8.3 圆的方程（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第三节　圆的方程 课标,要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能够根据不同的情境，建立圆的方程. [系统主干知识] 1．圆的定义及方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心：，半径：r＝ [提醒]　不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 2．点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 3．常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 [细作教材小题] 1．(人教B版选择性必修一P110·T4改编)若坐标原点不在圆x2＋y2－ay＋a－1＝0的内部，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(0,2) C．[1,2)∪(2，＋∞) D．{－2,2} 答案：C 2．(苏教版选择性必修一P61·T7改编)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，必有(　 ) A．E＝F B．D＝F C．D＝E D．D，E，F两两不相等 解析：选C　由D2＋E2－4F>0可知，该曲线表示的是一个圆，即2＋2＝，所以圆心坐标为.因为曲线关于直线y＝x对称，所以圆心坐标在直线y＝x上，即－＝－，故D＝E. 3．(人教A版选择性必修一P83·例2改编)△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，则它的外接圆的方程为________________，圆心坐标为________． 解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆经过A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点，即解得 所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0.圆心坐标为(2，－3)． 答案：x2＋y2－4x＋6y－12＝0　(2，－3) 4．(人教A版选择性必修一P85·T3改编)已知两点A(4,9)和B(6,3)，则以AB为直径的圆的标准方程是________________. 解析：由题意得所求圆的圆心为线段AB的中点，即(5,6)，半径为＝＝，所以所求圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. 答案：(x－5)2＋(y－6)2＝10 逐点清(一)　圆的方程 [例1]　若圆C经过点A(2,5)，B(4,3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　 ) A．(x－2)2＋(y－3)2＝4 B．(x－2)2＋(y－3)2＝8 C．(x－3)2＋(y－6)2＝2 D．(x－3)2＋(y－6)2＝10 解析：选A　圆C经过点A(2,5)，B(4,3)，可得线段AB的中点为(3,4)，又kAB＝＝－1，所以线段AB的中垂线的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0.由解得即C(2,3)，圆C的半径r＝＝2，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. [例2]　(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________． 解析：设点A(0,0)，B(4,0)，C(－1,1)，D(4,2)． ①若圆过A，B，C三点，圆心在直线x＝2，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2⇒a＝3，r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13. ②若圆过A，B，D三点， 设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2⇒a＝1，r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. ③若圆过 A，C，D三点，则线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD 的中垂线方程为y＝－2x＋5，联立得x＝，y＝⇒r＝，所以圆的方程为2＋2＝. ④若圆过B，C，D三点，则线段BD的中垂线方程为y＝1, 线段BC的中垂线方程为 y＝5x－7，联立得x＝，y＝1⇒r＝，所以圆的方程为2＋(y－1)2＝. 答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13 点拨·建模　求圆的方程的两种方法 (1)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程．常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆的圆心三点共线． (2)待定系数法：①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a，b，r(或D，E，F)的方程组；③解出a，b，r(或D，E，F)，代入标准方程(或一般方程)．选择方程的形式的关键：若已知圆上三点，则选用圆的一般方程；若已知条件与圆心及半径有关，则选用圆的标准方程． 逐点清(二)　与圆有关的轨迹问题 [例3]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解：(1)法一：直接法　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 法二：定义法　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 点拨·建模　求与圆有关的轨迹问题的方法 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆、直线等的定义列方程 几何法 利用圆的几何性质列方程 相关点代入法 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 逐点清(三)　与圆有关的最值问题 题点1　借助几何性质求最值 [例4]　已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 解：(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率． 设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－. (2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距． 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1. ∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1. (3)＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，∴的最大值为＋1，最小值为－1. |个性点拨|　借助几何性质求最值的3种情况 (1)形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 题点2　建立函数关系式求最值 [例5]　若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为(　 ) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选B　法一：易得|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得2≤＝2，当且仅当|PA|＝|PB|＝时取等号，所以|PA|＋|PB|≤2.故选B． 法二：易得|PA|2＋|PB|2＝4，设∠PAB＝θ，则|PA|＝2cos θ，|PB|＝2sin θ，|PA|＋|PB|＝2cos θ＋2sin θ＝2sin，当θ＝时，(|PA|＋|PB|)max＝2.故选B． [例6]　(2024·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________． 