8.2 两条直线的位置关系（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第二节　两条直线的位置关系 课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. [系统主干知识] 1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2))的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2．直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点： 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． (2)两直线的位置关系与方程组解的关系： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3．距离公式 (1)两点间的距离公式： 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式： 平面上任意一点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式： 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. 4．五种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)； (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)； (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)； (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． [细作教材小题] 1．(北师大版选择性必修一P19·T2(1)改编)过点(－3,2)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　 ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋7＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋1＝0 答案：B 2．(人教A版选择性必修一P102·T1(3))与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(　 ) A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0 C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0 解析：选B　直线3x－4y＋5＝0的斜率是，与x轴交点为，因此它关于x轴对称的直线方程是y＝－，即3x＋4y＋5＝0. 3．(苏教版选择性必修一P31·T3改编)若三条直线2x＋3y＋8＝0，x＋y＋1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则实数k的值为(　 ) A．－2 B． C．2 D． 解析：选B　设三条直线交于一点P，则直线2x＋3y＋8＝0，x＋y＋1＝0交于点P，联立解得即P(5，－6)，直线x＋ky＝0过点P，即5－6k＝0，解得k＝. 4．(人教A版选择性必修一P79·T7改编)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________． 解析：因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝＝. 答案： 5．(人教B版选择性必修一P100·T2改编)已知点B(m,6)到直线y＝3x＋6的距离为3，则实数m的值为________． 答案：± 逐点清(一)　两条直线的平行与垂直 [例1]　已知p：直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋(a＋1)y－1＝0平行，q：a＝1，则p是q的(　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D　当直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋(a＋1)y－1＝0平行时，＝≠1，解得a＝－.当a＝1时，直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋(a＋1)y－1＝0重合，所以p是q的既不充分也不必要条件．故选D． [例2]　已知直线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：bx＋y＝0，且l1⊥l2，则a2＋b2的最小值为(　 ) A． B． C． D． 解析：选A　因为l1⊥l2，所以b＋a－1＝0，所以a＝1－b，所以a2＋b2＝(1－b)2＋b2＝4b2－2b＋1，易知当b＝时，a2＋b2取最小值.故选A． [例3]　经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线l的方程为____________． 解析：法一：由解得即直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点坐标为.因为直线l与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以直线l的斜率k＝，由直线的点斜式方程得直线l的方程为y－＝，即4x－3y＋9＝0. 法二：由题意可设直线l的方程为4x－3y＋m＝0，由解得代入4x－3y＋m＝0，可得m＝9，故直线l的方程为4x－3y＋9＝0. 法三：由题意可设直线l的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0　①，因为直线l与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，代入①式得直线l的方程为4x－3y＋9＝0. 答案：4x－3y＋9＝0 点拨·建模　 (1)充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1(斜率为k1)和l2(斜率为k2)，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.解题时一定要特别注意直线的斜率不存在的情况． (2)若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1. 逐点清(二)　两条直线的交点与距离 [例4]　(2024·烟台调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：选A　由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立，解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，由中点坐标公式得 解得k＝－. [例5]　(2024·九省考前适应性测试)已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则(　 ) A．E是一个半径为的圆 B．E是一条与l相交的直线 C．E上的点到l的距离均为 D．