3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第三章　一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 课标要求 1.能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数限于形如y＝fax＋b的导数. [系统主干知识] 1．导数的概念 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4．导数的运算法则 加减 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 积 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，[cf(x)]′＝cf′(x) 商 ′＝(g(x)≠0) 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [细作教材小题] 1．(人教A版选择性必修二P76·例3改编)若函数f(x)＝2x＋cos x，则(　 ) A．f′(x)＝2x＋sin x B．f′(x)＝2x－sin x C．f′(x)＝2xln 2＋sin x D．f′(x)＝2xln 2－sin x 解析：选D　因为函数f(x)＝2x＋cos x，则f′(x)＝2xln 2－sin x. 2．(苏教版选择性必修一P231·T9)对于函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则实数x0的值为(　 ) A．e2 B．e C. D．ln 2 解析：选B　f(x)＝xln x⇒f′(x)＝ln x＋1，因为f′(x0)＝2，所以ln x0＋1＝2⇒ln x0＝1⇒x0＝e. 3．(人教A版选择性必修二P75·T4改编)曲线y＝x在点(4,2)处的切线方程为__________． 解析：因为y′＝x－，所以y′|x＝4＝，曲线y＝x在点(4,2)处的切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0. 答案：x－4y＋4＝0 4．(人教A版选择性必修二P81·T6改编)已知函数f(x)满足f(x)＝f′cos x－sin x，则f′＝________. 解析：f′(x)＝－f′sin x－cos x，令x＝，得f′＝－f′－，解得f′＝1－. 答案：1－ 逐点清(一)　导数的运算 [例1]　(2024·济南质检)[多选]下列求导运算正确的是(　 ) A.′＝－ B．(x2ex)′＝2x＋ex C.′＝－sin D.′＝1＋ 解析：选AD　′＝－·(ln x)′＝－，故A正确；(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；′＝－2sin，故C错误；′＝1＋，故D正确． [例2]　已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________. 解析：因为f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，所以f′(x)＝＋ae－x－axe－x，所以f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2. 答案：e2 点拨·建模　导数运算的3个关键点 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 逐点清(二)　导数的几何意义 题点1　求曲线的切线方程 [例3]　(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　 ) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 解析：选C　由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C. [例4]　(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________. 解析：先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x. 答案：y＝x　y＝－x 个性点拨　与切线有关的问题的处理策略 (1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解． ①当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ②当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出曲线在点P′(x1，f(x1))处的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 题点2　求参数的值(范围) [例5]　若曲线y＝ax＋bln x在点A(1,2)处的切线在y轴上的截距为1，则b＝(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选A　因为点A(1,2)在曲线y＝ax＋bln x上，所以2＝a×1＋bln 1，得a＝2.因为y′＝a＋，所以该曲线在点A处的切线斜率k＝2＋b，所以切线方程为y－2＝(2＋b)(x－1)．令x＝0，则y＝－b＝1，故b＝－1. [例6]　函数f(x)＝x－aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围是(　 ) A．(1,6) B．(1,3) C．(3,4) D．(4,6) 解析：选C　设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，则k＝f′(x0)＝1－，当a≤0时，k＝1－>0，故不存在k1k2＝－1；当a>0时，满足 所以3<a<4. 个性点拨　利用导数的几何意义求参数的基本方法 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程(组)或不等式(组)求解，其关键点：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上，故满足切线方程；③切点在曲线上，故满足曲线方程；④注意曲线上点的横坐标的取值范围． 逐点清(三)　两曲线的公切线 [例7]　已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(　 ) A．2 B．5 C．1 D．0 解析：选C　设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋m，得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a.由g(x)＝－3ln x－x，得g′(x)＝－－1，则切线的斜率为k＝g′(a)＝－－1.因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－(舍去)．又g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1. [例8]　若直线l与曲线Γ1：y＝ex＋1、曲线Γ2：y＝3＋ln x都相切，则直线l的方程为______________． 解析：由y＝ex＋1得y′＝ex，设切点为(x1，e＋1)，所以切线的斜率为e，则直线l的方程为y－(e＋1)＝e(x－x1)，即y＝ex－x1e＋e＋1.由y＝3＋ln x得y′＝，设切点为(x2,3＋ln x2)，所以切线的斜率为，则直线l的方程为y＝x＋ln x2＋2，所以e＝，且－x1e＋e＋1＝ln x2＋2.消去x2得(x1－1)(e－1)＝0，故x1＝1或x1＝0，所以直线l的方程为y＝ex＋1或y＝x＋2. 答案：y＝ex＋1或y＝x＋2 点拨·建模　公切线问题的解题策略 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 逐点验收(一)　导数的运算 1．