1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 课标要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. [系统主干知识] 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2．分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式 (1)|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)； (2)|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)； [细作教材小题] 1．(苏教版必修一P67·T5改编)已知集合A＝{0,1,2,4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　 ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,4} C．{0,1} D．{2,4} 解析：选D　由题意得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，∴A∩B＝{2,4}，故选D. 2．(人教B版必修一P75·T3改编)不等式≥0的解集为(　 ) A．{x|x≥1或x≤－1} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<－1} D．{x|－1≤x<1} 解析：选D　不等式等价于≤0，即(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，解得－1≤x<1，故不等式的解集为{x|－1≤x<1}． 3．(人教A版必修一P58·T6改编)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对于一切x∈R恒成立，则k的取值范围为(　 ) A．(－3,0) B．(－∞，－3)∪(0，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：选A　依题意可得k≠0，∵不等式2kx2＋kx－<0对于一切x∈R恒成立，∴k<0且Δ＝k2－4×2k×<0，解得－3<k<0，故k的取值范围是(－3,0)． 4．(北师大版必修一P41·T1改编)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集是，则a＋b的值是________． 解析：由题意知－，是ax2＋bx＋1＝0的两根，由根与系数的关系得 则a＝－12，b＝－1.所以a＋b＝－13. 答案：－13 逐点清(一)　不含参数的不等式的解法 [例1]　不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　 ) A. B．(－∞，－1)∪ C. D.∪(1，＋∞) 解析：选B　－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，所以x<－1或x>. [例2]　(2024·南昌模拟)已知集合A＝，B＝{x|x2＋x－2>0}，则A∩B＝(　 ) A．(－∞，2) B．(－2,2) C．(1,2) D．(－∞，1) 解析：选C　由<0，解得0<x<2， 所以A＝(0,2)，由x2＋x－2>0， 解得x>1或x<－2， 故B＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)， 故A∩B＝(1,2)，故选C. 点拨·建模 解不含参的一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 逐点清(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [例3]　已知关于x的不等式mx2＋(1－m)x＋m－2<m－1. (1)当m＝2时，求该不等式的解集； (2)当m∈R时，求该不等式的解集． 解：(1)当m＝2时，2x2－x－1<0， 所以(2x＋1)(x－1)<0⇒－<x<1， 故不等式的解集为. (2)不等式mx2＋(1－m)x＋m－2<m－1变形为(mx＋1)(x－1)<0，当m＝0时，不等式为x－1<0⇒x<1，当m>0时，不等式可化为(x－1)<0，解得－<x<1，当－1<m<0时，－>1，不等式可化为(x－1)>0，解得x>－或x<1，当m<－1时，－<1，不等式可化为(x－1)>0，解得x<－或x>1，当m＝－1时，不等式可化为(x－1)2>0，解得x≠1. 综上可知，当m＝0时，不等式的解集为{x|x<1}， 当m>0时，不等式的解集为， 当－1<m<0时，不等式的解集为，当m<－1时，不等式的解集为，当m＝－1时，不等式的解集为{x|x≠1}． 点拨·建模　求解含参的不等式，分类讨论的原则 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． [提醒]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况． 逐点清(三)　三个二次之间的关系 [例4]　[多选]关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－1,2)，则下列结论正确的是(　 ) A．a<0 B．关于x的不等式bx＋c>0的解集为(－∞，－2) C．4a－2b＋c>0 D．关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集为 解析：选BC　由已知可得a>0且－1,2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以A不正确；由根与系数的关系可得解得 则不等式bx＋c>0可化为－ax－2a>0，即x＋2<0，所以x<－2，所以B正确；因为4a－2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a>0，所以C正确；不等式cx2－bx＋a>0可化为－2ax2＋ax＋a>0，化为2x2－x－1<0，解不等式得－<x<1，故不等式cx2－bx＋a>0的解集为，所以D不正确．