2.7 对数与对数函数（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第七节　对数与对数函数 课标要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数y＝axa>0，且a≠1与对数函数y＝logaxa>0，且a≠1互为反函数. [系统主干知识] 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1) loga1＝0，logaa＝1，alogN＝N(a>0，且a≠1) 运算法则 loga (MN)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1) 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 在(0，＋∞)上单调递增 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上单调递减 [提醒]　y＝logax(a>0，且a≠1)的图象只在第一、四象限，在直线x＝0的右侧． 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [细作教材小题] 1．(人教A版必修一P127·T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　 ) A. B. C．2a＋b D．2b＋a 解析：选A　log1210＝＝＝. 2．(湘教版必修一P126·T17(1))下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　 ) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 答案：D 3．(北师大版必修一P128·T3改编)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则(　 ) A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 解析：选D　∵x＝ln π＞ln e＝1,0＜log52＜log5＝，即y∈，1＝e0>e－＝>＝，即z∈，∴y＜z＜x. 4．(人教B版必修二P28·T5改编)函数y＝log2x，x∈[8，＋∞)的值域为________． 解析：∵y＝log2x单调递增，x∈[8，＋∞)，∴ymin＝log28＝log223＝3，∴函数的值域为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞) 5.(苏教版必修一P158·T8改编)设a与b为实数，a>0，a≠1.已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则a与b的值分别为________． 解析：由题图可知，函数y＝loga(x＋b)的图象过点(－2,0)，(0,2)，所以0＝loga(－2＋b)，且2＝logab.由0＝loga(－2＋b)，得－2＋b＝1，解得b＝3，则2＝loga3，得a＝，所以a＝，b＝3. 答案：，3 逐点清(一)　对数的运算 [例1]　(2023·天津高考)化简(2log43＋log83)·(log32＋log92)的值为(　 ) A．1 B．2 C．4 D．6 解析：选B　原式＝＝log23×log32＝2. [例2]　点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系式为ΔL＝10lg(单位：dB)，取lg 5＝0.7，则r从10米变化到40米时，衰减量的增加值约为(　 ) A．9 dB B．12 dB C．15 dB D．18 dB 解析：选B　当r＝10时，ΔL1＝10lg 25π，当r＝40时，ΔL2＝10lg 400π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 400π－10lg 25π＝40lg 2＝40(lg 10－lg 5)＝40×(1－0.7)＝12.故选B. [例3]　设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________. 解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝. 答案： 点拨·建模　解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 逐点清(二)　对数函数的图象及应用 [例4]　(对数函数的图象识别)[多选]已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　 ) A．a＞1 　　　 B．0＜c＜1 C．c＞1 　　　 D．0＜a＜1 解析：选BD　由题图可知，函数在定义域内单调递减，所以0＜a＜1.又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1. [例5]　(对数函数图象的应用)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________． 解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知解得0<a≤. 答案： 点拨·建模　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)，排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 逐点清(三)　对数函数的性质及应用 题点1　比较大小 [例6]　设a＝log53，b＝e－1，c＝log169·log278，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．c<a<b B．b<a<c C．c<b<a D．b<c<a 解析：选D　a＝log53>log5＝，b＝e－1＝<，c＝log169·log278＝·＝·＝，所以b<c<a. [例7]　设a＝log827，b＝log0.50.2，c＝log424，则(　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．b<c<a 解析：选C　a＝log827＝log227＝log23，b＝log0.50.2＝－log20.2＝log25，c＝log424＝log224＝log2，因为y＝log2x在定义域上是增函数，且3<<5，所以a<c<b. 个性点拨　比较对数函数值大小的方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量 过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 题点2　解简单的对数不等式 [例8]　若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意loga(a＋1)<loga(2)<loga1，得或解得<a<1. 