2.1 函数的概念及其表示（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第二章　函　数 第一节　函数的概念及其表示 课标要求 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.理解函数的三种表示方法：图象法、列表法、解析法.会根据不同的需要选择恰当的方法. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. [系统主干知识] 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． [细作教材小题] 1．(人教A版必修一P66·例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　 ) A．y＝()2 B．u＝ C．y＝ D．m＝ 解析：选B　函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B. 2．(人教A版必修一P72·T1(4)改编)函数f(x)＝的定义域为(　 ) A．(－∞，4] B．(－∞，3)∪(3,4] C．[－2,2] D．(－1,2] 解析：选B　依题意有解得x≤4且x≠3，故选B. 3．(人教B版必修一P116·T2改编)已知函数f(x)＝若f(x)＝，则x＝________. 答案：± 4．(苏教版必修一P115·T4)下列图象中，表示函数关系y＝f(x)的有__________． 答案：(1)(4) 逐点清(一)　函数的概念 [例1]　[多选]有以下判断，其中正确的是(　 ) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f＝0 解析：选BC　函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；若函数y＝f(x)在x＝1处有定义，则f(x)的图象与直线x＝1的交点有1个；若函数y＝f(x)在x＝1处没有定义，则f(x)的图象与直线x＝1没有交点，故B正确；函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确；由f(x)＝|x－1|－x，可得f＝0，所以f＝f(0)＝1，故D错误． [例2]　函数y＝的定义域为(　 ) A．[－2,2] B．(－1,2] C．(－1,0)∪(0,2] D．(－1,1)∪(1,2] 解析：选C　由已知可得即因此，函数y＝的定义域为(－1,0)∪(0,2]．故选C. [例3]　已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(x－1)的定义域是(　 ) A．[0,5] B．[－1,4] C．[－3,2] D．[－2,3] 解析：选A　函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，所以－1≤x＋1≤4.于是对于函数y＝f(x)，有－1≤x≤4，所以对于函数y＝f(x－1)，有－1≤x－1≤4，解得0≤x≤5.所以函数y＝f(x－1)的定义域是[0,5]． 点拨·建模　求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 逐点清(二)　函数的解析式 [例4]　(1)(换元法)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)(配凑法)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)(解方程组法)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)设1－sin x＝t，t∈[0,2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]． 即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]． (2)∵f ＝x2＋＝2－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)∵2f(x)＋f(－x)＝3x①， ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x②， 由①②解得f(x)＝3x. 点拨·建模　函数解析式的求法 待定系数法 已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数)，可用待定系数法求解 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 解方程组法 已知关于f(x)与f(或f(－x))的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式 逐点清(三)　分段函数 题点1　求函数值 [例5]　(2024·湖北重点中学元月联考)已知g(x)＝则f(f(26))等于(　 ) A. B. C．1 D．2 解析：选C　∵26＞4，∴f(26)＝log5(26－1)＝2.又2＜4，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝1.故选C. [例6]　(2024·齐齐哈尔一模)已知f(x)＝则f(2 022)＝________. 解析：根据x≥1时，f(x)＝f(x－4)，得函数f(x)在x≥1时是以4为周期的周期函数，∴f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2)＝－2－3＝－5. 答案：－5 个性点拨　求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 题点2　与方程结合 [例7]　已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是(　 ) A．－3或5 B．3或－3 C．－3 D．3或－3或5 解析：选A　由f(x)＝当a<1时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；当a>1时，f(a)＝2a＝10，解得a＝5.故a的值是－3或5. 个性点拨　分段函数与方程结合求参数的方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． 题点3　与不等式结合 [例8]　已知f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集为________________． 解析：由题意得，不等式f(x)＞f(1)等价于或解得－2＜x＜0或x＞1，故不等式f(x)＞f(1)的解集为(－2,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－2,0)∪(1，＋∞) 个性点拨　 与分段函数有关的不等式问题的解题策略 涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 逐点验收(一)　函数的概念 1．