故选BC. [例5]　[多选]已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，则下列说法正确的是(　 ) A．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个充分条件是m>1 C．方程有两个正根的充要条件是0<m≤1 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0 解析：选CD　当m＝3时，方程为x2＋3＝0，此时方程无解，所以A错误；当方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实根时，Δ＝(m－3)2－4m<0，得1<m<9，所以m>1是方程无实数根的一个必要条件，所以B错误；当方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正根时，解得0<m≤1，反之也成立，所以方程有两个正根的充要条件是0<m≤1，所以C正确；当方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一个正根和一个负根时，解得m<0，反之也成立，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0，所以D正确．故选CD. 点拨·建模　不等式的解集与相应方程根的关系 (1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值； (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以代入根或利用根与系数的关系求待定系数． 逐点验收(一)　一元二次不等式的解法 1．(2024·黔东南模拟)设集合A＝{x|x2－5x＋4>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于(　 ) A．(－∞，1) B．(－2,1) C．(－3，－1) D．(3，＋∞) 解析：选A　由x2－5x＋4>0，得x>4或x<1，即A＝{x|x>4或x<1}，B＝{x|x<3}，所以A∩B＝{x|x<1}＝(－∞，1)．故选A. 2．设x∈R，则“0≤x≤3”是“≤0”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　由≤0⇒解得0≤x＜2，由于0≤x＜2是0≤x≤3的真子集，故“0≤x≤3”是“≤0”的必要不充分条件． 3．[多选]若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围可以为(　 ) A．{a|4≤a<5} B．{a|－3<a≤－2} C．{a|4<a≤5} D．{a|－3≤a<－2} 解析：选CD　原不等式可等价为(x－a)(x－1)<0，不等式解集中恰有3个整数，当a＝1时，x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，原不等式无解；当a>1时，4<a≤5；当a<1时，－3≤a<－2.所以实数a的取值范围是{a|－3≤a<－2或4<a≤5}．故选CD. 4．解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0. 解：当a＝0时，－x＋1<0，解得x>1，不等式的解集为{x|x>1}；当a≠0时，分解因式a(x－1)<0，当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，不等式的解集为；当a>0时，原不等式化为(x－1)<0，当0<a<1时，1<，不等式的解集为；当a>1时，<1，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅.综上所述，当a<0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为. 逐点验收(二)　三个二次之间的关系 5．[多选]已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则(　 ) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－8 C．－2<x1<x2<4 D．x2－x1>6 解析：选ABD　因为关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两根，所以x1＋x2＝2，A正确；x1x2＝a－8<－8，B正确；所以x2－x1＝＝2>6，D正确；由x2－x1>6，可得－2<x1<x2<4是错误的，即C错误．故选ABD. 6．若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，则不等式cx2＋2x＋a≤0的解集是(　 ) A. B．[－3,2] C．[－2,3] D. 解析：选B　因为不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，所以－，是方程ax2＋2x＋c＝0的两根，所以所以故cx2＋2x＋a≤0即2x2＋2x－12≤0，也即x2＋x－6≤0，所以(x＋3)(x－2)≤0，所以－3≤x≤2，所以不等式cx2＋2x＋a≤0的解集是[－3,2]．故选B. 7．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0解集为(x1，x2)，且x－x＝15，求实数a的值． 解：∵x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)， ∴x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的解． ∴x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 又x－x＝15，∴(x－x)2＝225. ∴[(x1＋x2)2－2x1x2]2－4(x1x2)2＝225. ∴144a4＝225，∴a2＝. 