答案： 个性点拨　解对数不等式的类型及方法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解． 题点3　对数函数性质的综合应用 [例9]　已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(1－x)(a>0且a≠1)． (1)若a＝，求f(x)的最值； (2)若f(x)有最大值，且∀x∈(－2,1)，∃b∈[0,3]，使得f(x)<2b－2，求a的取值范围． 解：(1)由得－2<x<1，则f(x)的定义域为(－2,1)．当a＝时，f(x)＝log(－x2－x＋2)．因为函数y＝logt单调递增，函数t＝－x2－x＋2在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的最大值为f＝log＝2，无最小值． (2)f(x)＝loga(－x2－x＋2)，由t＝－x2－x＋2＝－2＋，x∈(－2,1)，得t∈.因为f(x)有最大值，所以y＝logat在上有最大值，则a>1，ymax＝loga.因为b∈[0,3]，所以2b－2∈.因为∀x∈(－2,1)，∃b∈[0,3]，f(x)<2b－2，所以loga<2.所以a2>，解得a>，故a的取值范围为. 个性点拨 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用． 逐点验收(一)　对数的运算 1．若a>0，a＝，则loga＝(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B　由a＝，得a2＝6，而a>0，解得a＝3，所以loga＝log3＝3.故选B. 2．在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d＝1,2，…，9)的概率为lg.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　 ) A．2.9 B．3.2 C．3.8 D．3.9 解析：选C　依题意，一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为lg＝lg，所求的比为＝＝＝≈≈3.8. 3．已知2a＝32，loga2·log4x＝a，则log5x＋logx5＝________. 解析：因为2a＝32＝25，所以a＝5.所以loga2·log4x＝log52·log22x＝log52·log2x＝××＝log5x＝×5，即log5x＝4，所以x＝54.所以log5x＋logx5＝log554＋log545＝4＋＝. 答案： 逐点验收(二)　对数函数的图象及应用 4．(2024·信阳模拟)[多选]函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的大致图象不可能为(　 ) 解析：选BCD　函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝loga|x|＋1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logax＋1(0<a<1)单调递减，且过定点(1,1)，故函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的大致图象不可能为B、C、D选项．故选BCD. 5.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　 ) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 解析：选A　由函数图象可知，f(x)单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上，0<a－1<b<1. 6．已知函数f(x)＝若a，b，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________． 解析：因为f(x)＝所以函数f(x)的图象如图所示， 又a，b，c不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨令a<b<c，由图知0<a<1,1<b<8,8<c<10，且－log8a＝log8b，即log8a＋log8b＝0，解得ab＝1. 又因为c∈(8,10)，所以abc∈(8,10)． 答案：(8,10) 逐点验收(三)　对数函数的性质及应用 7．(2024·咸阳模拟)已知a＝2－0.01，b＝log510，c＝log612，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：选A　a＝2－0.01∈(2－1,20)＝，b＝1＋log52>1，c＝1＋log62>1，且log52>log62，故b>c>a. 8．“函数f(x)＝lg在(1，＋∞)上单调递增”的一个充分不必要条件是(　 ) A．a≤2 B．a≤ C.<a<2 D．0≤a≤1 解析：选D　设t＝x2－ax＋，则该函数图象开口向上且对称轴为x＝，所以t＝x2－ax＋在上单调递增．又y＝lg t在定义域上单调递增，要使f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则(1，＋∞)⊆，即≤1⇒a≤2.还需12－a＋≥0⇒－a≥0⇒a≤.综上，a≤是函数f(x)＝lg在(1，＋∞)上单调递增的充要条件，显然D是充分不必要条件，A、B、C都不是． 9．(2024·惠州模拟)若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析：令u(x)＝x2－ax＋＝2＋－，则u(x)有最小值－，欲使函数f(x)＝loga有最小值，则有解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，)． 答案：(1，) 10．已知4－a＝2a，b＝log95＋log23,5a＋12a＝13c，则(　 ) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b 解析：选B　显然函数f(a)＝4－a－2a在R上单调递减，f>0，f<0，则1<a<2；又b＝log95＋log23>log94＋log23＝log32＋log23＝log32＋>2，则b>2；由5a＋12a＝13c，得a＋a＝13c－a，而函数y＝x＋x在R上单调递减，则13c－a＝a＋a >2＋2＝1，因此c－a>0，即c>a，又1<a<2，则17<5a＋12a<52＋122＝132，即17<13c<132，因此c<2<b，所以a<c<b. 11．[多选]溶液酸碱度是通过pH来计量的．