[多选]下列求导运算正确的是(　 ) A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3) B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1 C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1 解析：选ACD　因为f(x)＝sin(2x＋3)，所以f′(x)＝2cos(2x＋3)，故A正确；因为f(x)＝e－2x＋1，所以f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误； 因为f(x)＝，所以f′(x)＝，故C正确； 因为f(x)＝xln x，所以f′(x)＝ln x＋1，故D正确． 2．若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(1)ln x＋x，则f(e)＝(　 ) A．0 B．－1 C．－2＋e D．－2 解析：选C　由f(x)＝2f′(1)ln x＋x，得f′(x)＝＋1，令x＝1，则f′(1)＝＋1，解得f′(1)＝－1，所以f(x)＝－2ln x＋x，f(e)＝－2＋e.故选C. 3．设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________. 解析：由函数的解析式可得f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，据此可得＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1. 答案：1 逐点验收(二)　导数的几何意义 4．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为(　 ) A．y＝5x＋2 B．y＝5x－2 C．y＝－5x－2 D．y＝－5x＋2 解析：选A　∵y′＝＝，∴所求切线斜率k＝＝5，∴所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2. 5．(2023·邯郸二模)已知直线y＝x是曲线f(x)＝ln x＋a的切线，则a＝(　 ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选B　由函数f(x)＝ln x＋a，求导得f′(x)＝，令直线y＝x与曲线f(x)＝ln x＋a的切点为(x0，ln x0＋a)，于是＝1，且ln x0＋a＝x0，所以a＝x0＝1.故选B. 6．已知函数f(x)＝ln x＋x，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，则切点P的坐标为(　 ) A．(1,1) B．(e，e＋1) C. D．(e2，e2＋2) 解析：选B　由题意可知f′(x)＝＋1，设切点为P(x0，ln x0＋x0)，则切线方程为y＝(x－x0)＋ln x0＋x0，因为切线过原点，所以0＝(－x0)＋ln x0＋x0＝ln x0－1，解得x0＝e，则P(e，e＋1)． 7．已知过点A(a,0)可作两条不同的直线与曲线C：f(x)＝xex相切，则实数a的取值范围是________． 解析：由f(x)＝xex⇒f′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为(x0，x0e)，所以切线的斜率为f′(x0)＝(x0＋1)e，切线方程为y－x0e＝(x0＋1)e(x－x0)．切线过点A(a,0)，所以0－x0e＝(x0＋1)e(a－x0)，化简得x－ax0－a＝0.因为过点A(a,0)可作两条不同的直线与曲线C：f(x)＝xex相切，所以关于x0的方程x－ax0－a＝0有两个不同的实数根，所以该方程的判别式Δ＝(－a)2＋4a>0⇒a>0或a<－4，因此实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 逐点验收(三)　两曲线的公切线 8．(2024·齐齐哈尔联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(　 ) A．1 B. C．1－ln 2 D．1－2ln 2 解析：选C　设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))，则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)．化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，依题意，得解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.故选C. 9．已知曲线y＝aln x和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________________． 解析：设曲线g(x)＝aln x和曲线f(x)＝x2在公共点(x0，y0)处的切线相同，则f′(x)＝2x，g′(x)＝，由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即解得a＝2e，x0＝，故切点为(，e)，切线斜率为k＝f′(x0)＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－)，即2x－y－e＝0. 答案：2x－y－e＝0 细节、微点提醒 1．明确两点不同 区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2．谨防两个易误 (1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误． (2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．函数y＝exln x的导数是(　 ) A. B．exln x C．exln x＋ D．eexln x 解析：选C　y′＝(ex)′·ln x＋ex·(ln x)′＝exln x＋.故选C. 2．(2024·上饶模拟)设f(x)为可导函数，且 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　 ) A．2 B．－1 C．1 D．－ 解析：选D　由导数的几何意义，点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)，因为Δx→0时，→－1，所以f′(1)＝ ＝＝－，所以在点(1，f(1))处的切线斜率为－，故选D. 3．已知曲线y＝x＋kln(1＋x)在x＝1处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则k的值为(　 ) A．4 B．2 C．－3 D．－6 解析：选B　因为y′＝1＋，可得y′|x＝1＝1＋，即曲线y＝x＋kln(1＋x)在x＝1处的切线斜率为1＋，且直线x＋2y＝0的斜率为－，由题意可得－＝－1，解得k＝2.故选B. 4．直线l与两条曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为(　 ) A． B．1 C．2 D．e 解析：选B　由y＝ex＋1，得y′＝ex.由y＝ex＋1，得y′＝ex＋1.设两个切点分别为(x1，e＋1)和(x2，e＋1)，直线l的斜率k＝e＝e＋1，故x1＝x2＋1，因为x1≠x2，所以k＝＝＝1，即直线l的斜率为1. 5．[多选]若直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，则曲线y＝f(x)的方程可以是(　 ) A．f(x)＝x3＋2x2＋8 B．f(x)＝tan x C．f(x)＝e D．f(x)＝ln 解析：选AC　因为直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，所以y＝f(x)在某点处的导数值为.由f(x)＝x3＋2x2＋8，得f′(x)＝3x2＋4x，令f′(x)＝3x2＋4x＝，即6x2＋8x－1＝0，因为Δ＝82－4×6×(－1)>0，所以f′(x)＝有解，故A正确．由f(x)＝tan x，得f′(x)＝，令f′(x)＝＝，可得cos2x＝2，无解，故B不正确．由f(x)＝e，得f′(x)＝e>0，故f′(x)＝有解，故C正确．f(x)＝ln的定义域为，令f′(x)＝－＝，可得x＝－，不符合x>－，所以f′(x)＝无解，故D不正确． 6．已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有(　 ) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：选C　根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k1＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋em(1－m)－1.