E是两条平行直线 解析：选C　设P(x，y)，Q(m，n)，则＝(x－m，y－n)＝(1，－3)，即m＝x－1，n＝y＋3，Q(x－1，y＋3)在x＋2y＋1＝0上，故x＋2y＋6＝0，可知E是一条与l平行的直线，E上的点到l的距离d＝＝. [例6]　若点M(a，b)为直线x－y＋3＝0上的动点，则a2＋(b＋1)2的最小值为________. 解析：a2＋(b＋1)2即为点M(a，b)到点(0，－1)的距离的平方，点M(a，b)为直线x－y＋3＝0上的动点，因为点(0，－1)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2，所以a2＋(b＋1)2的最小值为4. 答案：4 点拨·建模　 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等． (3)距离中的最值问题，常用的两个处理方法：一是利用图形的几何特点，如垂线段最短、三点共线的性质等确定动点的位置，从而求解距离的最值；二是建立函数关系，把距离问题转化为某个变量的函数表达式，然后利用函数求最值的方法进行求解，此时要注意自变量的范围． 逐点清(三)　对称问题 题点1　中心对称问题 [例7]　直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　 ) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 解析：选B　法一：设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为.因为点在直线3x－2y＝0上，所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0. 法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′，则O′，M′，所以所求直线方程为＝，即3x－2y－2＝0. |个性点拨|　关于中心对称问题的处理方法 (1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 (2)求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是： 题点2　轴对称问题 [例8]　将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝(　 ) A． B．10 C． D．5 解析：选A　若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，则坐标纸折叠一次的折痕是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线．∵点(0,2)与点(4,0)所确定线段的中点为(2,1)，两点连线的斜率为k＝＝－，∴其垂直平分线的斜率为2，则其垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线， 则解得∴m＋n＝. [例9]　光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________________． 解析：由得 ∴反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.而PP′的中点Q的坐标为，Q点在l上， ∴3·－2·＋7＝0. 由得 故根据两点式方程得反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0. 答案：29x－2y＋33＝0 |个性点拨|　 1．点关于直线对称的解题策略 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1，P2的直线垂直于l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． 2．直线关于直线对称的两种求解方法 (1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点的对称点，由点斜式求解． (2)若直线与对称轴相交，则先求交点，再取直线上一点，求出该点的对称点，最后求解． 题点3　对称问题的应用 [例10]　已知A(0,2)，B(6,6)两点，若x轴上存在点P，则|PA|＋|PB|的最小值为(　 ) A．8 B．10 C．12 D．14 解析：选B　作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，则点P即为所求．此时|PA|＋|PB|的值最小，即|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|，点A关于x轴的对称点A′的坐标为(0，－2)，又因为B(6,6)，则|A′B|＝＝10，所以|PA|＋|PB|的最小值为10. [例11]　已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ的周长的最小值为(　 ) A．3 B．4 C．3 D．4 解析：选D　设点M(3,5)关于直线l：x－2y＋2＝0的对称点为M1(x，y)，则有⇒M1(5,1)， 点M(3,5)关于y轴的对称点为M2(－3,5)，如图所示，当M2，Q，P，M1四点共线时，△MPQ的周长最小，最小值为|M2M1|＝ ＝4. |个性点拨|　 利用轴对称解决最短距离问题是解析几何中的常见问题，其主要借助原理：两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，垂线段最短来解决问题． 逐点验收(一)　两条直线的位置关系 1．[多选]已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则(　 ) A．若l1⊥l2，则＝－4 B．若l1∥l2，则ab＝3 C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a＝± D．当b<0时，l2不经过第一象限 解析：选BCD　当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误； 当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3，故B正确； 对于直线l1，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S＝××＝1，解得a＝±，故C正确； 由题意知，当b<0时，l2：y＝x＋的斜率<0，在y轴上的截距<0，所以直线过第二、三、四象限，故D正确． 2．两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　 ) A．(5，＋∞) B．(0,5] C．(，＋∞) D．(0， ] 解析：选D　当PQ与l1，l2垂直时，|PQ|为l1，l2间的距离的最大值，又|PQ|＝＝，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0，]．故选D． 3．(2024·哈尔滨模拟)[多选]已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为(　 ) A．y＝1 B．x＝3 C．y＝0 D．x＝2 解析：选AB　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时l与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，且设直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B．