2.10 函数零点的应用（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第十节　函数零点的应用 逐点清(一)　已知函数零点求参数范围 [例1]　已知函数f(x)＝恰有2个零点，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－1,3]∪(5，＋∞) B．[－1,3)∪[5，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(5，＋∞) 解析：选A　作出函数y＝x－5和y＝x2－2x－3的图象如图所示．方程x－5＝0的解为x＝5，方程x2－2x－3＝0的解为x＝－1或x＝3.①当m>5时，函数f(x)恰有2个零点－1,3；②当－1<m≤3时，函数f(x)恰有2个零点－1,5.故实数m的取值范围是(－1,3]∪(5，＋∞)．故选A. [例2]　若函数f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围是(　 ) A. B．(－e，＋∞) C. D．(－∞，e) 解析：选D　由题意知，函数y＝e－x与g(x)＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．当a＞0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象可知此时只需要g(0)＝ln a＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝ln x的图象向右平移－a个单位长度得到的，此时在(0，＋∞)上y＝e－x与g(x)的图象恒有交点，满足条件．综上，a＜e，即实数a的取值范围是(－∞，e)．故选D. 点拨·建模 已知函数零点求参数范围的常用方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围 分离参数法 将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决 数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 逐点清(二)　函数零点的和、积问题 [例3]　(2023·邵阳二模)[多选]已知函数f(x)＝若存在实数m使得方程f(x)＝m有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4(x1>x2>x3>x4)，则下列叙述正确的是(　 ) A．x3＋x4<0 B．x1·x2＝4 C．f(3)<m D．f(x3)＋x2 有最小值 解析：选ABD　画出y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，由图可知0<m<1，x4<0<x3<1<x2<2<x1.依题意可知－(2－1)＝2－1,2＝2＋2>2＝2，所以2<1＝20，所以x3＋x4<0，A正确；由x1，x2是方程x＋－4＝m的两个不相等实数根，即x1，x2是方程x2－(4＋m)x＋4＝0的两个不相等实数根，所以x1x2＝4，B正确；由图可知，当直线y＝m向下移动时，存在x＝3，使f(3)>m，C错误；f(x3)＋x2＝f(x2)＋x2＝2x2＋－4≥2－4＝4－4，当且仅当2x2＝，x2＝时等号成立，D正确． 点拨·建模 求解有关函数的零点之和(积)问题的3个关键点 (1)判断两零点是否“轴对称”，一旦满足了对称性，两零点之和为定值． (2)判断两零点之积是否为定值． (3)以数形结合的方法确定零点的取值范围． 逐点清(三)　嵌套函数的零点问题 [例4]　(2023·娄底三模)函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是__________． 解析：设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点． 答案：[－1，＋∞) 点拨·建模　嵌套函数零点问题的解题策略 (1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)两个比较简单的函数； (2)借助函数的图象与性质求解． 逐点验收(一)　已知函数零点求参数范围 1．若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　 ) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C. D. 解析：选D　由题意知，方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．设t＝x＋，x∈，则t∈.所以实数a的取值范围是. 2．若函数f(x)＝x2－4x＋a(e2x－4＋e4－2x)有唯一零点，则实数a＝(　 ) A．2 B. C．4 D．1 解析：选A　由f(4－x)＝(4－x)2－4(4－x)＋a[e2(4－x)－4＋e4－2(4－x)]＝x2－4x＋a(e4－2x＋e2x－4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，要使函数f(x)＝x2－4x＋a(e2x－4＋e4－2x)有唯一的零点，则f(2)＝0，即4－8＋2a＝0，得a＝2. 3．已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C．(－∞，0) D. 解析：选B　由f(x)＝3x－＝0，得a＝3x－.令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<3－1＋1＝，又g(x)＝3x－>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此，实数a的取值范围是. 逐点验收(二)　函数零点的和、积问题 4．若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　 ) A．mn＝1 B．mn>1 C．0<mn<1 D．以上都不对 解析：选C　由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m<n，画出函数y＝|logax|，y＝x的图象如图所示．