2.6 指数与指数函数（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第六节　指数与指数函数 课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. [系统主干知识] 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)性质： ①负数没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③()n＝a. ④当n为奇数时，＝. ⑤当n为偶数时， ＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． (2)正数的负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． (3)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s； (2)(ar)s＝ars； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念： 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，函数的定义域是R. (2)图象与性质： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递减 [细作教材小题] 1．(苏教版必修一P147·T7)函数y＝2－x的图象为(　 ) 解析：选A　因为函数y＝2－x的图象与函数y＝2x的图象关于y轴对称，故选A. 2．(人教A版必修一P107·T2改编)[多选]下列运算正确的是(　 ) 答案：BCD 3．(人教A版必修一P119·T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　 ) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析：选C　因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上单调递增，且3.5＞2.7，所以1.013.5>1.012.7>1.因为函数y＝0.75x在(－∞，＋∞)上单调递减，又0.1>0，所以0.750.1<1.故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a. 4．(北师大版必修一P92·T8改编)函数f(x)＝ax(a>0)的图象经过点(2,3)，且f(2m－1)>，则m的取值范围为____________． 解析：由题意，a2＝3，a>0，故a＝，所以f(x)＝()x在R上单调递增，f(2m－1)>＝f(－2)，故2m－1>－2，m>－. 答案： 逐点清(一)　指数幂的运算 [例1]　化简(a>0，b>0)的结果是(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　 [例2]　0.064－＋－(π＋e)0－9×4＝__________. 解析：0.064－＋－(π＋e)0－9×4＝(0.43)－＋22－1－(32)×4＝0.4－1＋4－1－33×3－2＝＋4－1－3＝. 答案： 点拨·建模　指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 逐点清(二)　指数函数的图象及应用 [例3]　(指数函数的图象)图中的曲线是指数函数y＝ax的图象，已知a的取值分别为π， ，，，则曲线c1，c2，c3，c4对应的a依次为(　 ) A.，π，， B.，π，， C．π， ，， D．π， ，， 解析：选C　不妨取x＝1，由指数函数y＝ax的图象可知，c2对应的a最大，其次是c1，然后是c4，最小的是c3，所以曲线c1，c2，c3，c4对应的a依次为π，，，.故选C. [例4]　(指数函数图象的应用)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 解析：①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1，所以0<a<.②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，a的取值范围是. 答案： 点拨·建模 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 逐点清(三)　指数函数的性质及应用 题点1　比较大小 [例5]　(2024·吉林模拟)已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，则(　 ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：选D　由y＝0.31x单调递减可知0.310.1>0.310.2，即a>b；由y＝x0.1单调递增可知0.320.1>0.310.1，即c>a，所以c>a>b. [例6]　若ea＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是(　 ) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 解析：选D　∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb.令f(x)＝ex－π－x，易知f(x)是R上的增函数，上式可化为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.故选D. 个性点拨 比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性，原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式，并要注意底数的范围是(0,1)还是(1，＋∞)，若不能化为同底，则可化为同指数或利用中间量比较． 题点2　解简单的指数不等式 [例7]　若2x＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　 ) A. B. C. D．[2，＋∞) 解析：选B　因为x－2＝2x－4，所以2x＋1≤x－2可化为2x＋1≤2x－4＝24－2x.由指数函数的单调性可得x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤21，故函数y＝2x的值域是. [例8]　已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x)＋f(－8)<0的解集为(　 ) A．(－3,0) B．(－∞，3) C．(0,3) D．(3，＋∞) 解析：选B　因为f(x)＝2x－2－x，x∈R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数．由y＝2x单调递增，y＝2－x单调递减，得f(x)＝2x－2－x为R上的增函数，所以f(2x)＋f(－8)<0等价于f(2x)<f(8)，因此2x<8，即x<3. 个性点拨　解指数不等式的3种方法 性质法 解形如ax＞ab的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1或0＜a＜1两种情况进行讨论 转化法 解形如ax＞b的不等式，可先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解 图象法 解形如ax＞bx的不等式，可利用对应的函数图象求解 题点3　指数函数性质的综合应用 [例9]　若函数f(x)＝a(a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 ) A．(1,2) B．(0,1) C．(1,4] D．(－∞，4] 解析：选C　令t＝2x2－ax＋1，则y＝at，t＝2x2－ax＋1的对称轴为x＝，则t＝2x2－ax＋1在上单调递减，在上单调递增．当0<a<1时，y＝at在定义域内单调递减，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．因为f(x)在(1,3)上单调递增，所以不等式无解．当a>1时，y＝at在定义域内单调递增，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．因为f(x)在(1,3)上单调递增，所以解得1<a≤4.综上，实数a的取值范围为(1,4]．