联立得A；联立得B.由|AB|＝5，得2＋2＝52， 解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1. 综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1. 4．在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(4,0)，若直线x＋my－1＝0(m＞0)上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则m的最小值是(　 ) A． B．3 C． D． 解析：选D　设P(1－my，y)，由|PA|＝2|PB|，得(1－my－1)2＋y2＝4×[(1－my－4)2＋y2]，即(m2＋1)y2＋8my＋12＝0，则Δ＝64m2－48(m2＋1)≥0，解得m≥，故m的最小值为.故选D． 逐点验收(二)　对称问题 5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　 ) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) 解析：选B　由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可得直线l2所过定点为(0,2)，故选B． 6．一条光线从P(6,4)射出，经直线y＝x－1后反射，反射光线经过点Q(2,0)，则反射光线所在直线方程为(　 ) A．3x－5y＋2＝0 B．5x－3y－10＝0 C．5x＋3y－10＝0 D．3x－5y－6＝0 解析：选B　设P关于y＝x－1的对称点为P1(a，b)，则有＝－1，＝－1，解得a＝5，b＝5，即P1(5,5)，反射光线所在直线为P1Q：＝，整理得5x－3y－10＝0. 7．已知点A(－3,8)和B(2,2)，在x轴上存在一点M，使得|AM|＋|BM|最小，则点M的坐标为(　 ) A．(－1,0) B． C． D．(1,0) 解析：选D　找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴交于M点，连接BM，此时|AM|＋|BM|最短，由B与B′关于x轴对称，B(2,2)，得B′(2，－2)．又A(－3,8)，则直线AB′的方程为y＋2＝(x－2)，化简得y＝－2x＋2，令y＝0，解得x＝1，所以M(1,0)．故选D． 8．若直线l与直线2x－y－2＝0关于直线x＋y－4＝0对称，则直线l的方程为______________． 解析：由得即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x－y－2＝0上取一点A(1,0)，设点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(a，b)，则解得即点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l的方程为＝，整理得x－2y＋2＝0. 答案：x－2y＋2＝0 细节、微点提醒 1．谨防4个易错点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． (3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (4)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 2．几个常见的直线系方程 (1)若所求直线过点P(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0平行，则所求直线的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)若所求直线过点P(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0垂直，则所求直线的方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，这个方程可以表示l1，但不能表示l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程． [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为(　 ) A．(0,1) B．(0，－1) C．(1,0) D．(－1,0) 答案：C 2．(2024·杭州模拟)点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(　 ) A．(1,0) B．(0,1) C．(0，－1) D．(2,1) 解析：选B　设点A(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)，则有解得a＝0，b＝1，故点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0,1)．故选B． 3．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　 ) A．1 B． C． D．2 解析：选B　由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)距离最大，即为|AP|＝. 4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　 ) A．2 B．2 C．2 D．4 解析：选B　因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为＝，3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝，于是有＝⇒|c1－c2|＝2. 5．(2024·连云港统考)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的(　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3，其中λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立．故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件． 6．(2024·赤峰模拟)已知直线mx＋4y－2＝0与直线4x－2y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p等于(　 ) A．6 B．2 C．－2 D．－6 解析：选A　因为直线mx＋4y－2＝0与直线4x－2y＋n＝0互相垂直，所以m×4＋4×(－2)＝0，解得m＝2，所以原直线mx＋4y－2＝0为2x＋4y－2＝0.又因为垂足(1，p)在两直线上，所以代入得解得所以m－n＋p＝2＋4＋0＝6. 7．[多选]已知直线l1：4x＋3y－2＝0，l2：(m＋2)x＋(m－1)y－5m－1＝0(m∈R)，则(　 ) A．直线l2过定点(2,3) B．当m＝10时，l1∥l2 C．当m＝－1时，l1⊥l2 D．