8.1 直线的方程（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第八章　解析几何 第一节　直线的方程 课标要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式点斜式、两点式及一般式. [系统主干知识] 1．直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． 2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式： 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. (3)直线的方向向量的坐标： 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.特别地，(1，k)是l的一个方向向量． 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 [细作教材小题] 1．(苏教版选择性必修一P13·T2)直线y＝k(x＋1)(k>0)可能是(　 ) 解析：选B　因为k>0，所以A、C错误；当x＝－1时，y＝0，故B正确． 2．(人教A版选择性必修一P102·T1(2))设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　 ) A．[0，π] B． C． D．∪ 解析：选C　当sin θ＝0时，方程为x＝－2，倾斜角为.当sin θ≠0时，直线的斜率k＝tan α＝，所以tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即α∈∪.综上，α∈. 3．(人教B版选择性必修一P81·例4改编)已知直线l通过点A(0,1)与B(1,1－)，则直线l的一个方向向量为________，倾斜角为________． 解析：由已知可得＝(1,1－)－(0,1)＝(1，－)，是直线l的一个方向向量．因此，直线的斜率k＝＝－，直线的倾斜角θ满足tan θ＝－，0°≤θ<180°，从而可知θ＝120°. 答案：(1，－)　120° 4．(人教A版选择性必修一P58·T7改编)过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的值为________． 解析：∵过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°，∴＝＝1，解得m＝－2. 答案：－2 5．(北师大版选择性必修一P13·T3(2)改编)已知直线l经过点A(1,2)，且在x，y轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________． 解析：若直线l经过原点，则方程为y＝2x；若直线l不经过原点，设方程为＋＝1，故＋＝1，解得a＝3，所以方程为x＋y－3＝0. 答案：y＝2x或x＋y－3＝0 逐点清(一)　直线的倾斜角与斜率 [例1]　直线3xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　 ) A．∪ B．∪ C． D．∪ 解析：选B　由3xcos α＋y＋2＝0，得y＝－x·cos α－，所以直线的斜率k＝－cos α∈.令直线的倾斜角为θ，则tan θ＝k∈，因为θ∈[0，π)，所以θ∈∪. [例2]　若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　 ) A．[－，1]　　　　 B．(－∞，－]∪[1，＋∞) C． D．∪[1，＋∞) 解析：选B　如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝－；当直线l过点A时， 设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1.所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)． 点拨·建模　 (1)求倾斜角α的取值范围的一般步骤： ①求出斜率k＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况； ②利用正切函数的单调性，借助函数图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围． (2)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，此时直线垂直于x轴． 逐点清(二)　直线方程 [例3]　已知直线过点(2, 1)，且横截距a、纵截距b满足a＝2b，则该直线的方程为(　 ) A．2x＋y－5＝0 B．x＋2y－4＝0 C．x－2y＝0或x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0或2x＋y－5＝0 解析：选C　当截距为0时，设直线的方程为y＝kx，因为直线过点(2,1)，所以1＝2k，即k＝，则直线方程为y＝x，即x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，因为直线过点(2,1)，所以＋＝1，则b＝2，所以直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.综上，直线的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. [例4]　已知A(3,2)，B(－2,3)，C(4,5)，则△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为(　 ) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x＋y－5＝0 D．x－y－5＝0 解析：选C　法一：根据题意，设BC的中点为D，因为B(－2,3)，C(4,5)，所以点D的坐标为(1,4)．又A(3,2)，所以kAD＝－1，故△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋y－5＝0. 法二：根据题意，设BC的中点为D，因为B(－2，3)，C(4,5)，所以点D的坐标为(1,4)．又A(3,2)，所以AD所在直线的方程为＝，即x＋y－5＝0. 点拨·建模　求直线方程的方法 直接法 根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程 待定系数法 先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程 逐点清(三)　直线方程的综合应用 [例5]　已知直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)． (1)求证：直线l经过一个定点； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 解：(1)证明：直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)，可化为y＝k(x＋4)＋2，故直线l过定点(－4,2)． (2)由(1)得直线l过定点(－4,2)， 又直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，则k>0. 