pH的计算公式为pH＝－lg，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为10－7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH＝7(例如：纯净水)时，溶液呈中性．我国规定饮用水的pH值在6.5～8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据：取lg 2＝0.3)(　 ) A．若苏打水的pH是8，则苏打水中氢离子的浓度为10－8摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10－2摩尔/升，则胃酸的pH是1.6 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的10－1.6倍，则海水的pH是8.6 D．若某种水中氢离子的浓度为4×10－7摩尔/升，则该种水适合饮用 解析：选ABC　若苏打水的pH是8，即pH＝－lg[H＋]＝8，所以[H＋]＝10－8，即苏打水中氢离子的浓度为10－8摩尔/升，A正确；若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10－2摩尔/升，pH＝－lg(2.5×10－2)＝－lg 2.5－lg 10－2＝2－(lg 10－lg 4)＝1＋2lg 2＝1.6，B正确；若海水的氢离子浓度是纯净水的10－1.6倍，则海水的氢离子浓度是10－1.6·10－7＝10－8.6，因此pH＝－lg10－8.6＝8.6，即海水的pH是8.6，C正确；若某种水中氢离子的浓度为4×10－7摩尔/升，则pH＝－lg＝－lg 4－lg 10－7＝7－2lg 2＝6.4，而6.4不在6.5～8.5范围内，即该种水不适合饮用，D错误． 12．已知a>1，b>1，且ab＝e2，则aln b的最大值为________． 解析：∵ab＝e2，a>1，b>1，∴ln a>0，ln b>0，两边取对数得ln(ab)＝ln a＋ln b＝ln e2＝2，设t＝aln b，两边取对数得ln t＝ln aln b≤2＝1，当且仅当即a＝b＝e时，等号成立，∴t≤e，即aln b的最大值为e. 答案：e [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点(　 ) A．(4,2) B．(4,0) C．(5,0) D．(5,2) 解析：选D　由于loga1＝0(a>0且a≠1)，则函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点(5,2)． 2．计算：(log312－2log32)＝(　 ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选B　因为log64＋log63＝log6＝1，log312－2log32＝log3＝1，所以·(log312－2log32)＝1. 3．(2024·周口模拟)已知a＝3log32，b＝log25，c＝，则(　 ) A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c 解析：选A　a＝3log32＝log38，由对数函数y＝log3x的图象与性质知1＝log33<log38<log39＝2，∴1<a<2.由对数函数y＝log2x的图象与性质知log25>log24＝2，∴b>2.由指数函数y＝x的图象与性质知0<<0＝1，∴0<c<1.综上，c<a<b. 4．已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝x与g(x)＝logbx的图象可能是(　 ) 解析：选B　log2a＋log2b＝0，即为log2ab＝0，即有ab＝1.当a＞1时，0＜b＜1，函数f(x)＝x与g(x)＝logbx均单调递减，四个图象均不满足；当0＜a＜1时，b＞1，函数f(x)＝x与g(x)＝logbx均单调递增，排除A、C、D，在同一坐标系中的图象只能是B. 5．若函数f(x)＝log2(2mx＋5－m2)在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为 (　 ) A．(－5,1) B．(－1,0) C．(－1,5) D．(0,5) 解析：选D　因为函数f(x)＝log2(2mx＋5－m2)在[2，＋∞)上单调递增，所以u＝2mx＋5－m2在[2，＋∞)上单调递增，且u＝2mx＋5－m2>0在[2，＋∞)恒成立，所以解得0<m<5，所以实数m的取值范围为(0,5)． 6．(2024·湛江一模)已知a＝0.1，b＝log910，c＝lg 11，则(　 ) A．b>c>a B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b 解析：选A　根据指数函数和对数函数的性质，可得a＝0.1<0＝1，b＝log910>log99＝1，c＝lg 11>lg 10＝1，又由2＝lg 100>lg 99＝lg 9＋lg 11>2，所以1>lg 9×lg 11，故>lg 11.又b＝log910＝，所以b>c，所以b>c>a. 7．[多选]已知lg x＋logy＝1，则(　 ) A．lg x2＋logy2＝2 B．x＝10 C．lg(10x)＋log(10y)＝4 D．当x>1，y>1时，logx10＋logy的最小值为4 解析：选ACD　由题可知x>0，y>0，则lg x2＋logy2＝2lg x＋2logy＝2，A正确；由lg x＋logy＝1，得lg x＋logy＝lg x＋lg y2＝lg(xy2)＝1，所以xy2＝10，B错误；lg(10x)＋log(10y)＝lg 10＋lg x＋log10＋logy＝1＋2＋lg x＋logy＝3＋1＝4，C正确；当x>1，y>1时，lg x>0，logy>0，则logx10＋logy＝＋＝(lg x＋logy)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y2＝时，等号成立，所以logx10＋logy的最小值为4，D正确．故选ACD. 8．[(－5)4]＝_______，log43·log＝_______. 解析：[(－5)4]＝(54)＝54×＝5； log43·log＝·＝·＝. 答案：5　 9．(2024·齐齐哈尔一模)请写出满足方程3x－＝log5y的一组实数对(x，y)：________. 解析：∵3x－＝log5y，∴y＝53x－，∴令x＝0，得y＝5＝，即满足题意的一组实数对为. 答案：(答案不唯一) 10．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________． 解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－. 答案：－ 11．