解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4. 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1， 所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12. 由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4， 所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 答案：12 |个性点拨|　 建立函数关系式求最值，就是根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等．利用基本不等式求最值是比较常用的． 逐点验收(一)　圆的方程 1．(2024·武汉模拟)“a<8”是“方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　因为方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆，所以22＋42－4a>0，解得a<5，所以“a<8”是“a<5”的必要不充分条件．故选B． 2．圆心在射线y＝x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为(　 ) A．x2＋y2－8x－6y＝0 B．x2＋y2－6x－8y＝0 C．x2＋y2＋8x＋6y＝0 D．x2＋y2＋6x＋8y＝0 解析：选C　因为圆心在射线y＝x(x≤0)上，故设圆心为(a≤0)，又半径为5，且经过坐标原点，所以 ＝5，解得a＝－4或a＝4(舍去)，即圆的圆心坐标为(－4，－3)，则圆的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0. 3．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为__________________． 解析：法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得 ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 法二：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M， ∴解得 ∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 法三：设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.联立解得M(1，－1)， ∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5 4．设定点M(－3,4)，点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程． 解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为. 因为平行四边形的对角线互相平分，所以线段OP与MN的中点为同一点，即＝，＝，整理得又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆．又直线OM与该圆相交于两点和，不能作出平行四边形，不符合题意，舍去．所以点P的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和. 逐点验收(二)　与圆有关的最值问题 5．(2024·广东模拟)已知点A在直线l：3x－4y－6＝0上，点B在圆C：x2＋y2－2x－6y＋8＝0上，则|AB|的最小值是(　 ) A．1 B．3－ C．3＋ D．5 解析：选B　由题意可知圆C的圆心C(1,3)，半径r＝.则圆心C到直线l的距离d＝＝3，故|AB|的最小值是d－r＝3－. 6．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　 ) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 解析：选C　将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2,1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C． 7．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最小值为(　 ) A．36－24 B．48－24 C．36 D．24 解析：选A　以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，因为＝，所以＝，两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8，所以点P的轨迹是以(3,0)为圆心，2为半径的圆，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2.因为x2＋y2－6x＋1＝0，所以|PA|2＋|PB|2＝2(6x－1)＋2＝12x，由y2＝8－(x－3)2≥0，得3－2≤x≤3＋2，所以36－24≤12x≤36＋24，由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24. 8．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________． 解析：方程x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3，x2＋y2表示圆(x－2)2＋y2＝3上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆 心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 答案：7＋4　7－4 细节、微点提醒 (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 (2)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·(y－y2)＝0. (3)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标． (4)由相关点法求方程时要注意，一定要明确“谁”和“谁”是“相关点”，即明确“所求点”与“已知点”的数量关系，用“未知点坐标”表示“已知点坐标”后，再代入已知点满足的关系式，即可得出未知点的轨迹，尤其注意是否有“特殊点”需要“抠除”． [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．(2024·许昌模拟)以点A(3,4)为圆心，且与y轴相切的圆的标准方程为(　 ) A．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 B．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 C．(x－3)2＋(y－4)2＝9 D．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 解析：选C　以点A(3,4)为圆心，且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝9. 2．(2023·北京海淀三模)若直线2x＋y－1＝0是圆x2＋(y＋a)2＝1的一条对称轴，则a＝(　 ) A．－1 B．1 C． D．－ 解析：选A　圆x2＋(y＋a)2＝1的圆心为(0，－a)，因为直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以圆心(0，－a)在直线2x＋y－1＝0上，所以2×0＋(－a)－1＝0，解得a＝－1.故选A． 3．已知点P(1，－2)在圆C：x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0的外部，则k的取值范围是(　 ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(－∞，－2) D．(－2,2) 解析：选B　由x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0，得2＋(y＋2)2＝3－k2， 则3－k2>0，解得－2<k<2　①. 又∵点P(1，－2)在圆C的外部， ∴1＋4＋k－8＋k2＋1>0， 即k2＋k－2>0，解得k<－2或k>1　②， 由①②得1<k<2. 