1.4 基本不等式（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第四节　基本不等式 课标要求： 1.会用基本不等式解决简单的最值问题． 2.理解基本不等式在实际问题中的应用． [系统主干知识] 1．基本不等式： ≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab，a，b∈R； (2)＋≥2，ab>0； (3)ab≤2，a，b∈R； (4)≥2，a，b∈R. 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. [提醒]　利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． [细作教材小题] 1．(苏教版必修一P61·T1)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　 ) A．4 B．4 C．9 D．18 解析：选D　因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2，得m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时等号成立，所以m＋n的最小值是18. 2．(北师大版必修一P45·T1(4))已知a>b>0，则下列不等式成立的是(　 ) A．a>>>b B．a>b>> C．a>>b> D．a>>>b 解析：选A　因为a>b>0，所以a>，>b，又根据基本不等式可得，>，所以a>>>b. 3．(苏教版必修一P61·T2)若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是(　 ) A．5 B．10 C．10 D．20 解析：选D　设直角三角形的两条直角边边长为a，b，则a>0，b>0，直角三角形的面积为ab＝50，故ab＝100，则两条直角边的和a＋b≥2＝2＝20，当且仅当a＝b＝10时等号成立，故两条直角边的和的最小值是20. 4．(人教A版必修一P46·T3改编)当x＝________时，x2＋取得最小值________． 解析：x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，则x2＋的最小值为2. 答案：±1　2 5．(人教A版必修一P48·T1(1)改编)已知x>1， 则x＋的最小值为________． 解析：因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝1，即x＝2时，等号成立． 答案：3 逐点清(一)　利用基本不等式求最值 方法1　配凑法 [例1]　(2024·岳阳模拟)[多选]下列说法正确的是(　 ) A．若x<，则2x＋的最大值是－1 B．若x>－2，则≥4 C．设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为9 D．若x<1，则有最大值－5 解析：选ABD　对于A，因为x<，所以2x－1<0,1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，此时2x＋有最大值为－1，故A正确；对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，故B正确；对于C，y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时等号成立，所以当x＝时，ymax＝，故C错误；对于D，＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时等号成立，故D正确．故选ABD. 个性点拨　配凑法的使用原则 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法． 方法2　常数代换法 [例2]　已知x>0，y>0，若x＋y＝xy，则2x＋y的最小值是(　 ) A．2 B．4 C．3＋2 D．3＋4 解析：选C　由题意，x>0，y>0，x＋y＝xy，∴＋＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)＝2＋＋＋1≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即x＝＋1，y＝＋1时等号成立，故选C. [例3]　已知a，b>0，且a，b为一元二次方程x2－2x＋c＝0的两根，则＋的最小值为________． 解析：由a和b为一元二次方程x2－2x＋c＝0的两根，得a＋b＝2，则＋＝·(a＋b)＝·≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以＋的最小值为. 答案： 个性点拨　常数代换法的使用原则 常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值． 方法3　消元法 [例4]　(2024·合肥模拟)已知x>0，y>0，满足x2＋2xy－1＝0，则3x＋2y的最小值是(　 ) A. B. C．2 D．2 解析：选D　由x2＋2xy－1＝0，得y＝，而x>0，y>0，则有0<x<1，因此3x＋2y＝3x＋＝2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取“＝”，所以3x＋2y的最小值为2.故选D. 个性点拨　利用消元法求最值的技巧 消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围． 逐点清(二)　利用基本不等式解决实际问题 [例5]　为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：P＝(x∈R,0≤x≤8)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和． (1)求m的值及用x表示S； (2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值． 解：(1)依题意，每年的能源消耗费用为P＝，而当x＝0时，P＝9，则＝9，解得m＝15，显然建造费用为8x，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为S＝40P＋8x＝40×＋8x＝＋8x(0≤x≤8)． (2)由(1)知S＝＋8x＝＋2(4x＋5)－10≥2－10＝2×60－10＝110， 当且仅当＝2(4x＋5)，即x＝6.25时取等号， 所以当隔热层的厚度为6.25 cm时，总费用S取得最小值110万元． 点拨·建模 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 逐点清(三)　基本不等式的综合应用 [例6]　已知f(x)＝ex，若a>0，b>0，且f·f(2b)＝e2，则＋的最小值为(　 ) A．9 B. C．3 D．