(2024·镇江检测)已知函数f(x)＝(log2x－2). (1)当x∈[2,4]时，求该函数的取值范围； (2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝(2log4x－2)，令t＝log4x，因为x∈[2,4]，所以t∈， 所以y＝(2t－2)＝2t2－3t＋1＝22－.因为t∈，所以y∈，所以当x∈[2,4]时，该函数的取值范围为. (2)令t＝log4x，则f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立，即2t2－3t＋1≥mt对任意t∈[1,2]恒成立，所以m≤2t＋－3对任意t∈[1,2]恒成立．由对勾函数的单调性可知，g(t)＝2t＋－3在[1,2]上单调递增，所以m≤g(1)＝0.故实数m的取值范围为(－∞，0]． 12．已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数． (1)求k； (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)． 解：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33－2x＝－2x，∴k＝－1. (2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)，则不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0.由7·3x－1>0，解得x>－log37； 由3x＋3－x≥7·3x－1，得6·(3x)2－3x－1≤0， 得0<3x≤，即x≤－log32. 综上，不等式的解集为(－log37，－log32]． 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．[多选]已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　 ) A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减 C．函数f(x)在区间上的最小值为0 D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2] 解析：选ACD　将(0,0)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，故B错误；当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确；当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数单调递增知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确． 14．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　 ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0) D．∅ 解析：选B　不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象．由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)．由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)． 15．[多选]已知大气压强p(Pa)随高度h(m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝10－4.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表： 地势 平均海拔/m 第一级阶梯 ≥4 000 第二级阶梯 1 000～2 000 第三级阶梯 200～1 000 若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p1，p2，p3，则(　 ) A．p1≤ B．p0<p3 C．p2≤p3 D．p3≤e0.18p2 解析：选ACD　设在第一级阶梯某处的海拔为h1，则ln p0－ln p1＝10－4h1，即h1＝104ln .因为h1≥4 000，所以104ln ≥4 000，解得p1≤，A正确；由ln p0－ln p＝kh，得ekh＝.当h>0时，ekh＝>1，即p0>p，所以p0>p3，B错误；设在第二级阶梯某处的海拔为h2，在第三级阶梯某处的海拔为h3，则两式相减可得ln＝10－4(h2－h3)，因为h2∈[1 000，2 000]，h3∈[200,1 000]，所以h2－h3∈[0,1 800]，则0≤ln≤10－4×1 800＝0.18，即1≤≤e0.18，故p2≤p3≤e0.18p2，C、D正确．故选ACD. 16．已知a∈R，函数f(x)＝log2. (1)若f(2)＝－3，求实数a的值； (2)若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围； (3)设a>0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(2)＝－3，∴log2＝－3＝log2，∴＋a＝，解得a＝－. (2)由f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0得log2－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0. 即log2＝log2[(a－4)x＋2a－5]， 即＋a＝(a－4)x＋2a－5>0①，则(a－4)x2＋(a－5)x－1＝0，即(x＋1)·[(a－4)x－1]＝0②，当a＝4时，方程②的解为x＝－1，代入①，成立；当a＝3时，方程②的解为x＝－1，代入①，成立；当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝－1或x＝，若x＝－1是方程①的解，则－1＋a＝a－1>0，即a>1，若x＝是方程①的解，则a－4＋a＝2a－4>0，即a>2，要使方程①有且仅有一个解，则1<a≤2.综上，若方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是(1,2]∪{3}∪{4}． (3)函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，由题意得f(t)－f(t＋1)≤1，即log2－log2≤1，即＋a≤2，即a≥－＝.设1－t＝r，则0≤r≤，＝＝，当r＝0时，＝0，当0<r≤时，＝.∵y＝r＋在(0，)上单调递减，∴当r∈时，r＋≥＋4＝，此时＝≤＝.∴实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$