2.8 函数的图象（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第八节　函数的图象 课标要求： 1.掌握图象的作法：描点法和图象变换法． 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质． [系统主干知识] 利用图象变换法作函数图象 平移变换 y＝f(x)的图象y＝f(x＋a)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)＋h的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)－h的图象 对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)的反函数的图象 y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象 翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象 y＝f(x)的图象 y＝f(|x|)的图象 伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象 y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象 [细作教材小题] 1．(北师大版必修一P127·T11(1))若b>a>1，则函数y＝loga(x＋b)的图象不经过(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　∵b>a>1，∴函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，图象过第一、四象限，又∵函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b个单位长度得到，而b>1，∴函数y＝loga(x＋b)的图象不经过第四象限． 2．(人教A版必修一P140·T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　 ) 解析：选B　依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，选项B符合． 3.(人教A版必修一P73·T11改编)如图所示是函数y＝f(x)的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是(　 ) A．函数f(x)的定义域为[－4,4) B．函数f(x)的值域为[0,5] C．此函数在定义域中不具有单调性 D．对于任意的y∈[0，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应 解析：选C　由题图知，f(x)的定义域为[－4,0]∪[1,4)，值域为[0，＋∞)，A、B错误；显然f(x)在[－4,0]，[1,4)分别单调递增，但在定义域上不具有单调性，C正确；显然f(－4)≤y≤f(0)，对应自变量x不唯一，D错误． 4.(人教B版必修一P139·T3改编)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　 ) A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2} 解析：选C　如图所示，画出g(x)＝log2(x＋1)的函数图象，从而可知交点D(1,1)，∴不等式f(x)≥g(x)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C. 逐点清(一)　作出函数的图象 [例1]　作出下列各函数的图象： (1)y＝|log2(x＋1)|；(2)y＝； (3)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示． (2)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示． (3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示． 点拨·建模　函数图象的画法 直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象 转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响 逐点清(二)　函数图象的识别 [例2]　(由解析式辨别图象)函数f(x)＝的图象大致为(　 ) 解析：选C　函数f(x)＝定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝，所以f(x)＝是非奇非偶函数，排除A、B；函数f(x)＝的零点是±e－1，当x＝e时，f(e)＝<＝f(1)，排除D. [例3]　(由图象辨别解析式)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　 ) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：选D　由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0，由＝－且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当x>0时，>0，>0，即A、C中函数在(0，＋∞)上函数值为正，排除． 点拨·建模　辨别函数图象的策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 逐点清(三)　函数图象的应用 题点1　研究函数的性质 [例4]　[多选]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则下列结论正确的是(　 ) A．2是函数f(x)的周期 B．函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增 C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0 D．当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3 解析：选ABD　由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，画出函数y＝f(x)的部分图象如图所示．由图象知B正确，C不正确；当3<x<4时，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝x－3，D正确．故选ABD. 个性点拨 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． 题点2　解不等式 [例5]　已知函数f(x)＝则f(x)≤x的解集为(　 ) A．(－∞，0] 　 B．(－1,0] C．(－1,0]∪[1，＋∞) 　 D．[1，＋∞) 解析：选C　作出函数y＝f(x)与y＝x的图象，如图．结合图象知不等式f(x)≤x的解集为(－1,0]∪[1，＋∞)，故选C. 个性点拨 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 题点3　求参数范围 [例6]　(2024·三明模拟)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　 ) A．