1 解析：选B　因为f(x)＝ex，若a>0，b>0，且f·f(2b)＝e2，所以f·f＝ea＋2b＝e2⇒a＋2b＝2，则＋＝＝≥＝，当且仅当a＝b＝时取等号． [例7]　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，∵1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝x时，等号成立，∴a＋2＋1≥9，∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.故选B. 点拨·建模 (1)对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值； (2)利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围． 逐点验收(一)　利用基本不等式求最值 1．已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　 ) A．2 B．2＋2 C．2 D.＋2 解析：选D　由题意可知，x－2>0，∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，∴函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2. 2．已知函数y＝(x<1)，当x＝a时，y取最大值b，则a＋b的值为(　 ) A．8 B．－4 C．4 D．0 解析：选B　因为x<1，所以1－x>0，所以y＝＝x＋＝x－1＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－3，当且仅当1－x＝，即x＝－1时等号成立，所以当x＝－1时，y取最大值－3，即a＝－1，b＝－3，所以a＋b＝－4.故选B. 3．(2024·东莞模拟)[多选]若a>0，b>0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(　 ) A.的最大值为2 　 B.＋的最大值为2 C.＋b2的最小值为4 　 D.＋的最小值为2 解析：选AC　对于A，∵a>0，b>0，∴ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故≤2，故A正确；对于B，(＋)2＝a＋b＋2＝4＋2≤4＋2×2＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故＋≤2，故B错误；对于C，由题意得b＝4－a>0，∴0<a<4，＋b2＝＋(4－a)2＝a2－8a＋16，根据二次函数的性质可知，当a＝3时，上式取得最小值4，故C正确；对于D，∵a＋b＝4，a>0，b>0，∴＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故D错误．故选AC. 4．(2024·郑州模拟)设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　 ) A．4 B．2 C．3 D．1 解析：选D　因为正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则z＝x2＋y2－xy，所以＝＝≤＝1，当且仅当＝，即x＝y时，等号成立，故的最大值为1. 逐点验收(二)　利用基本不等式解决实际问题 5.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH＝2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm)，设EF＝x cm. (1)当x＝60时，求海报纸(矩形ABCD)的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 解：(1)设阴影部分直角三角形的高为y cm，所以阴影部分的面积S＝6×xy＝3xy＝36 000，所以xy＝12 000，又x＝60，故y＝200，由题图可知AD＝y＋20＝220 cm，AB＝3x＋50＝230 cm.海报纸的周长为2×(220＋230)＝900 cm.故海报纸的周长为900 cm. (2)由(1)知xy＝12 000，x>0，y>0，SABCD＝(3x＋50)(y＋20)＝3xy＋60x＋50y＋1 000≥3xy＋2＋1 000＝49 000，当且仅当6x＝5y，即x＝100 cm，y＝120 cm时等号成立，此时，AB＝350 cm，AD＝140 cm.故选择矩形的长、宽分别为350 cm,140 cm的海报纸，可使用纸量最少． 逐点验收(三)　基本不等式的综合应用 6．(2024·安庆联考)已知函数f(x)＝log2(ax＋b)(a>0，b>0)恒过定点(2,0)，则＋的最小值为(　 ) A．2＋1　　B．2　 　C．3　　　D.＋2 解析：选A　由题意可知2a＋b＝1，则＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当a＝，b＝－1时取等号，所以＋的最小值为2＋1，故选A. 7．函数f(x)＝2x－＋ln x，若f(m)＋f＝0，则3m＋的最小值为(　 ) A．2 B．4 C．2 D．1 解析：选C　由f′(x)＝2＋＋>0得函数f(x)单调递增，由f(x)＝－2·＋－ln＝－f，∴f(x)＋f＝0，则＝，即m＝n2,3m＋＝3n2＋≥2＝2，当且仅当n2＝时，等号成立，故选C. 8．已知正实数a，b满足ab＝3－a－b，若3a＋2b≥m恒成立，则m的最大值为(　 ) A．4－5　 B．5　　C.－5　 D．3 解析：选A　由ab＝3－a－b得，＝ab＋a＋b＋1＝4，又a>0，b>0，∴a＋1>1，b＋1>1，∴3a＋2b＝3＋2－5≥2－5＝4－5，当且仅当3(a＋1)＝2，即a＝－1，b＝－1时取等号，∴m≤4－5，则m的最大值为4－5. 细节、微点提醒 基本不等式链 若a＞0，b＞0，则≤≤≤ .其中和 分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．要根据题目需要选择合适的形式． [课时跟踪检测] 一、强基训练，提高自信心 1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　 ) A．a＋b≥2 B.＋≥2 C.≥2 D．a2＋b2>2ab 解析：选C　因为和同号，所以＝＋≥2＝2. 2．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　 ) A．6 B．8 C．4 D．11 解析：选B　∵a2＋b2＝13，∴a≤＝8，当且仅当a＝时等号成立． 3．已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是(　 ) A．1 B．30 C．60 D．15 解析：选C　由x>0，y>0，＋＝1，得1＝＋≥2，则xy≥60，当且仅当＝＝，即x＝10，y＝6时取等号，所以当x＝10，y＝6时，xy取得最小值60.故选C. 4．