当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为3 解析：选ABD　l2：(m＋2)x＋(m－1)y－5m－1＝0(m∈R)变形为m(x＋y－5)＋2x－y－1＝0， 由 得因此直线l2过定点(2,3)，故A正确；当m＝10时，l1：4x＋3y－2＝0，l2：12x＋9y－51＝0，所以＝≠，故两直线平行，故B正确；当m＝－1时，l1：4x＋3y－2＝0，l2：x－2y＋4＝0，因为4×1＋3×(－2)≠0，故两直线不垂直，故C错误；当l1∥l2时，则满足＝≠，解得m＝10，此时l1：4x＋3y－2＝0，l2：12x＋9y－51＝0，即4x＋3y－17＝0，则两直线间的距离为＝3，故D正确． 8．(2024·茂名月考)一条与直线2y＋3＝0平行且距离大于的直线方程为________． 解析：由题意，令平行于2y＋3＝0的直线为y＝k，则距离大于的直线方程有y＝6. 答案：y＝6(答案不唯一) 9．(2024·绍兴模拟)已知直线l：3x＋4y－1＝0，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是____________，点(2,0)到l的距离是________． 解析：直线l：3x＋4y－1＝0的斜率为k＝－，所以可设与l垂直的直线方程为4x－3y＋c＝0，把(0,0)代入，求得c＝0，所以过坐标原点且与l垂直的直线方程是4x－3y＝0.点(2,0)到l的距离d＝＝1. 答案：4x－3y＝0　1 10．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为________． 解析：设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得故BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)． 答案：(2,4) 11．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值． (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． 解：(1)因为l2可化为2x－y－＝0， 所以l1与l2的距离d＝＝. 因为a>0，所以a＝3. (2)设存在点P(x0，y0)满足条件，则由条件②可知点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上． 且＝·，即c＝或c＝. 所以满足条件②的点满足2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有＝·， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不成立． 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，解得(舍去)，联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，解得 所以P即为同时满足条件的点． 12．已知直线的方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0. (1)当m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？ (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程． 解：(1)直线方程可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0，对任意m都成立，故解得则直线过定点P(－1，－2)．由点Q(3,4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，即＝2为最大值． 因为kPQ＝＝，所以(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0的斜率为－，可得－＝－，解得m＝.故当m＝时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为2. (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，k<0，则A，B(0，k－2)，所以S△AOB＝|k－2|＝(k－2)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当k＝－2时取等号，所以△AOB的面积的最小值为4.此时直线的方程为2x＋y＋4＝0. 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．(2024·东北师大附中模拟)直线l的方程为(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为(　 ) A．－1 B．－5 C．1 D．5 解析：选B　直线方程(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)可化为λ(x＋y－3)＋(2x－y)＝0，由解得所以直线(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)过定点A(1,2)，当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，且kOA＝2.又因为直线l的斜率为k＝－＝－，解得λ＝－5. 14．(2024·河南校联考模拟)已知A(－1,3)，B(3,1)，从点(m,2)处射出的光线经x轴反射后，反射光线与AB平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数m＝________. 解析：因为kAB＝＝－，故可设反射光线的方程为x＋2y＋C＝0. 因为点B到该直线的距离为，故＝，解得C＝0或C＝－10. 当C＝0时，反射光线的方程为x＋2y＝0，点(m,2)关于x轴对称的点坐标为(m，－2)，显然点(m，－2)在反射光线上，把点(m，－2)代入方程得m－4＝0，故m＝4； 当C＝－10时，反射光线的方程为x＋2y－10＝0，将点(m，－2)代入方程解得m＝14.综上，m＝4或m＝14. 答案：4或14 15．(2024·湘潭调研)已知点M(1,0)，N(2,0)，点P在直线2x－y－1＝0上移动，则|PM|2＋|PN|2的最小值为_______，|PM|＋|PN|的最小值为_______． 解析：∵点P在直线2x－y－1＝0上，∴可设点P的坐标为(a,2a－1)，∴|PM|2＋|PN|2＝(a－1)2＋(2a－1)2＋(a－2)2＋(2a－1)2＝10a2－14a＋7＝102＋，∴|PM|2＋|PN|2的最小值为.设点M′(x，y)和点M关于直线2x－y－1＝0对称，则|PM|＋|PN|＝|PM′|＋|PN|，当M′，P，N三点共线时，|PM′|＋|PN|最小，此时|PM|＋|PN|＝|M′N|，由 解得即M′. ∴|M′N|＝＝， 即|PM|＋|PN|的最小值为. 答案：　 16．已知在△ABC中，点B(3,7)，∠C的角平分线为l1：x－7y＋21＝0，BC边上的中线所在的直线为l2：2x＋y－8＝0，求边AC所在直线l的一般式方程． 解：设C(a，b)，因为C在角平分线l1上， 所以a－7b＋21＝0　①， 因为BC的中点M在中线l2上， 所以2×＋－8＝0　②， 联立①②解得a＝0，b＝3，所以C(0,3)．设B点关于角平分线l1的对称点为N(m，n)，因为BN⊥l1， 所以·＝－1　③， 因为BN的中点在l1上， 所以－7×＋21＝0　④， 联立③④解得m＝4，n＝0，所以N(4,0)， l即为lNC：＋＝1，化简得3x＋4y－12＝0， 所以l：3x＋4y－12＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$