故选C. [例10]　已知函数f(x)＝ax－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝， 令h(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，则h(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减． 而y＝x在R上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1. 因此必有解得a＝1.即f(x)有最大值3时，a＝1. (3)令g(x)＝ax2－4x＋3，由指数函数的性质知，要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)， 应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)． 个性点拨 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 逐点验收(一)　指数幂的运算 1．地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级M与所释放的能量E的关系为E＝104.8＋1.5M(焦耳)(≈3.16)，那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的(　 ) A．3.16倍 B．31.6倍 C．100倍 D．1 000倍 解析：选D　由题意，设4级地震释放的能量为E1,6级地震释放的能量为E2，所以E1＝104.8＋1.5×4＝1010.8，E2＝104.8＋1.5×6＝1013.8，所以＝＝103＝1 000.即6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的1 000倍． 解析：选BC　 逐点验收(二)　指数函数的图象及应用 3．函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　 ) 解析：选D　函数y＝ax－的图象是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，所以A错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C错误，D正确．故选D. 4．[多选]已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　 ) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 解析：选ABC　由题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故B正确；作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故D错误． 5．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 解析：在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．故实数b的取值范围是(0,2)． 答案：(0,2) 逐点验收(三)　指数函数的性质及应用 7．[多选]已知函数f(x)＝，则(　 ) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(0,2] C．函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增 D．函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减 解析：选ABD　令u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)，f(x)的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，均为R，故A正确；因为y＝u，u∈[－1，＋∞)的值域为(0,2]，所以函数f(x)的值域为(0,2]，故B正确；因为u＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝u，u∈[－1，＋∞)在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，故C不正确，D正确． 8．已知函数f(x)＝x3－，则不等式f(x)＋f(2x－1)>－2的解集为(　 ) A. B．(1，＋∞) C. D．(－∞，1) 解析：选A　∵f(x)＝x3－，∴f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋－2，∴f(－x)＋f(x)＝－2，∴不等式f(x)＋f(2x－1)>－2可转化为f(2x－1)>f(－x)．又y＝x3在R上单调递增，y＝ex在R上单调递增，进而y＝－在R上单调递增，∴函数f(x)在R上单调递增，∴2x－1>－x，解得x>，∴原不等式的解集为. 9．使得“函数f(x)＝在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是(　 ) A．t≥2 B．t≤1 C．t≥3 D．t≤0 解析：选D　因为函数y＝x在R上单调递减，函数f(x)＝在区间上单调递减，所以函数y＝x2－4tx＝(x－2t)2－4t2在上单调递增，则2t≤2，解得t≤1，所以函数f(x)＝在区间上单调递减的充要条件为t≤1，那么其成立的一个充分不必要条件可以是t≤0. 10．某同学向老师请教一题：当x∈(1，＋∞)时，函数y＝x－4ex－aln x的图象恒在直线y＝x＋1的上方(不含该直线)，求实数a的取值范围．老师告诉该同学：“ex≥x＋1恒成立，当且仅当x＝0时取等号，且方程x－4ln x＝0在上有解”，根据老师的提示可得a的取值范围是________． 解析：因为x>1，所以ln x>0，由x－4ex－aln x>x＋1可得a<＝，由题意ex≥x＋1恒成立，当且仅当x＝0时取等号，且方程x－4ln x＝0在上有解，x＝x0>1，所以≥＝－4，当且仅当x＝x0时等号成立，所以a<－4，因此实数a的取值范围是. 答案： 11．已知函数y＝mx＋2m与函数y＝2x＋2－2－2－x的图象交于点M，N，P，此三点中最远的两点间距离为，则实数m＝________. 解析：不妨记y1＝f(x)＝mx＋2m＝m(x＋2)，y2＝g(x)＝2x＋2－2－2－x＝2x＋2－2－(2＋x)，因为函数y＝mx与y＝2x－2－x是奇函数且关于坐标原点对称，所以f(x)，g两个函数均是以点(－2,0)为对称中心的函数，所以三个交点其中一个必是点(－2,0)，另外两个点关于点(－2,0)对称，不妨记N(－2,0)，设M，所以即 解得x1＝－1或x1＝－3，m＝. 答案： [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．若m＝，n＝，则m＋n的值为(　 ) A．－7 B．－1 C．1 D．7 解析：选C　m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1. 2．已知x＋x－＝5，则的值为(　 ) A．5 B．23 C．25 D．27 解析：选B　因为x＋x－＝5，所以2＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，所以＝x＋＝x＋x－1＝23. 3．已知a＝31.2，b＝1.20，c＝－0.9，则a，b，c的大小关系是(　 ) A．a<c<b B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 解析：选D　因为b＝1.20＝1, c＝－0.9＝30.9，又因为y＝3x在R上单调递增，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b.故选D. 4．若函数f(x)＝在[1,2]上单调递减，则a的取值范围是(　 ) A．(－∞，－4] B．(－∞，－2] C．[－2，＋∞) D．[－4，＋∞) 解析：选C　依题意函数f(x)＝在[1,2]上单调递减，且y＝x在R上单调递减，y＝x2＋ax的图象开口向上，对称轴为x＝－，根据复合函数单调性同增异减可知，－≤1⇒a≥－2. 5．[多选]某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…，k，b为常数)，若该食品在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时间是30小时，则(　 ) A．