1.6 一元二次不等式恒成立问题（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第六节　一元二次不等式恒成立问题 逐点清(一)　一元二次不等式恒成立问题 题点1　在R上恒成立 [例1]　已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　 ) A．[0,1] B．(0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选A　当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，恒成立，当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上所述，k的取值范围是[0,1]． 个性点拨　一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 题点2　在给定区间上恒成立 [例2]　已知当x>0时，不等式x2－mx＋16>0恒成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－∞，8) B．(－∞，8] C．[8，＋∞) D．(8，＋∞) 解析：选A　根据题意，当x>0时，不等式x2－mx＋16>0恒成立，则m<＝x＋，x>0恒成立，只需m<min即可．易知当x>0时，由基本不等式可得x＋≥2＝8，当且仅当x＝4时取等号，所以min＝8，即m<8，所以实数m的取值范围是(－∞，8)．故选A. [例3]　(2024·桂林模拟)若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－3] B．[－3,0] C．(－∞，1] D．[－3,1] 解析：选A　∵不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，∴令f(x)＝x2－4x，x∈[0,1]，要使关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，只要f(x)min≥m即可，∵f(x)的对称轴为x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递减，∴当x＝1时取得最小值为f(1)＝－3，则实数m的取值范围是(－∞，－3]．故选A. 个性点拨　在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 题点3　给定参数范围的恒成立 [例4]　(2024·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　 ) A．[－1,3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：选D　不等式x2＋px>4x＋p－3，可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得∴x<－1或x>3. 个性点拨 给定参数范围的恒成立问题的求解方法 给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零．同理，若f(x)<0恒成立⇔ 逐点清(二)　一元二次不等式能成立问题 [例5]　若∃x∈，使得3x2－λx＋1≤0成立是假命题，则实数λ的可能取值是(　 ) A．2 B．2 C．4 D．5 解析：选A　由题意得∀x∈，3x2－λx＋1>0成立是真命题，故3x＋>λ在x∈上恒成立，由基本不等式得y＝3x＋≥2＝2，当且仅当3x＝，即x＝∈时，等号成立，故λ<2，故选A. [例6]　若存在x∈(0,2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　若存在x∈(0,2]，由ax2－2x＋3a<0，可得a(x2＋3)<2x，则a<max，因为＝≤＝，当且仅当x＝(x>0)时，即当x＝时，等号成立，所以当x∈(0,2]时，的最大值为，故a<.故选A. 点拨·建模 在给定区间上的能成立(有解)问题的求解方法 一元二次不等式在给定区间上的有解问题，常用分离参数的方法，通过分离参数后利用a>f(x)在区间[m，n]上有解，则a>f(x)min，a<f(x)在区间[m，n]上有解，则a<f(x)max(对于a≥f(x)，a≤f(x)可类似处理)，有时也转化为求解最值问题． 逐点验收(一)　一元二次不等式恒成立问题 1．命题“∀x∈R，ax2＋2x＋3≠0”是假命题，则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　“∀x∈R，ax2＋2x＋3≠0”是假命题，则其否定“∃x∈R，ax2＋2x＋3＝0”是真命题，若a≠0，则Δ＝4－12a≥0⇒a≤，即a∈(－∞，0)∪，符合题意；若a＝0，显然∃x∈R，ax2＋2x＋3＝0，符合题意．综上，a≤.故选B. 2．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－5] B．(－∞，－4) C．(－∞，5) D．[5，＋∞) 解析：选A　当x∈(1,2)时，由x2＋mx＋4<0得m<－，则m<min.令f(x)＝＝x＋，则根据对勾函数单调性知，f(x)在(1,2)上是减函数，所以x∈[1,2]时，f(x)max＝f(1)＝5，则min>－5，所以m的取值范围是(－∞，－5]．故选A. 3．当a∈(t1，t2)时，不等式<3对任意实数x恒成立，则t1＋t2的值为(　 ) A．－7 B．6 C．7 D．8 解析：选B　由于1－x＋x2＝2＋>0，则不等式<3等价于4x2＋(a－3)x＋1>0，依题意，不等式4x2＋(a－3)x＋1>0对任意实数x恒成立，则Δ＝(a－3)2－16<0，解得－1<a<7，于是t1＝－1，t2＝7，所以t1＋t2＝6.故选B. 4．已知a∈[－1,2]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________________． 解析：设f(a)＝(x－2)·a＋x2－4x＋4， 则即 解得x<0或x>3. 答案：(－∞，0)∪(3，＋∞) 逐点验收(二)　一元二次不等式能成立问题 5．存在x∈[0,3]，使得不等式x2－4x－a≥0成立，则实数a的取值范围为(　 ) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[－3,0] D．