(2,2 024) B．(2,2 024] C．(2,2 023) D．(2,2 023] 解析：选A　作出函数f(x)＝的图象如图，设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，且a<b<c，则函数y＝f(x)与直线y＝m的三个交点从左到右依次为(a，m)，(b，m)，(c，m)，则点(a，m)与(b，m)在函数y＝sin πx，x∈[0,1]上，而函数y＝sin πx的图象关于直线x＝对称，所以a＋b＝2×＝1，由log2 023x＝1得x＝2 023.若满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则0<m<1，所以1<c<2 023，所以2<a＋b＋c<2 024，即a＋b＋c的取值范围是(2,2 024)．故选A. 个性点拨　求解函数图象应用问题的思维流程 逐点验收(一)　函数图象的识别 1．函数y＝的图象是(　 ) 解析：选B　法一：当x＝2时，y＝0，只有B选项符合． 法二：y＝＝－＋1，则函数y＝的图象是由函数y＝－先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，只有B选项符合．故选B. 2．(2024·张家界模拟)函数f(x)＝cos的部分图象大致形状是(　 ) 解析：选C　因为f(x)＝cos＝sin x的定义域为R.定义域关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＝sin x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故排除选项B、D；当x≥0时，令f(x)＝0可得x＝0或x＝kπ(k∈Z)，所以当x≥0时，两个相邻的零点为x＝0和x＝π，当0<x<π时，<0，sin x>0，f(x)＝sin x<0，故排除选项A.故选C. 3.(2023·马鞍山二模)如图是下列某个函数在区间[－2,2]的大致图象，则该函数是(　 ) A．f(x)＝cos B．f(x)＝ C．f(x)＝sin x D．f(x)＝cos x 解析：选A　由f(x)＝，知f(2)＝>2，但由图象知f(2)<2，故可排除B；因为f(x)＝sin x＝sin x在x∈(0,1)上f(x)>0，而由函数图象知函数一个零点在(0,1)上，而排除C；由f(x)＝cos x知f(1)<0，而由函数图象可知f(1)>0，故可排除D.故选A. 逐点验收(二)　函数图象的应用 4．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　 ) A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 解析：选C　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图所示．观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减． 5．[多选]关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的是(　 ) A．f(x)在区间(1,2)上单调递增 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4 D．f(x)有且仅有两个零点 解析：选ABD　根据图象变换作出函数f(x)的图象(作出y＝ln x的图象，再作出其关于y轴对称的图象，然后向右平移2个单位长度，最后把x轴下方的部分关于x轴翻折上去即可得f(x)的图象)．由图象知f(x)在(1,2)上单调递增，A正确；函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；令f(x1)＝f(x2)＝k，直线y＝k与函数f(x)图象相交可能是4个交点，由图象知如果最左边两个交点横坐标分别是x1，x2，则x1＋x2＝4不成立，C错误；f(x)与x轴有且仅有两个公共点，即函数f(x)有且仅有两个零点，D正确． 6.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________________． 解析：∵xf(x)<0， ∴x和f(x)异号．由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图．当x∈(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0； 当x∈(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)时，f(x)<0， ∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1,2)． 答案：(－2，－1)∪(1,2) 细节、微点提醒 1．平移变换的注意点 左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2．函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　 ) A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析：选C　∵y＝lg＝lg(x＋3)－1， ∴y＝lg xy＝lg(x＋3)y＝lg(x＋3)－1. 2．(2023·汕头二模)已知函数f(x)＝，则f(x)的大致图象为(　 ) 解析：选C　∵f(x)＝，∴f′(x)＝.令f′(x)>0⇒x∈(－∞，0)∪，所以f(x)在(－∞，0)和上单调递增．令f(x)＝0，解得x＝，即f(x)只有一个零点．故选C. 3．函数f(x)＝的大致图象为(　 ) 解析：选D　因为f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A、B选项；因为f＝＝>－1，排除C选项．故选D. 4．[多选]下列命题正确的是(　 ) A．y＝的图象是由y＝的图象向左平移一个单位长度得到的 B．y＝1＋的图象是由y＝的图象向上平移一个单位长度得到的 C．函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称 D．y＝的图象是由y＝的图象向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的 解析：选BCD　y＝的图象是由y＝的图象向右平移一个单位长度得到的，故A错误；B、C显然正确；y＝＝＝－1，故y＝的图象是由y＝的图象向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，故D正确． 5．(2023·滨州二模)函数f(x)＝的图象如图所示，则(　 ) A．a>0，b＝0，c<0 B．a<0，b＝0，c<0 C．a<0，b<0，c＝0 D．a>0，b＝0，c>0 解析：选A　由图象观察可得函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数，所以f(－x)＝＝f(x)，得b＝0，故C错误；由图象可知f(0)＝<0⇒c<0，故D错误；因为定义域不连续，所以ax2－bx＋c＝0有两个根，可得Δ＝b2－4ac>0，即a，c异号，a>0，故A正确，B错误． 6．已知函数f(x)＝|x2－1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　 ) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(1，) D．