4．(2024·焦作开学考试)已知圆经过点A(4,4)，B(－2,4)，C(4，－4)，则该圆的半径为(　 ) A．4 B．5 C．8 D．10 解析：选B　因为＝(－6,0)，＝(0，－8)，·＝0，∠BAC＝90°，所以该圆的直径为|BC|＝＝10，所以半径为5. 5．已知圆C经过A(0,0)，B(2,0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为(　 ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 解析：选C　∵圆心在弦的中垂线上，∴可设C(1，m)．∵△ABC为直角三角形，|AB|＝2， ∴|AC|＝＝. ∵m＞0，∴m＝1， ∴圆心坐标为(1,1)，圆的半径为， ∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 6．(2024·盐城模拟)圆C为过点P(4,3)，Q(2,5)的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O的距离的取值范围为(　 ) A．[2,5] B．[3,6] C．[5－，5＋2] D．[5－，5＋] 解析：选D　由题意得，圆C是以PQ为直径的圆，则圆心为C(3,4)，半径为，圆心到原点的距离为5，所以M到原点O距离的取值范围为[5－，5＋]．故选D． 7．过点A(1,1)，B(3,3)且圆心在直线y＝3x上的圆与y轴相交于P，Q两点，则|PQ|＝(　 ) A．3 B．3 C．2 D．4 解析：选C　因为圆心在直线y＝3x上，所以设圆的圆心为(a,3a)，半径为r， 则圆的方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝r2. 将A(1,1)，B(3,3)代入圆的方程有 解得 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4. 在圆的方程中令x＝0得(y－3)2＋1＝4， 解得y＝3±， 所以|PQ|＝|(3＋)－(3－)|＝2. 8．已知P(m，n)是圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上的一点，则 的最小值是(　 ) A．3－2 B．3 C．3＋2 D．2 解析：选D　表示圆上的点P(m，n)到点(1,0)的距离，由x2＋y2－8x－6y＋23＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝2，得圆心为(4,3)，半径为，所以点(1,0)到圆心的距离为＝3，所以点P(m，n)到点(1,0)的距离的最小值为3－＝2，即的最小值是2. 9．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________． 解析：由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2， 解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0， ∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0， ∴a＝2不符合题意； 当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， ∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5. 答案：(－2，－4)　5 10．已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________． 解析：由题意，圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0满足(－4)2＋22－20k>0，∴k<1.由点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，得1－4＋5k>0，∴k>，即k的取值范围是. 答案： 11．(2023·郑州三模)曲线y＝x2－4x＋1与坐标轴交于A，B，C三点，则过A，B，C三点的圆的方程为________________． 解析：令y＝0，则x2－4x＋1＝0，解得x1＝2－，x2＝2＋，即A(2－，0)，B(2＋，0)； 令x＝0，得y＝1，即C(0,1)， 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以解得 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4 12．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点． (1)求m＋2n的最大值； (2)求的最大值和最小值． 解：(1)易知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心为(2,7)，半径r＝2， 设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d＝≤2， 解得16－2≤t≤16＋2， 所以m＋2n的最大值为16＋2. (2)记点Q(－2,3)，则表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0. 由直线MQ与圆C有公共点， 得≤2， 可得2－≤k≤2＋， 所以的最大值为2＋，最小值为2－. 13.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 解：(1)设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3,0)． 由|EB|＝|EC|，得＝，解得b＝1，所以圆的半径为|EB|＝＝. 所以圆E的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)设P(x，y)，由于P是MN的中点， 由中点坐标公式，得M(2x－5,2y－2)， 代入x2＋(y－1)2＝10， 化简得2＋2＝，即线段MN的中点P的轨迹方程为2＋2＝. 二、创优训练，冲刺“双一流” 14．(2024·长沙模拟)点P在单位圆上运动，则P点到直线l：(1＋3λ)x＋(1－2λ)y－(7＋λ)＝0(λ为任意实数)的距离的最大值为(　 ) A．2＋1 B．6 C．3＋1 D．5 解析：选B　将直线方程变形为l：(x＋y－7)＋(3x－2y－1)λ＝0，由解得直线过定点Q(3,4)，P在单位圆上运动，圆心O(0,0)，圆的半径r＝1，故圆心到直线l距离的最大值为|OQ|＝＝5，则P点到直线l的距离的最大值为r＋|OQ|＝1＋5＝6. 15．已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________． 解析：圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2,0)，半径为r＝. 若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角大于等于90°即可，此时圆心C到直线l的距离d＝|CP|＝.所以＝≥，解得－16≤m≤4. 答案：　[－16,4] 16．在平面直角坐标系内，A(1,0)，B(2,0)，动点C在直线y＝x上，若圆M过A，B，C三点，则圆M面积的最小值为________． 解析：由圆的几何性质知，圆心在线段AB的中垂线上，故可设圆心坐标M，当圆M与直线y＝x相切，即圆心到y＝x的距离等于到A点距离时，圆M的面积最小， 所以＝， 解得a＝或a＝－. 当a＝时，M，圆M的半径为|MA|＝＝，圆M的面积为.当a＝－时，M，圆M的半径为|MA|＝＝，圆M的面积为，所以圆M面积的最小值为. 答案： 17．设O为坐标原点，动点M在椭圆E：＋＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ . (1)求点P的轨迹方程； (2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|＝2|AP|总成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x1，y1)，N(x1,0)，则＋＝1　①.由＝ 知即代入①得x2＋y2＝4.即点P的轨迹方程为x2＋y2＝4. (2)假设存在点B(m,0)满足条件，由|BP|＝2|AP|，得 ＝2，即3x2＋3y2＋(2m－8)x＝m2－4.此方程与x2＋y2＝4表示同一方程，故解得m＝4.所以存在点B(4,0)满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$