结合图象可知0<m<1，n>1，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m <0，所以0<mn<1，故选C. 5．(2024·周口模拟)已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝________. 解析：y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)＝a有四个不同的解，即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4.因为1－2＝ 2－1，所以2＋ 2＝2，故＝. 答案： 逐点验收(三)　嵌套函数的零点问题 6．(2024·十堰调研)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选A　令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题．令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图1，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1<t2)，则t1＝0，1<t2<2.如图2，当f(x)＝0时，有1个解，即x＝2；当f(x)＝t2时，有3个解．所以F(x)＝f(f(x))－2f(x)－共有4个零点． 7．已知函数f(x)＝且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同实数解，则实数m的取值范围为________． 解析：由题意，f(x)的图象如图所示，因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同实数解，设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不等实根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2.当1≤t1<2，t2＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0,1)．综上，m∈(0,1]． 答案：(0,1] [课时跟踪检测] 1．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　 ) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 解析：选C　由题易知f(x)在(1,2)上单调递增，则f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3. 2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　 ) A．(1,2] B．(1,2) C．(0,1) D．[1，＋∞) 解析：选A　因为函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，所以函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1,2]． 3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则实数m的取值范围为(　 ) A.∪(0，＋∞)　　 B. C.∪(0，＋∞)　　 D. 解析：选D　由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1,3]上单调递增，所以函数f(x)在(1,3]上单调递增．由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则即解得－≤m<0.因此，实数m的取值范围是. 4．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　 ) A．(－1,0) B．{－1}∪(0，＋∞) C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．(0,1) 解析：选B　在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点． 5．若函数f(x)＝4x－2x＋a2－5有两个零点，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　由函数f(x)＝4x－2x＋a2－5有两个零点可知，方程4x－2x＋a2－5＝0有两个不相等的实根．不妨设t＝2x，则t>0，依题意得方程t2－t＋a2－5＝0有两个不相等的正实根，故有 解得<a<，即实数a的取值范围为. 6．已知函数f(x)＝x2＋2x＋m，m∈R，若函数f有且只有一个零点，则(　 ) A．m>1 B．m<0 C．0<m<1 D．－1<m<0 解析：选C　显然f(x)＝0有解，因此Δ＝4－4m≥0，m≤1，若m＝1，则f(x)＝x2＋2x＋1只有一个零点x＝－1，但此时f(x)＝－1无实解，f(f(x))无零点，所以m<1.f(x)＝(x＋1)2＋m－1，f(x)min＝m－1，由f(x)＝0得x＝－1±，由题意－1＋＝m－1，解得m＝或m＝(舍去)，所以当m＝时，f(f(x))只有一个零点，它只满足C. 7．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：选A　令t＝f(x)，由t2＋(a－2)t－2a＝0，得t＝2或t＝－a.f(x)＝|ex－1|＋1＝作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a<2，即－2<a<－1. 8．函数f(x)＝方程[f(x)]2－af(x)－a＋3＝0有6个不同的实数解，则实数a的取值范围是(　 ) A．(1,2) B．(2,3) C. D. 解析：选C　由题设，f(x)图象如图所示， 令t＝f(x)，要使原方程有6个不同的实数解，则t2－at－a＋3＝0有两个不同实根t1，t2且t1<t2.