令x＝0，得y＝2＋4k，所以B(0,2＋4k)， 令y＝0，得x＝－＝－－4，所以A， 所以S＝××(2＋4k)＝×(1＋2k)＝8＋＋8k≥8＋2＝16，当且仅当＝8k，即k＝时等号成立，所以S的最小值为16，此时直线l的方程是y＝(x＋4)＋2，即x－2y＋8＝0. 点拨·建模　 与直线方程有关的最值、范围问题的解题方法 (1)求参数的值或范围，注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． (2)求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求解最值． (3)求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决问题． 逐点验收(一)　直线的倾斜角与斜率 1．[多选]如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　 ) A．k1<k3<k2 B．k3<k2<k1 C．α1<α3<α2 D．α3<α2<α1 解析：选AD　因为直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图得k2>k3>0，k1<0，故>α2>α3>0，且α1为钝角，故选AD． 2．已知θ∈，若直线l：y＝kx过点(cos θ，cos θ)，则l的倾斜角为(　 ) A． B． C．θ D．θ－π 解析：选A　l：y＝kx斜率存在，设直线l的倾斜角为α，则0°≤α<180°，α≠90°.由题意θ∈，故cos θ≠0，则k＝＝1＝tan α，故l的倾斜角为. 3．已知两点A(2，－3)，B(－3,2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　 ) A． B．(－∞，－4]∪ C． D． 解析：选B　结合图形，由题意得，所求直线的斜率k满足k≥kPB或k≤kPA，即k≥－或k≤－4，即直线的斜率k的取值范围是(－∞，－4]∪. 逐点验收(二)　直线方程 4．[多选]下列说法正确的是(　 ) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限 B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2) C．过点(2，－1)且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) D．斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y＝－2x±3 解析：选ABC　由直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，得直线的斜率k<0，截距b>0，故点(k，b)在第二象限，所以A正确；由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值，点(3,2)都满足方程，所以B正确；由点斜式方程，可知过点(2，－1)且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以C正确；由斜截式方程得到斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误． 5．已知直线l的一个方向向量n＝(－1,2)，且过点(－1,2)，则直线l的方程为(　 ) A．2x＋y＝0 B．x－2y＋5＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y＋4＝0 解析：选A　因为直线l的一个方向向量n＝(－1，2)，所以直线l的斜率为－2.又直线经过点(－1,2)，所以直线l的方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0. 6．若过点(－3,0)的直线l1的倾斜角是直线l2：x－2y＋a＝0倾斜角的两倍，则直线l1的方程为________． 解析：设直线l2的倾斜角为α，由题意得α为锐角，设直线l1的倾斜角为2α，因为直线l2的方程为x－2y＋a＝0，所以k2＝tan α＝，所以k1＝tan 2α＝＝2.因为直线l1过点(－3,0)，所以直线l1的方程为y－0＝2(x＋3)，即2x－y＋6＝0. 答案：2x－y＋6＝0 逐点验收(三)　直线方程的综合应用 7．若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　 ) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞) C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪ 解析：选C　若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限．若a＝2，则l的方程为y＝－，经过第四象限．若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－x－，因为l经过第四象限，所以－<0或解得a<0或<a<2或a>2.综上，a的取值范围为(－∞，0)∪. 8．已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为________． 解析：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，且＋＝1，则a＋b＝ab，所以|MA|2＋|MB|2＝(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2＝4＋a2＋b2－2(a＋b)＝4＋a2＋b2－2ab＝4＋(a－b)2≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 9．已知直线x＋ky－2－k＝0恒过定点A，则A点的坐标为________；若点A在直线mx－y＋n＝0(m，n＞0)上，则＋的最小值为________． 解析：将直线方程变形得x－2＋k(y－1)＝0， 由解得定点A的坐标为(2,1)． 由于点A在直线mx－y＋n＝0上， 则有2m－1＋n＝0，所以2m＋n＝1. 所以＋＝(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即n＝m时等号成立． 答案：(2,1)　3＋2 细节、微点提醒 1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．求直线方程时的注意点 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在； (2)应用截距式时，要注意“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论； (3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. [课时跟踪检测] 1．