函数y＝的定义域为(　 ) A．[0,2] B．(－∞，－3)∪(－3,2) C．(－∞，2) D．(－∞，－3)∪(－3,2] 解析：选D　对于函数y＝，则解得x≤2且x≠－3，所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,2]．故选D. 2．下列各组函数表示同一函数的是(　 ) A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝1，g(x)＝x0 C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 解析：选C　对于A，f(x)＝的定义域为全体实数，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一函数；对于B，f(x)＝1的定义域为全体实数，g(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，不是同一函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系和值域均相同，是同一函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为全体实数，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，不是同一函数． 3．若函数y＝f(2x)的定义域为[－2,4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为(　 ) A．[－2,2] B．[－2,4] C．[－4,4] D．[－8,8] 解析：选C　因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2,4]，则－2≤x≤4，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4,8]．对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有解得－4≤x≤4.因此，函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4,4]． 4．函数f(x)＝的值域为______________． 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∵f(x)＝＝＝2＋， ≠0，∴f(x)≠2.∴函数f(x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，2)∪(2，＋∞) 逐点验收(二)　函数的解析式 5．[多选]已知f(3x－1)＝9x2，则下列结论正确的是(　 ) A．f(x)＝9x2 B．f(x)＝(x＋1)2 C．f(2)＝36 D．f(－2)＝1 解析：选BD　因为f(3x－1)＝9x2＝(3x－1)2＋2(3x－1)＋1, 所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，则f(2)＝9，f(－2)＝1.故B、D正确． 6．已知函数f＝，则f(x)＝(　 ) A.－1 　 B.－1 C.－1 　 D.－1 解析：选B　令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f＝＝－1，所以f(x)＝－1. 7．设函数f(x)＝2f＋1，则f(10)等于(　 ) A．1 B．－1 C．10 D. 解析：选B　由f(x)＝2f＋1，得f＝2f(x)＋1，联立方程组解得f(x)＝－1，所以f(10)＝－1.故选B. 逐点验收(三)　分段函数 8．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝(　 ) A．8 B. C．－ D．－ 解析：选B　因为f(x)＝所以f(－2)＝(－2)2－1＝3，所以f(f(－2))＝f(3)＝＝. 9．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝－2，则实数a＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　因为f(x)＝所以f(0)＝03＋1＝1，所以f(f(0))＝f(1)＝1－a＝－2，解得a＝3. 10．设函数f(x)＝则使f(x)≤4成立的x的取值范围为(　 ) A．(－∞，4] B．(－∞，2] C．(1,2] D．(1,4] 解析：选B　当x<1时，由f(x)≤4，得2x－1≤4＝22，得x－1≤2，解得x≤3，所以x<1；当x≥1时，由f(x)≤4，得x2≤4，解得－2≤x≤2，所以1≤x≤2.综上，x≤2，即使f(x)≤4成立的x的取值范围为(－∞，2]． 细节、微点提醒 (1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化． (2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围． (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围． (4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．函数y＝＋log2(2－x)的定义域是(　 ) A．(－∞，2) B．[1,2) C．[1,2] D．[1，＋∞) 解析：选A　由题意得2－x>0，解得x<2. 2．若函数g(x－1)＝2x2＋x，则g(2)的值是(　 ) A．10 B．11 C．20 D．21 解析：选D　由函数g(x－1)＝2x2＋x，令x－1＝2，可得x＝3，所以g(2)＝g(3－1)＝2×32＋3＝21. 3．下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是(　 ) A．y＝()2 B．y＝＋2 C．y＝＋2 D．y＝＋2 解析：选B　y＝x＋2的定义域为R.y＝()2的定义域为[－2，＋∞)，与y＝x＋2的定义域不同，不是同一函数；y＝＋2＝x＋2的定义域为R，与y＝x＋2的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；y＝＋2的定义域为{x|x≠0}，与y＝x＋2的定义域不同，不是同一函数；y＝＋2＝|x|＋2＝与y＝x＋2的对应关系不同，不是同一函数．故选B. 4．函数f(x)＝的值域是(　 ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：选D　f(x)＝＝＝1－.∵≠0，∴1－≠1.从而可知函数f(x)＝的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 5.