(1,2) 解析：选C　作出函数f(x)＝|x2－1|在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，在区间(0，＋∞)上，直线y＝1交f(x)的图象于点B，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)． 7．[多选]已知函数f(x)＝方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是(　 ) A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增 C．当m∈(1,2)时，方程有2个不同的实数根 D．当m∈(－1,0)时，方程有3个不同的实数根 解析：选BC　易得f(4)＝4，f(－1)＝1－e，显然函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；f(x)＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增，故B正确；作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图．当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个不同的实数根，故C正确；当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4个不同的实数根，故D错误． 8．已知函数y＝f(－x)的图象过点(4,2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________． 解析：y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，故y＝f(x)的图象一定过点(－4,2)． 答案：(－4,2) 9．若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________. 解析：f(x)＝＝a＋，关于点(1，a)对称，故a＝1. 答案：1 10．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________． 解析：作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]． 答案：(0,1] 11．作出下列各函数的图象： (1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x|； (3)y＝|log2x－1|. 解：(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝可见其图象是由两条射线组成，如图①所示． (2)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图②实线部分所示． (3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示． 12．设函数f(x)＝(x>0)． (1)作出函数f(x)的图象； (2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围． 解：(1)函数f(x)的图象如图所示． (2)∵f(x)＝＝∴f(x)在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 由0<a<b且f(a)＝f(b)得0<a<1<b， 且－1＝1－，∴＋＝2. (3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根． 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．[多选]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，当 0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值可能是(　 ) A．－ B．－ C．0 D. 解析：选BC　因为对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．因为当0≤x≤1时，f(x)＝x2，所以当x∈[－1,2]时，函数f(x)的图象如图．当直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在区间[0,2]内恰有两个不同的公共点时，直线y＝x＋a经过点(1,1)，1＝1＋a，得a＝0；或直线y＝x＋a与曲线f(x)＝x2(0≤x≤1)相切于点A，x2＝x＋a的判别式Δ＝1＋4a＝0，即a＝－.故选BC. 14.[多选]如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则下列说法正确的是(　 ) A．函数y＝f(x)是偶函数 B．对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2) C．函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减 D．函数y＝f(x)的值域是[0,1] 解析：选AB　当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A(即(－1,0))为圆心，1为半径的圆；当－1<x≤1时，P的轨迹是以B(即(0,0))为圆心，为半径的圆；当1<x≤2时，P的轨迹是以C(即(1,0))为圆心，1为半径的圆；当2<x≤3时，P的轨迹是以A(即(3,0))为圆心，1为半径的圆，所以函数f(x)的周期为4，图象如图所示．根据图象的对称性可知y＝f(x)是偶函数，所以A正确；因为f(x)的周期为4，所以B正确；函数f(x)在[2,3]上单调递增，所以C不正确；函数f(x)的值域为[0，]，所以D不正确． 15．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为____________． 解析：根据函数f(x)是周期为4的偶函数，以及x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，画出函数f(x)图象如图所示．由图可知，当x∈(－1,0)时，f(x)<0，xf(x)>0符合题意；当x∈(1,3)时，f(x)>0，xf(x)>0符合题意．综上所述，不等式的解集为(－1,0)∪(1,3)． 答案：(－1,0)∪(1,3) 16．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0. (1)作出函数f(x)的图象； (2)写出函数f(x)的单调区间； (3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值． 解：(1)f(x)＝其图象如图所示． (2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是. (3)由图象知，当＞1，即a＞2时，f(x)min＝f(1)＝1－a；当0＜≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝f＝－. 综上，f(x)min＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$