直线x＝2 024的倾斜角为(　 ) A．0 B． C． D．不存在 解析：选C　直线x＝2 024与x轴垂直，则直线x＝2 024的倾斜角为. 2．已知直线3x－my＋1＝0的倾斜角为60°，则实数m的值为(　 ) A．－ B． C． D．－ 解析：选B　由题意可知m≠0，故直线斜率k＝＝tan 60°＝，则m＝. 3．已知A(1，－3)，B，C(9，λ)，且A，B，C三点共线，则λ＝(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝，解得λ＝1. 4．若直线l的方程y＝－x－中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　由y＝－x－，ab>0，ac<0，知直线l的斜率k＝－<0，在y轴上的截距－>0，所以此直线必不经过第三象限． 5．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　 ) A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0 解析：选D　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan(α＋45°)＝＝－3，又点M(2，0)，所以直线方程为y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0. 6．[多选]直线l：＋＝1中，已知a>0，b>0.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对(a，b)可以是(　 ) A．(3,8) B．(1,9) C．(7,4) D．(5,3) 解析：选AC　因为a>0，b>0，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝ab，则ab≥10，得ab≥20，结合选项可知，(3,8)，(7,4)满足题意． 7．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　 ) A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 解析：选C　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线．又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C． 8．[多选]已知直线l过点P(3,2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(　 ) A．直线l的方程为x－3y＋3＝0 B．直线l与直线l1的倾斜角互补 C．直线l在y轴上的截距为1 D．这样的直线l有两条 解析：选ABC　因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为y－2＝(x－3)，即l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3,2)且斜率为的直线只有一条，故D错误．故选ABC． 9．若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为(　 ) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：选D　直线倾斜角为45°时，斜率为1，直线倾斜角为135°时，斜率为－1，当倾斜角为90°时，斜率不存在．因为k＝tan α在上单调递增，在上单调递增，所以当45°≤α≤135°时，k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 10．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　 ) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0 解析：选A　易知A(－1,0)．∵|PA|＝|PB|， ∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，∴B(5,0)．∵PA，PB关于直线x＝2对称，∴kPB＝－1.∴lPB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 11．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则＋的最小值为(　 ) A．2 B．4 C．8 D．6 解析：选B　由直线kx－y＋2k－1＝0整理得y＋1＝k(x＋2)，直线恒过定点A，即A(－2，－1)．因为点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，所以2m＋n＝2，整理得m＋＝1.由于m，n均为正数，则＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当n＝2m，即m＝，n＝1时等号成立．故＋的最小值为4. 12．若点(k,0)与(b,0)的中点为(－3,0)，则直线y＝kx＋b必经过定点________． 解析：由题意得＝－3，则b＝－k－6，所以直线方程为y＝kx＋b＝kx－6－k＝k(x－1)－6，所以直线必经过定点(1，－6)． 答案：(1，－6) 13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________． 解析：设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tan α，则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋，其斜率为tan.依题意知tan＝2，即＝2，∴tan α＝，∴正方形一边所在直线的斜率k＝，则相邻一边所在直线的斜率为－3. 答案：，－3 14．已知直线l与直线y＋3＝x的斜率相等，直线l与x轴的交点为(a,0)，且a比直线l在y轴上的截距大1，则直线l的斜截式方程为________． 解析：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，令y＝0，得x＝a＝－b，所以－b－b＝1，得b＝－，所以直线l的斜截式方程为y＝x－. 答案：y＝x－ 15．过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，则使|PA|·|PB|的值最小时直线l的方程为________________． 解析：如图所示，设∠BAO＝θ，0°<θ<90°， |PA|＝，|PB|＝，∴|PA|·|PB|＝＝，∴2θ＝90°，即θ＝45°时，|PA|·|PB|取最小值，此时，直线的倾斜角为135°，斜率为－1，∴直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 学科网（北京）股份有限公司 $$