根据不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)， 又x－x＝15，可得x1<x2且|x1|>|x2|， 故二次函数y＝x2－2ax－8a2的对称轴在y轴左侧，即a<0，∴a＝－. [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．若A＝{x|x2－5x＋6≥0}，B＝，则(∁RA)∩B＝(　 ) A．{x|2<x<3} B．{x|1≤x<3} C．{x|1<x≤5} D．{x|2≤x≤3} 解析：选A　由x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)≥0，解得x≤2或x≥3，即A＝{x|x≤2或x≥3}，又由不等式≤0，解得1<x≤5，即B＝{x|1<x≤5}，可得∁RA＝{x|2<x<3}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3}．故选A. 2．关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x－2m＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－2)∪(－2,0) 　 B．(－∞，2) C．(0,2)∪(2，＋∞) 　 D．(－2，＋∞) 解析：选A　因为方程x2＋(m－2)x－2m＝0有两个不相等的正实数根，所以 解得m<0且m≠－2.故选A. 3．已知条件p：(x－m)(x－m－3)>0；条件q：x2＋3x－4<0，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－7)∪(1，＋∞) B．(－∞，－7]∪[1，＋∞) C．(－7,1) D．[－7,1] 解析：选B　由q：x2＋3x－4<0，得－4<x<1，由p：(x－m)(x－m－3)>0，得x<m或x>m＋3，因为q是p的充分不必要条件，所以m＋3≤－4或m≥1，解得m∈(－∞，－7]∪[1，＋∞)．故选B. 4．已知不等式x2－ax＋1<0的解集为{x|x1<x<x2}，且(x1－1)2＋(x2－1)2＝3，则a＝(　 ) A．－1 B．1 C．3 D．－1或3 解析：选C　不等式x2－ax＋1<0的解集为{x|x1<x<x2}，则x1和x2是方程x2－ax＋1＝0的两根，则Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2，有x＋1＝ax1，x＋1＝ax2，x1＋x2＝a，x1x2＝1，(x1－1)2＋(x2－1)2＝x－2x1＋1＋x－2x2＋1＝ax1－2x1＋ax2－2x2＝(a－2)(x1＋x2)＝a(a－2)＝3，即a2－2a－3＝0，解得a＝3.故选C. 5．[多选]若x2－x－2<0是－2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选CD　由不等式x2－x－2＝(x－2)(x＋1)<0，解得－1<x<2，设为集合A＝(－1,2)，因为x2－x－2<0是－2<x<a的充分不必要条件，设集合B＝(－2，a)，可得集合A是B的真子集，所以a≥2，结合选项，可得C、D项符合题意．故选CD. 6．[多选]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　 ) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 解析：选AC　关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向向上，即a>0，故A正确；且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－3,4，由根与系数的关系得解得bx＋c>0⇔－ax－12a>0，由于a>0，所以x<－12，所以不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－12}，故B不正确；因为所以cx2－bx＋a<0，即－12ax2＋ax＋a<0，所以12x2－x－1>0，解得x<－或x>，所以不等式cx2－bx＋a<0的解集为，故C正确；a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故D不正确．故选AC. 7．(2024·苏州质检)已知关于x的不等式ax2＋bx＋1>0的解集为(－∞，m)∪，其中m<0，则＋的最小值为(　 ) A．－2 B．2 C．2 D．3 解析：选D　因为ax2＋bx＋1>0的解集为(－∞，m)∪，所以a>0，且m，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，所以m·＝，得a＝1，所以m＋＝－＝－b，即b＝－，当m<0时，b＝－＝－m＋≥2＝2，当且仅当m＝，即m＝－1时取等号，令f(b)＝＋＝b＋(b≥2)，由对勾函数的性质可知函数f(b)在(2，＋∞)上单调递增，所以f(b)≥f(2)＝2＋1＝3，＋的最小值为3.故选D. 8．已知关于x的一元二次不等式ax2＋4x＋3>0的解集为{x|b<x<1}，则a－b＝________. 解析：由题意可知，关于x的一元二次方程ax2＋4x＋3＝0的根为b,1(b<1)，且a<0，可得解得所以a－b＝(－7)－＝－. 答案：－ 9．若不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}，则不等式>0的解集为________． 解析：因为不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}，所以且a<0，解得所以>0可转化为>0⇔<0，解得<x<2. 答案： 10．关于x的不等式ax2＋(1－2a2)x－2a<0的解集中恰有3个正整数解，则a的取值范围为________． 