对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则k2＝，则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，即y＝x＋ln n．直线l是f(x)与g(x)的公切线，则可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条． 7．已知a，b为正实数，直线y＝x－2a与曲线y＝ln(x＋b)相切，则＋的最小值是(　 ) A．6 B．4 C．8 D．2 解析：选C　设切点为(m，n)，由y＝ln(x＋b)得y′＝，由题意可得＝1，n＝m－2a，n＝ln(m＋b)，解得n＝0，m＝2a，即有2a＋b＝1.因为a，b为正实数，所以＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当2a＝b＝时取等号，故＋的最小值为8.故选C. 8．(2023·大庆三模)曲线f(x)＝ln x＋在点(1,2)处的切线方程为____________． 解析：因为f(x)＝ln x＋，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝－，故f′(1)＝－1，曲线f(x)＝ln x＋在点(1,2)处的切线方程为y－2＝－1(x－1)，即x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 9．若直线y＝－3x＋与曲线f(x)＝e－3x＋a相切，则a＝________. 解析：依题意，设切点为(x0，e－3x0＋a)，则e－3x0＋a＝－3x0＋.由f(x)＝e－3x＋a，求导得f′(x)＝－3e－3x＋a，于是－3e－3x0＋a＝－3，解得－3x0＋a＝0，从而x0＝－，则a＝－. 答案：－ 10．(2024·齐齐哈尔一模)已知曲线C1：y＝x2＋ax－2a2在x＝t处的切线为l1，曲线C2：y＝ln x在x＝t处的切线为l2，若存在实数t使得l1与l2的倾斜角互补，则实数a的取值范围为__________． 解析：由曲线C1可得y′＝2x＋a，由曲线C2可得y′＝，由导数的几何意义可得直线l1的斜率为2t＋a，直线l2的斜率为，若存在实数t使得l1与l2的倾斜角互补，则方程2t＋a＝－，即2t2＋at＋1＝0存在正根，所以 解得a≤－2. 答案：(－∞，－2] 11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2. (1)求x<0时，f(x)的表达式； (2)令g(x)＝ln x，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2. 所以当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x2. (2)若f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行， 则f′(x0)＝g′(x0)，当x>0时，f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，解得x0＝(舍负)．故存在x0＝满足条件． 12．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．函数f(x)＝x3＋(a－1)x2－x＋b为R上的奇函数，过点P作曲线y＝f(x)的切线，可作切线条数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．不确定 解析：选A　f(－x)＝－x3＋(a－1)x2＋x＋b＝－f(x)＝－x3－(a－1)x2＋x－b，故a＝1，b＝0，f(x)＝x3－x，f′(x)＝3x2－1.设切点为M(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－1＝，且f(x0)＝x－x0＝y0，整理得(x0＋1)(4x－x0＋1)＝0，解得x0＝－1，f′(－1)＝2，切线方程为y＝2x＋2，故可作切线条数为1. 14．[多选]已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值可能为(　 ) A. B．3 C. D. 解析：选AC　f′(x)＝2x2－2x＋a，因为曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的不同切线，所以f′(x)＝3有两个不相等的实数根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0.① 设两切点的横坐标分别为x1，x2， 因为切点的横坐标都大于零，所以x1>0，x2>0，所以② 联立①②解得3<a<，故选AC. 15．(2024·南通模拟)已知直线l分别与曲线f(x)＝ln x，g(x)＝ex相切于点(x1，ln x1)，(x2，ex2)，则－的值为________． 解析：由f(x)＝ln x，g(x)＝ex，得f′(x)＝，g′(x)＝ex，f(x)在点(x1，ln x1)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，g(x)在点(x2，ex2)处的切线方程为y－ex2＝ex2(x－x2)，则有得ln x1－1＝ln e－x2－1＝－x2－1＝ex2 (1－x2)， 所以ex2＝＝＝＝1－＝1＋，可得－＝1. 答案：1 16．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线． (1)若x1＝－1，求a； (2)求a的取值范围． 解：(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0， 所以切点坐标为(－1,0)． 由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1， 所以切线斜率k＝f′(－1)＝2， 所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2. 将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0. 由切线与曲线y＝g(x)相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3. (2)由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(x1)＝3x－1，所以切线方程为y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)， 即y＝(3x－1)x－2x. 将y＝(3x－1)x－2x代入y＝x2＋a， 得x2－(3x－1)x＋a＋2x＝0. 由切线与曲线y＝g(x)相切， 得Δ＝(3x－1)2－4(a＋2x)＝0， 整理，得4a＝9x－8x－6x＋1. 令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1， 则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)， 由h′(x)＝0，得x＝－，0,1， h(x)，h′(x)随x的变化如下表所示： x － 0 (0,1) 1 (1，＋∞) h′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ h(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由上表知，当x＝－时，h(x)取得极小值h＝， 当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4， 易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)， 所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)， 故实数a的取值范围为[－1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$