若t1＝0，则－a＋3＝0，则a＝3，此时t2－3t＝0，t2＝3，显然此时不合题意，故由图知0<t1<1<t2<2，即g(t)＝t2－at－a＋3的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，而g(t)图象开口向上，故⇒2<a<. 9．(2024·衡水检测)[多选]已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　 ) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1 解析：选BCD　由题意作出函数f(x)的图象如图所示．由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1.当y＝1时，由|log2x|＝1，得x＝或x＝2，所以<x3<1<x4<2.由f(x3)＝f(x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1.所以x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0,1)．故选BCD. 10．(2024·长沙质检)[多选]已知m为常数，函数f(x)＝g(x)＝mx＋2，若函数y＝f(x)－g(x)恰有四个零点，则实数m的值可以是(　 ) A．－2 B．－1 C. D. 解析：选AC　由题意，当x＝0时，可得f(0)＝2，g(0)＝2，故x＝0是函数y＝f(x)－g(x)的一个零点；当x≠0时，将f(x)－g(x)＝0转化为m＝h(x)，其中h(x)＝要使得函数y＝f(x)－g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有三个零点，只需y＝m和y＝h(x)的图象有三个不同的交点．作出函数y＝h(x)的大致图象，如图所示． 结合图象，可得－e＜m＜－1或m＝.结合选项，实数m的值可以是－2和.故选AC. 11．已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝________. 解析：函数f(x)＝2lg x＋x－4在(0，＋∞)上为增函数，又∵f(3)＝2lg 3＋3－4＝2lg 3－1＝lg 9－1＜0，f(4)＝2lg 4＋4－4＝2lg 4＞0，即f(3)·f(4)＜0，∴函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(3,4)上，即k＝3. 答案：3 12．已知函数f(x)＝ ①当m＝0时，函数f(x)的零点个数为________； ②如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为________． 解析：①当m＝0时，当x≤0时，令x2＋2x＝0可得x＝－2或x＝0，符合题意．当x>0时，令x＋4＝0得x＝－4，不符合题意．综上，当m＝0时，f(x)有2个零点． ②若m<－2，则f(x)在(－∞，m]上无零点，在(m，＋∞)上至多有一零点，不符合题意；若－2≤m<0，则f(x)在(－∞，m]上有1个零点x＝－2，在(m，＋∞)上无零点 ，不符合题意；若m≥0，则f(x)在(－∞，m]上有2个零点x＝－2，x＝0，在(m，＋∞)上无零点，符合题意．所以m≥0. 答案：①2　②[0，＋∞) 13．已知f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0仅有一解，则a的取值范围是_____________． 解析：若a＝0，则方程f(f(x))＝0有无数个解，故a≠0.∵f(f(x))＝0，∴lg f(x)＝0或＝0(舍去)，∴f(x)＝1，∴lg x＝1或＝1，∴x＝10或a＝x－1.∵关于x的方程f(f(x))＝0仅有一解，∴a＝x－1在x≤0上无解，∴a>－1.综上所述， a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞) 14．已知函数f(x)＝ ①若a＝0，则函数f(x)的值域为________； ②若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 解析：①若a＝0，f(x)＝ 当x≤0时，f(x)＝2x∈(0,1]， 当x>0时，f(x)＝x2∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为(0，＋∞)． ②若函数f(x)有三个零点， 当x≤0时，令f(x)＝2x－a＝0⇒a＝2x∈(0,1]， 当x>0时，方程f(x)＝0有2个解，则Δ>0， 即9a2－4a>0，由a>0，解得a>. 综上，<a≤1，即实数a的取值范围为. 答案：①(0，＋∞)　② 15．已知指数函数y＝f(x)满足f(－2)＝. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程[f(x)]2－(m＋1)f(x)＋m＋＝0有两个不同的实数解，求实数m的取值范围； (3)已知≤k<1，若方程|f(x)－1|－k＝0的解分别为x1，x2(x1<x2)，且方程|f(x)－1|－＝0的解分别为x3，x4(x3<x4)，求2的最大值． 解：(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(－2)＝，可得a－2＝，又a>0，解得a＝2，所以f(x)＝2x. (2)由f(x)＝2x和方程[f(x)]2－(m＋1)f(x)＋m＋＝0，得(2x)2－(m＋1)2x＋m＋＝0， 令u＝2x∈(0，＋∞)，则方程u2－(m＋1)u＋m＋＝0有两个不同的正实数解， 于是 解得m>4，所以实数m的取值范围为(4，＋∞)． (3)由|f(x)－1|－k＝0，得f(x)＝1－k或f(x)＝1＋k，所以2＝1－k,2＝1＋k，则2＝，由|f(x)－1|－＝0，得2＝1－＝，2＝1＋＝， 则2＝，因此2＝·＝， 又≤k<1，令t＝1－k，则t∈且k＝1－t，于是g(t)＝＝＝， 显然函数y＝2t＋在上单调递减，因此函数g(t)在上单调递增，则当t＝，即k＝时，g(t)有最大值为，所以2的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$