(2023·武汉二模)已知正实数x，y，则“x＋y＝1”是“＋≥4”的(　 ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以充分性成立，当x＝y＝时，＋≥4，此时x＋y≠1，所以必要性不成立．故选B. 5．若对x>0，y>0，有(x＋2y)·≥m恒成立，则m的取值范围是(　 ) A．(－∞，4] B．(4，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，8] 解析：选D　因为x>0，y>0，所以(x＋2y)·＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当2y＝x时取等号，所以m≤8，故选D. 6．设x>0，则函数y＝－的最小值为(　 ) A．0 B. C．－1 D. 解析：选C　设2x＋1＝t，t>1，则x＝，y＝－＝－＝＋－3≥2－3＝－1，当且仅当＝，即t＝2，x＝时等号成立．故选C. 7．[多选]已知a>0，b>0，且a＋b＝ab，则(　 ) A．(a－1)(b－1)＝1 B．ab的最大值为4 C．a＋4b的最小值为9 　 D.＋的最小值为 解析：选ACD　由a＋b＝ab，得a(b－1)－b＋1＝1，即(a－1)(b－1)＝1，故A正确；ab＝a＋b≥2，当且仅当a＝b＝2时取等号，解得ab≥4，故B错误；由a＋b＝ab变形可得＋＝1，所以a＋4b＝(a＋4b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝2b且a＋b＝ab，即a＝3，b＝时取等号，故C正确；由a＋b＝ab，得a＝，b>1，所以＋＝＋＝－＋1＝32＋，因为<1，所以＝，即b＝3，a＝时，＋取最小值，故D正确．故选ACD. 8．(2023·济南三模)已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为________． 解析：由题设，＋≥2＝＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立． 答案：3 9．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg，则2ab的最小值为__________． 解析：∵lg a＋lg b＝lg ab＝lg(a＋b)，∴ab＝a＋b≥2，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴ab≥4，从而2ab≥8，即2ab的最小值是8. 答案：8 10．已知x，y均为正数，x＋2y＝a，若xy的最大值为b，且1≤b≤2，则满足条件的一个实数a的值为__________． 解析：因为x＋2y＝a≥2，所以xy≤，所以1≤b＝≤2，所以8≤a2≤16.又易知a>0，所以2≤a≤4. 答案：4(答案不唯一) 11．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值． 解：(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0，解得－5≤t≤3，又t>0，所以0<t≤3，即0<≤3，所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0,0<x<30,2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11，当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号，所以2x＋y≥11，所以2x＋y的最小值为11. 12．某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝8－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件．已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍. (1)计算k的值为多少，并将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)依题意，当m＝0时，x＝8－k＝4，得k＝4，则x＝8－>0，所以y＝×1.5x－(24＋18x)－m＝12＋9x－m＝12＋72－－m＝84－－m，其中m≥0，所以k＝4，y＝84－－m(m≥0)． (2)y＝85－≤85－2＝73，当且仅当m＝5时取等号，所以该厂家2024年的促销费用投入5万元时，厂家的利润最大，最大利润为73万元． 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　 ) A．4 B．5 C．6 D．8 解析：选C　由题得＋＝＋，设＝t(t>0)，则f(t)＝t＋＝t＋2＋－2≥2－2＝8－2＝6，当且仅当t＝2，即y＝2x时取等号．所以＋的最小值为6.故选C. 14．设0<m<，若＋≥k恒成立，则k的最大值为(　 ) A．16 B．2 C．8 D．1 解析：选C　∵0<m<，∴0<2m<1，∴2m＋(1－2m)＝1，则＋＝·[2m＋(1－2m)]＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即m＝时取得等号，由于＋≥k恒成立，故k≤8，即k的最大值为8，故选C. 15．已知正实数a，b满足a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为(　 ) A．2 B．2 C. D．2 解析：选B　∵a2＋2ab＋4b2＝6，∴(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2＝6＋2ab，且6－2ab＝a2＋4b2≥4ab，∴ab≤1，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时等号成立．∴(a＋2b)2＝6＋2ab≤6＋2＝8，∴0<a＋2b≤2，故a＋2b的最大值为2. 16．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：(1)整体观察；(2)整体设元；(3)整体代入；(4)整体求和等． 例如，ab＝1，求证：＋＝1. 证明：原式＝＋＝＋＝1. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据阅读材料解答下列问题． (1)已知ab＝1，求＋的值． (2)若abc＝1，解方程＋＋＝1. (3)若正数a，b满足ab＝1，求M＝＋的最小值． 解：(1)由题意得＋＝＋＝＋＝1. (2)∵abc＝1，∴原方程可化为＋＋＝1，即＋＋＝1，∴＝1，即5x＝1，解得x＝. (3)由题意得M＝＋＝＋＝＝1－＝1－， ∵2b＋≥2＝2，当且仅当2b＝，即b＝，a＝＝时，等号成立，∴2b＋有最小值2，此时有最大值3－2，从而1－有最小值2－2，即M＝＋有最小值2－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$