[0,3] 解析：选B　存在x∈[0,3]，使得不等式x2－4x－a≥0成立，等价于a≤(x2－4x)max.令y＝x2－4x，x∈[0,3]，当x＝0时，ymax＝0，所以a≤0.故选B. 6．已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　当x∈(0,2]时，不等式可化为ax＋<2.当a＝0时，不等式为0<2，满足题意；当a>0时，不等式化为x＋<，则>x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，要使x＋<有解，只需>min即可，即>2，a<，故0<a<；当a<0时，x＋>在(0,2]上恒成立．综上所述，实数a的取值范围是.故选A. 7．已知函数f(x)＝mx2－mx－1，若存在x∈[1,3]，使f(x)＜5－m成立，求实数m的取值范围． 解：由题意，可转化为存在x∈[1,3]，使m<成立．因为函数y＝＝在[1,3]上的最大值为6，所以只需m＜6即可，故m的取值范围是(－∞，6)． 8．已知函数f(x)＝x2－x＋1. (1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意得Δ＝－4≤0，解得－4≤a≤4， ∴实数a的取值范围为[－4,4]． (2)由题意∃x∈[1,2]，使得≤x－成立．令g(x)＝x－，x∈[1,2]，则g(x)在区间[1,2]上单调递增，∴g(x)max＝g(2)＝，∴≤，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(－∞，3]． 细节、微点提醒 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．若不等式kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　 ) A．(－3,0) B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0] 解析：选D　当k＝0时，－<0恒成立，即有k＝0，符合题意；当k≠0时，解得－3<k<0，所以实数k的取值范围是(－3,0]．故选D. 2．关于x的不等式mx2＋2mx＋1<0的解集为空集，则m的取值范围为(　 ) A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1] D．[0,1) 解析：选C　当m＝0时，不等式化为1<0，解集为空集，符合题意．当m≠0时，要使不等式mx2＋2mx＋1<0的解集为空集，则需解得0<m≤1.综上所述，m的取值范围是[0,1]． 3．设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则a的取值范围为(　 ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C. D. 解析：选C　由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，得≥a在1≤x≤2上有解，则a≤max，由于＝x＋，而y＝x＋在[1,2]上单调递增，故当x＝2时，x＋取得最大值，故a≤. 4．若存在实数x，使得mx2－(m－2)x＋m<0成立，则实数m的取值范围为(　 ) A．(－∞，2) B．(－∞，0]∪ C. D．(－∞，1) 解析：选C　①当m＝0时，不等式化为2x<0，解得x<0，符合题意；②当m>0时，y＝mx2－(m－2)x＋m为图象开口方向向上的二次函数，只需Δ＝(m－2)2－4m2＝－3m2－4m＋4>0，即0<m<；③当m<0时，y＝mx2－(m－2)x＋m为图象开口方向向下的二次函数，则必存在实数x，使得mx2－(m－2)x＋m<0成立．综上所述，实数m的取值范围为. 5．若关于x的不等式x2－6x＋11－a≤0在区间(2,5)内有解，则实数a的取值范围是(　 ) A．[6，＋∞) B．(6，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选C　由关于x的不等式x2－6x＋11－a≤0在区间(2,5)内有解，得a≥x2－6x＋11在区间(2,5)内有解，从而a大于x2－6x＋11在区间(2,5)的最小值．令f(x)＝x2－6x＋11，x∈(2,5)，函数图象抛物线开口向上，对称轴方程为x＝3，则f(x)在(2,3)上单调递减，在(3,5)上单调递增，则f(x)min＝f(3)＝9－18＋11＝2，得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)． 6．对于所有的正实数x，y，都有x＋≤a(x＋y)成立，则整数a的最小值为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　由题设1＋≤a，令t＝>0，则1＋t≤a(1＋t2)⇒at2－t＋a－1≥0，所以f(t)＝at2－t＋a－1≥0，在t∈(0，＋∞)上恒成立，当a＝0时，则f(t)＝－t－1<0，不满足题设；当a≠0时，f(t)的对称轴为t＝，只需可得a≥.综上，a≥，故整数a的最小值为2.故选B. 7．已知命题p：任意1≤x≤2，x2－a≥0，命题q：关于x的不等式x2＋2ax＋2－a≤0有解，若命题p、命题q一真一假，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－2,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2]∪{1} D．(－2,1)∪(1，＋∞) 解析：选D　当命题p为真时，即∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即当x∈[1,2]时，a≤(x2)min，又当x＝1时，x2取最小值1，即得a≤1，当命题q为真时，即关于x的不等式x2＋2ax＋2－a≤0有解，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≤－2或a≥1，又命题p，q一真一假，当p真q假时，即所以－2<a<1，当p假q真时，即所以a>1.故实数a的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)． 8．(2024·芜湖模拟)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由已知得解得0<m<4.综上，实数m的取值范围是[0,4)． 