k<0 B．储存温度越高保鲜时间越长 C．在10 ℃的保鲜时间是60小时 D．在30 ℃的保鲜时间是15小时 解析：选ACD　由题可知120＝eb,30＝e20k＋b＝e20k×eb，则e20k＝，故e10k＝，所以10k<0，则k<0，A正确；由A可知，y＝kx＋b在R上是减函数，且y＝ex在R上是增函数，所以y＝ekx＋b在R上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；由A可知，e10k＋b＝e10k×eb＝×120＝60小时，C正确；由A可知，e30k＋b＝e30k×eb＝3×120＝15小时，D正确． 6．若函数f(x)＝|2x－a|－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为(　 ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(0,1] D．(1，＋∞) 解析：选B　令g(x)＝|2x－a|，由题意得g(x)的值域为[0，＋∞)，又y＝2x的值域为(0，＋∞)，所以－a<0，解得a>0，所以a的取值范围为(0，＋∞)． 7．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是(　 ) A．(－2，－1) B．(－1,1) C．(－1,2) D．(1，＋∞) 解析：选B　因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5，所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，在直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，因为y＝3x＋1，y＝4x＋5都经过A(1,9)，B(－1，1)，当－1<x<1时，y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1，1)，故选B. 8．函数y＝a2x－1－2(a>0且a≠1)，无论a取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为________． 解析：∵a0＝1，∴x＝，y＝a0－2＝1－2＝－1，则定点坐标为. 答案： 9．化简：(a3－b)3＋·b3－＝________. 解析：(a3－b)3＋·b3－＝a4b3＋·b3－＝a4b6. 答案：a4b6 10．若f(x)＝x－x－，则满足f(x)<0的x的取值范围是__________． 解析：因为x－＝有意义，所以x>0.由f(x)<0，得x<x－，即<，所以0<x<1，解得0<x<1.故x的取值范围为(0,1)． 答案：(0,1) (2)由题意，x＋x－1＝7，则x>0， ∴2＝x＋2＋x－1＝7＋2＝9， ∵x>0，∴x＋x－>0，∴x＋x－＝3. 12．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，求k的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝1. 又因为f(－x)＝－f(x)，所以＝－.将a＝1代入，整理得＝， 当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x，即(b－1)·(2x－1)＝0.又因为当x≠0时，有2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1. 经检验符合题意，所以a＝1，b＝1. (2)由(1)知，函数f(x)＝＝＝－1＋， 因为y＝1＋2x为R上的增函数，且1＋2x>0，则函数f(x)在R上单调递减． (3)因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以不等式可转化为f(k＋t2)<f(2t2－4t)．又因为函数f(x)在R上单调递减，所以k＋t2>2t2－4t，所以k>t2－4t.令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4，t∈[0,4]，由题意可知，问题等价转化为当t∈[0,4]时，k>g(t)min.又因为g(t)min＝g(2)＝－4，所以k>－4.故k的取值范围是(－4，＋∞)． 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．[多选]已知函数f(x)＝a·|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　 ) A．a＋b＝0 B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C．若x<y<0，则f(x)<f(y) D．f(x)的值域为[0,2) 解析：选ABD　∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点，∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a，且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2，故A正确；由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；由于|x|∈(0,1]，∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确．故选ABD. 14．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　 ) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：选A　函数f(x)＝e是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f，又<2－<<1，所以f<f<f，所以b>c>a，故选A. 15．(2024·徐州模拟)正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则＋的最小值为________． 解析：由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)．令f(x)＝ex＋x，原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)在R上单调递增，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m>0，n>0，因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号．所以＋的最小值为. 答案： 16．已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R)． (1)讨论函数f(x)的奇偶性； (2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围． 解：(1)由题意，得函数f(x)＝2x＋a·2－x的定义域为x∈R，f(－x)＝2－x＋a·2x. ①当f(－x)＝f(x)， 即2－x＋a·2x＝2x＋a·2－x时，可得a＝1， 即当a＝1时，函数f(x)为偶函数． ②当f(－x)＝－f(x)， 即2－x＋a·2x＝－(2x＋a·2－x)＝－2x－a·2－x时，可得a＝－1， 即当a＝－1时，函数f(x)为奇函数． (2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a＝1， 即f(x)＝2x＋2－x，f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2.由题可得，(2x＋2－x)2－2－k(2x＋2－x)＝3⇔(2x＋2－x)2－k(2x＋2－x)－5＝0. 令t＝2x＋2－x，则有t2－kt－5＝0， ∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]． 根据对勾函数的性质可知，2x＋2－x∈， 即t∈，方程t2－kt－5＝0在上有实数根，则k＝＝t－. 令φ(t)＝t－，t∈， ∵φ(t)在上单调递增， 且φ(2)＝－，φ＝，∴－≤k≤， ∴实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$