[多选]成人心率的正常范围为60～100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速．观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后的心率，其随时间的变化如图所示，则该患者(　 ) A．服了药物后心率会马上恢复正常 B．服药后初期药物起效速度会加快 C．所服药物约15个小时后失效(服药后心率下降期间为有效期) D．一天需服用该药1至2次 解析：选BCD　服药后2小时心率恢复正常，故A错误；服药后初期心率下降速率增大，故B正确；服药15小时后心率开始回升，故C正确；服药22小时后心率过速，需再次服药，故D正确． 6．若函数f(2x－1)的定义域为[－3,1]，则y＝的定义域为(　 ) A．{1} B. C. D. 解析：选D　由题意可知－3≤x≤1，所以－7≤2x－1≤1，要使函数y＝有意义，则解得1<x≤. 7．设f(x)＝若f(m)＝f(m＋1)，则f＝(　 ) A．14 B．16 C．2 D．6 解析：选A　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，则解得m>0.若m≥1，则m＋1≥2>1，可得2(m－1)＝2m－2≠2m，不合题意；若0<m<1，则m＋1>1，可得＝2m，解得m＝.综上所述，m＝.所以f＝f(8)＝14. 8．设函数f(x)＝则f(f(－2))＝_______. 解析：∵f(－2)＝3×22＝12，∴f(f(－2))＝f(12)＝12－5＝7. 答案：7 9．函数f(x)＝的定义域为R，请写出满足题意的一个实数a的值________． 解析：因为f(x)＝的定义域为R，所以x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，由于x2≥0在R上恒成立，故实数a的取值范围为. 答案：－1(答案不唯一) 10．写出满足f(x－y)＝f(x)＋f(y)－2xy的函数的解析式：________. 解析：在f(x－y)＝f(x)＋f(y)－2xy中，令x＝y＝0，得f(0)＝0；令y＝x，得f(x－x)＝f(x)＋f(x)－2x2＝0，故f(x)＋f(x)＝2x2，得f(x)＝x2. 答案：f(x)＝x2 11．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求f，f，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值． 解：(1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴f＝＋5＝. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)函数f(x)的图象如图． 在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分； 在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分； 在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 12．分别求满足下列条件的f(x)的解析式： (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)； (3)已知f＝－1，求f(x)． 解：(1)法一：配凑法　∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 法二：换元法　令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 即f(x)＝x2－5x＋6. (2)由函数f(x)是一次函数， 可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 则解得或 ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. (3)f＝－1＝2－2，令t＝＋1，t≠1，∴f(t)＝t2－2t(t≠1)，即函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x(x≠1)． 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．已知函数f(x)满足f＝f，则f(x)可能是(　 ) A．f(x)＝x B．f(x)＝log2x C．f(x)＝2x D．f(x)＝ 解析：选D　对于A，f(x)＝x，则f＝2x，f(x＋1)＝x＋1，不满足f＝f；对于B，f(x)＝log2x，则f＝log22x＝1＋log2x，f＝log2(x＋1)，不满足f＝f(x＋1)；对于C，f(x)＝2x，则f＝22x＝4x，f(x＋1)＝2x＋1＝2×2x，不满足f＝f；对于D，f(x)＝当x∈Q时，2x∈Q，x＋1∈Q，故f＝f＝1；当x∉Q时，2x∉Q，x＋1∉Q，故f＝f＝0，即此时f(x)＝满足f＝f.故选D. 14．已知f(x)＝满足f(a)<f(－a)，则a的取值范围是(　 ) A．(－∞，－2)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,0)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：选D　当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以f(a)<f(－a)⇔a2＋2a<－a2－2a，即a2＋2a<0，解得－2<a<0；当a>0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，所以f(a)<f(－a)⇔－a2＋2a<a2－2a，即a2－2a>0，解得a>2.所以a的取值范围是(－2,0)∪(2，＋∞)． 15．若函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________． 解析：若a≤0，当x<a时，f(x)＝6－3x>6－3a≥6，当x>a时，f(x)＝4－x2≤4，故f(x)的值域不是R；若a>0，当x<a时，f(x)＝6－3x>6－3a，当x>a时，f(x)＝4－x2<4－a2，由f(x)的值域为R，得解得1<a<2. 综上所述，实数a的取值范围是(1,2)． 答案：(1,2) 16．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得解得m＝，n＝0，∴y＝＋(x≥0)． (2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70. ∵x≥0，∴0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70 km/h. 学科网（北京）股份有限公司 $$