答案：[0,4) 9．(2024·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________． 解析：∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，∴a≥－恒成立，又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，∴－≤－4，∴a≥－4，故a的最小值为－4. 答案：－4 10．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2ax＋3>0都成立，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋a＋2＝0，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：∵命题p是真命题，∴∀x∈R，ax2＋2ax＋3>0都成立，当a＝0时，3>0恒成立；当a≠0时，由解得0<a<3.∴由命题p是真命题知0≤a<3.∵命题q是真命题，∴∃x∈R，x2＋2ax＋a＋2＝0，∴Δ＝4a2－4(a＋2)≥0，即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.∴由命题q是真命题知a≤－1或a≥2.∵命题p，q都是真命题，∴2≤a<3.∴实数a的取值范围是[2,3)． 答案：[2,3) 11．已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(－1,2]上恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立， 则Δ＝(－3)2－4a<0，得a>， 所以实数a的取值范围是. (2)由题意知，a<－x2＋3x在x∈(－1,2]上恒成立，则a<(－x2＋3x)min，－x2＋3x＝－2＋，当x∈(－1,2]时，－x2＋3x的范围为，所以a≤－4，则实数a的取值范围是(－∞，－4]． 12．关于x的不等式－x2＋(a＋3)x－3a>0，a∈R. (1)若a＝2，求不等式的解集． (2)若∃x∈(3，＋∞)时，不等式－x2＋(a＋3)x－3a≥4有解，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，－x2＋5x－6>0，即x2－5x＋6<0，(x－2)(x－3)<0，解得2<x<3，所以不等式的解集为(2,3)． (2)由－x2＋(a＋3)x－3a≥4，得－x2＋ax＋3x－3a≥4，a(x－3)≥x2－3x＋4，因为∃x∈(3，＋∞)时，不等式－x2＋(a＋3)x－3a≥4有解，所以当x>3时，a≥＝＝(x－3)＋＋3有解，因为x>3，所以x－3>0， 所以(x－3)＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x－3＝，即x＝5时取等号， 所以a≥7，即实数a的取值范围为[7，＋∞)． 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．若不等式10xy≤ax2＋2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，则实数a的取值范围是(　 ) A．[8，＋∞) B．[12，＋∞) C. D. 解析：选D　因为不等式10xy≤ax2＋2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，所以a≥－22＋10对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，令t＝，因为1≤x≤2及2≤y≤3，所以1≤t≤3，则a≥－2t2＋10t在上恒成立，因为g(t)＝－2t2＋10t＝－22＋的对称轴为t＝∈，所以g(t)的最大值为g＝，所以a≥，所以实数a的取值范围是. 14．已知0<θ<，若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，则实数m应满足的条件是________． 解析：∵cos2θ＋2msin θ－2m－2<0，∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0.设x＝sin θ(0<x<1)，f(x)＝－x2＋2mx－2m－1.由题意可知，当0<x<1时，f(x)<0恒成立．当对称轴x＝m≤0时，f(x)在x∈(0,1)上单调递减，则f(x)<f(0)＝－2m－1≤0，即－≤m≤0，当对称轴0<x＝m<1时，f(x)≤f(m)＝－m2＋2m2－2m－1＝m2－2m－1<0，解得1－<m<1＋，即0<m<1，当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，则f(x)<f(1)＝－1＋2m－2m－1＝－2<0，即m≥1.综上所述，m≥－. 答案：m≥－ 15．已知函数f(x)＝x2－(a＋6)x＋6(a∈R)． (1)若∀x∈[1,4]，f(x)＋a＋8≥0恒成立，求a的取值范围； (2)已知g(x)＝mx＋7－3m，当a＝1时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意得，x2－ax－6x＋6＋a＋8≥0对于∀x∈[1,4]恒成立，∴ax－a≤x2－6x＋14，即a(x－1)≤x2－6x＋14在x∈[1,4]恒成立． ①当x＝1时，0≤1－6＋14＝9，恒成立． ②当x≠1时，此时x∈(1,4]， 则a≤＝＝(x－1)＋－4在x∈(1,4]恒成立． ∴a≤(x－1)＋－4在x∈(1,4]上的最小值， ∵(x－1)＋－4≥2－4＝2，当且仅当x－1＝，即x＝4时取等号，∴a≤2.故a的取值范围为(－∞，2]． (2)当a＝1时，f(x)＝x2－7x＋6， 当x∈[1,4]时，f(x)＝2－， 则f(x)的值域为， ∵对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)＝g(x2)成立， ∴f(x)的值域为g(x)值域的子集． ∵g(x)＝mx＋7－3m， ∴①当m>0时，g(x)∈[7－2m，m＋7]， 则 ②当m<0时，g(x)∈[m＋7,7－2m]， 则 ③当m＝0时，g(x)＝7，不符合题意． 综上，m≥或m≤－. 故m的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$