解析：①当a＝0时，不等式化为x<0，则解集中有无数个整数，不满足题意，当a≠0时，不等式ax2＋(1－2a2)x－2a<0的解集中恰有3个正整数解即为不等式(ax＋1)(x－2a)<0的解集中恰有3个正整数解，②当a<0时，不等式(ax＋1)(x－2a)<0的解集中有无数个正整数，不满足题意，③当a>0时，－<0,2a>0，所以－<2a，所以不等式的解集为，由解集知0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个正整数一定为1,2,3，则3<2a≤4⇒<a≤2. 答案： 11．设x1，x2为关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0的两实数根． (1)若x1，x2满足x＋x＝18，试求m的值； (2)若x1，x2是均大于0的不等实数根，求m的取值范围． 解：(1)依题意，Δ＝4(m＋2)2－4(m2－1)≥0，∴m≥－，由根与系数的关系得x1＋x2＝2(m＋2)，x1x2＝m2－1，又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝18，则4(m＋2)2－2(m2－1)＝18，解得m＝0或m＝－8，∵m≥－，∴m＝0. (2)依题意Δ>0，∴m>－.又x1>0，x2>0， ∴即解得m∈(1，＋∞)∪. 12．已知关于x的不等式ax2＋ax－x－1>0. (1)若此不等式的解集为{x|－2<x<－1}，求实数a的值； (2)若a∈R，解这个关于x的不等式． 解：(1)由题意不等式的解集为{x|－2<x<－1}，则x1＝－2，x2＝－1为方程ax2＋ax－x－1＝0⇔ax2＋(a－1)x－1＝0的两实数根，且a<0，由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－＝－3⇒a＝－，x1x2＝－＝2⇒a＝－，所以实数a＝－. (2)当a＝0时，不等式ax2＋ax－x－1>0化为－x－1>0⇒x<－1，此时解集为(－∞，－1)， 当a≠0时，不等式ax2＋ax－x－1>0化为(ax－1)(x＋1)>0，此时方程(ax－1)(x＋1)＝0的两实数根为x1＝，x2＝－1，当a>0时，不等式可化为(x＋1)>0，其解集为(－∞，－1)∪，当a<0时，不等式可化为(x＋1)<0，当a＝－1时，不等式的解集为∅，当－1<a<0时，<－1，不等式的解集为，当a<－1时，－1<，不等式的解集为.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪，当a＝－1时，不等式的解集为∅，当－1<a<0时，不等式的解集为，当a<－1时，不等式的解集为. 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．[多选]已知关于x的方程mx2－mx＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<x2，则下列说法正确的是(　 ) A．m<0或m>4 B．若x1<0，则关于x的不等式mx2－mx＋1>0的解集为{x|x1<x<x2} C．若x1>0，则＋－(x1－x2)2的最小值为3 D．若x1<0，则函数y＝mx2－mx＋1在x＝时取得最大值 解析：选ABD　易知m≠0且Δ＝m2－4m>0，所以m<0或m>4，故A正确；因为x1＋x2＝1，x1x2＝，x1<0，所以x2>0，m<0，所以关于x的不等式mx2－mx＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，故B正确；因为x1>0，所以x2>0，m>0，则x1x2＝≤2＝，又x1≠x2，所以<，解得m>4，＋－(x1－x2)2＝－(x1＋x2)2＋4x1x2＝－1＋4x1x2＝m＋－1≥3，当且仅当m＝2时，等号成立，故C错误；因为x1<0时，m<0，二次函数y＝mx2－mx＋1的图象开口向下，且对称轴为直线x＝，所以当x＝时，二次函数y＝mx2－mx＋1取得最大值，故D正确．故选ABD. 14．若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是________． 解析：当m＝0时，方程为2x＋2＝0，有一个负根，当m≠0时，mx2＋2x＋2＝0为一元二次方程，关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负根，设根为x1，x2，当Δ＝4－8m＝0，即m＝时，方程为x2＋2x＋2＝0，解得x＝－2，满足题意，当Δ＝4－8m>0，即m<时，且m≠0时，若有一个负根，则x1x2＝<0，解得m<0，若有两个负根，则解得0<m<.综上所述，实数m的取值范围是. 答案： 15．已知y＝kx2－2kx＋2k－1. (1)若关于x的不等式y≥4k－2的解集为R，求实数k的取值范围； (2)方程y＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ①是否存在实数k使x＋x＝3x1x2－4成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； ②若x1，x2均大于零，试求k的取值范围． 解：(1)由y≥4k－2可得kx2－2kx－2k＋1≥0，又不等式解集为R，即kx2－2kx－2k＋1≥0恒成立，当k＝0时，原不等式为1≥0，满足题意； 当k≠0时，只需k>0且Δ＝4k2－4k(－2k＋1)＝12k2－4k≤0，解得0<k≤.综上，0≤k≤.故k的取值范围为. (2)由题意，kx2－2kx＋2k－1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则Δ＝4k2－4k(2k－1)>0，即k2－k<0，解得0<k<1，则x1＋x2＝2，x1x2＝2－. ①若存在k满足条件，则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝3x1x2－4，即8＝5x1x2＝10－，解得k＝，不满足0<k<1， 故不存在k使x＋x＝3x1x2－4成立． ②若x1，x2均大于零，则只需x1x2＝2－>0， 解得k<0或k>，又0<k<1，所以<k<1. 故k的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$