的纵坐标为6. 6. (2024·唐山模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y＝k(k>0)与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若sin∠MFO＝，则k＝(　 ) A． B． C． D． 解析：选C　如图，抛物线C的准线n：x＝－，直线n与x轴交于点A，过点M作准线n的垂线，垂足为Q，由抛物线的性质可得|MF|＝|MQ|，所以＝＝＝，又＝cos∠QMA＝cos∠MAF，所以＝cos∠MAF，故tan∠MAF＝＝，即k＝. 7．(2024·昆明模拟)[多选]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若＝3，则(　 ) A．||＝ B．||＝4 C．||＝3|| D．||＝4|| 解析：选BC　抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，准线l为x＝－1，如图，设准线l与x轴交于点M，∵＝3，由△ABH与△AFM相似得＝＝，∵|MF|＝2，∴|BH|＝×2＝，即||＝，故A错误；由抛物线定义得|BF|＝|BH|，∴|AF|＝3|BF|＝3|BH|＝4，即||＝4，||＝3||，故B、C正确，D错误． 8．若直线l经过抛物线x2＝4y的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝3，所以y1＋y2＝6，所以|AB|＝y1＋y2＋2＝6＋2＝8. 答案：8 9．(2024·滁州模拟)已知P(m,2)为抛物线C：y2＝－2px(p>0)上一点，点P到C的焦点的距离为2，则C的焦点坐标为________． 解析：由题意可知，4＝－2pm，所以m＝－. 又知抛物线C的准线方程为x＝， 根据抛物线的定义可知，－m＝＋＝2， 整理得p2－4p＋4＝0，解得p＝2， 所以C的焦点坐标为(－1,0)． 答案：(－1,0) 10．已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝M，则|FN|＝________. 解析：因为F是抛物线C：y＝2x2的焦点，所以F，抛物线C的准线方程为y＝－，如图，过点M作抛物线的准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MA∥OF，所以＝.因为2F＝M，所以|MA|＝×＝，|MF|＝|MB|＝＋＝，|FN|＝3|FM|＝. 答案： 11．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|. (1)求C1的离心率； (2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程． 解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－22，解得＝－2(舍去)或＝.所以C1的离心率为. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1　①.由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x. 12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)与焦点的距离为2. (1)求p和m； (2)若在抛物线C上存在点A，B，使得MA⊥MB，设AB的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标． 解：(1)设抛物线C的焦点为F，根据题意可知|MF|＝1＋＝2，解得p＝2.故抛物线C：y2＝4x. 因为M在抛物线C上，所以m2＝4. 又因为m>0，所以m＝2. (2)设A，B，D(x0，y0)，直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2. 易知k1，k2一定存在，则k1＝，k2＝. 由MA⊥MB，得k1k2＝－1，即·＝－1，化简得(y1＋2)(y2＋2)＝－16， 即y1y2＝－2(y1＋y2)－20. 因为D到抛物线C的准线的距离d1＝x0＋1＝，所以x0＝，即＋＝13，y＋y＝52. (y1＋y2)2＝52＋2y1y2＝52＋2[－2(y1＋y2)－20]，即(y1＋y2)2＋4(y1＋y2)－12＝0，解得y1＋y2＝－6或y1＋y2＝2，则y0＝＝－3或y0＝＝1.故点D的坐标为或. 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　 ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：选C　∵以MF为直径的圆过点(0,2)，∴点M在第一象限．由|MF|＝xM＋＝5，可得M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为. ∵点N的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y轴切于点(0,2)，从而2＝ ， 即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x. 14．[多选]设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若△ABF的面积为9，则(　 ) A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形 C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x 解析：选BCD　如图，因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|，又|BF|＝|FD|＝|FA|，所以∠ABD＝90°，|FA|＝|AB|，可得△ABF为等边三角形，B正确；过F作FG⊥AB交于G，则G为AB的中点，G的横坐标为，B的横坐标为－，所以A的横坐标为，代入抛物线可得y＝3p2，|yA|＝p，△ABF的面积为9，即(xA－xB)|yA|＝··p＝9，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，D正确；焦点F的坐标为，所以焦点F到准线的距离为×2＝3，C正确；此时点A的横坐标为，所以|BF|＝|AF|＝|AB|＝＋＝6，A不正确． 15．(2023·江苏三模)已知抛物线C1：y2＝16x，圆C2：(x－4)2＋y2＝1，点M的坐标为(8,0)，P，Q分别为C1，C2上的动点，且满足|PM|＝|PQ|，则点P的横坐标的取值范围是________． 解析：∵抛物线：y2＝16x的焦点(4,0)，准线：x＝－4，∴圆心C2即为抛物线的焦点F，设P(x，y)，∴|PF|－1≤|PQ|≤|PF|＋1，∴x＋4－1≤|PQ|≤x＋4＋1.∵|PM|＝|PQ|，∴x＋4－1≤|PM|≤x＋4＋1，x＋4－1≤≤x＋4＋1， ∴x2＋6x＋9≤x2－16x＋64＋16x≤x2＋10x＋25，∴≤x≤. 答案： 16.如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.由|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2.所以抛物线E的方程为y2＝4x. (2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性， 不妨设A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)． 由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 学科网（北京）股份有限公司 $$