1.2 常用逻辑用语（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第二节　常用逻辑用语 课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. [系统主干知识] 1．充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) [细作教材小题] 1．(人教A版必修一P30·例4(1)改编)[多选]已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则(　 ) A．p是真命题 B．綈p：∀x∈R，x＋2>0 C．綈p是真命题 D．綈p：∃x∈R，x＋2>0 答案：CD 2．(人教A版必修一P22·T2(5)改编)设x＞0，y＞0，则“x2>y2”是“x>y”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 3．(苏教版必修一P47·T10)若命题“∀x∈R，x2＋1>m”是真命题，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案：B 4．(苏教版必修一P47·T3)命题“∃x∈R,2x2－x＋3＝0”的否定是______________． 答案：∀x∈R,2x2－x＋3≠0 5．(人教B版必修一P38·T5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________． 答案：(－∞，3) 逐点清(一)　充分、必要条件的判定 [例1]　“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　因为x2＋y2＝0⇔x＝y＝0，xy＝0⇔x＝0或y＝0，所以“x2＋y2＝0”⇒“xy＝0”，但“x2＋y2＝0”“xy＝0”，所以“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的充分不必要条件．故选A. [例2]　“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　直线l与平面α没有公共点，则直线l与平面α平行，反之也成立，故“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的充要条件． [例3]　已知命题p：m＝(a，a2)，n＝(1,2)，m与n共线，命题q：a＝2，则p是q的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　充分性：由m与n共线，得＝，解得a＝2或a＝0，p不是q的充分条件；必要性：当a＝2时，m＝(2,4)，由＝，则m与n共线，p是q的必要条件． 点拨·建模　充分、必要条件的3种判定方法 定义法 根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断 集合法 根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断 等价转化法 对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止 逐点清(二)　充分、必要条件的应用 [例4]　在①充分不必要，②必要不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数m存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．问题：已知集合A＝{x|1≤x≤5}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋2m}．是否存在实数m，使得x∈A是x∈B的________条件？ 解：因为集合B＝{x|1－m≤x≤1＋2m}非空，所以1－m≤1＋2m，解得m≥0. 若选条件①：因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以(两个等号不同时取到)，解得m≥2，故实数m的取值范围是[2，＋∞)． 若选条件②：因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以有m≥0且(两个等号不同时取到)，解得m＝0.综上，实数m的取值范围是{0}． 若选条件③：因为x∈A是x∈B的充要条件，所以有m≥0且A＝B，即此方程组无解，则不存在实数m，使得x∈A是x∈B的充要条件． 点拨·建模　由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 逐点清(三)　全称量词与存在量词 题点1　含量词命题的否定 [例5]　[多选]已知命题p：∃x∈Q，∈Q，命题q：∀x∈Q，∈Q，则(　 ) A．p的否定是q 　　 B．p的否定是∀x∈Q，∉Q C．q的否定是p 　　 D．q的否定是∃x∈Q，∉Q 解析：选BD　p的否定是∀x∈Q，∉Q.q的否定是∃x∈Q，∉Q. 个性点拨　全称量词命题与存在量词命题的否定 改写量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写 否定结论 对原命题的结论进行否定 题点2　含量词命题真假的判断 [例6]　[多选]下列命题中，为真命题的是(　 ) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∃x∈R，x2＋1＜2x C．∀xy>0，x＋y≥2 D．∃x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y 解析：选AD　∀x∈R,2x－1>0，A正确；∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B错误；当x＜0，y＜0时，x＋y＜0＜2，C错误；取x＝y＝0，则sin(x＋y)＝sin 0＝0＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D正确． 个性点拨 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 题点3　由命题的真假求参数 [例7]　若命题“∃x∈R，使x2－x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为“∃x∈R，使x2－x－m＝0”是真命题，所以Δ＝1－4×(－m)≥0，解得m≥－.故选C. [例8]　已知命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立．①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意．②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立，则解得0＜a＜4.综上，实数a的取值范围是[0,4)． 答案：[0,4) 个性点拨 根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围． 逐点验收(一)　充分、必要条件的判定及应用 1．“x为整数”是“2x＋1为整数”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由x为整数能推出2x＋1为整数，故“x为整数”是“2x＋1为整数”的充分条件，由x＝，得2x＋1为整数不能推出x为整数，故“x为整数”不是“2x＋1为整数”的必要条件．综上所述，“x为整数”是“2x＋1为整数”的充分不必要条件．故选A. 2．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选B　法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2,2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 3．已知条件p：－1≤x≤3，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　 ) A．{a|a>3} B．{a|a≥3} C．{a|a<－1} D．{a|a≤－1} 解析：选C　因为p是q的充分不必要条件，则{x|－1≤x≤3}{x|x>a}，于是a<－1，所以a的取值范围是{a|a<－1}．故选C. 4．已知集合A＝或x>2}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是______________． 解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，当B＝∅时满足题意，即2a>a＋3，所以a>3；当B≠∅时，或解得a<－4或1<a≤3.综上可得，实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(1，＋∞) 逐点验收(二)　全称量词与存在量词 5．命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是(　 ) A．∃x≤1，x2－x>0 B．∀x>1，x2－x≤0 C．∃x>1，x2－x≤0 D．∀x≤1，x2－x>0 解析：选C　因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是∃x>1，x2－x≤0.故选C. 6．[多选]下列四个命题，是真命题的为(　 ) A．有些不相似的三角形面积相等 B．∃x∈Q，x2＝2 C．∃x∈R，x2＋1＝0 D．有一个实数的倒数是它本身 解析：选AD　选项A，有些不相似的三角形面积相等，如：等底等高的直角三角形与正三角形不相似，面积相等，∴A为真命题；选项B，x2＝2⇔x＝±，命题“∃x∈Q，x＝±”是假命题，∴B为假命题；选项C，命题“∃x∈R，x2＋1＝0”，它的否定是“∀x∈R，x2＋1≠0”，是真命题，∴C为假命题；选项D，存在实数1，它的倒数是它本身，∴D为真命题．故选AD. 7．若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是______________． 解析：命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 细节、微点提醒 (1)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”等价于“若p，则q”为真命题． (2)p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件． (3)命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假． (4)充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的必要条件，则B⊆A； ③若p是q的充分不必要条件，则AB； ④若p是q的必要不充分条件，则AB； ⑤若p是q的充要条件，则A＝B. 口诀：小充分，大必要． [课时跟踪检测] 1．“一切分数都是有理数”的否定是(　 ) A．一切分数都不是有理数 B．一切分数不都是有理数 C．有些分数不是有理数 D．有些分数是有理数 解析：选C　“一切分数都是有理数”是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题．“一切分数都是有理数”的否定是“有些分数不是有理数”． 2．已知p：0<x<2, q：－1<x<3, 则p是q的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　因为{x|0<x<2}{x|－1<x<3}，所以p是q的充分不必要条件．故选A. 3．下列命题的否定是真命题的为(　 ) A．任意两个等边三角形都相似 B．∀x∈R，x＋|x|≥0 C．∃x∈R，x2－x＋1＝0 D．存在一个四边形，它的两条对角线相互垂直 解析：选C　对于A，任意两个等边三角形都相似，原命题为真命题，其否定为假命题；对于B，当x≥0时，x＋|x|＝2x≥0，当x<0时，x＋|x|＝0，所以∀x∈R，x＋|x|≥0，原命题为真命题，其否定为假命题；对于C，对于方程x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3<0，即方程x2－x＋1＝0无解，故原命题为假命题，其否定为真命题；对于D，存在一个四边形，它的两条对角线相互垂直，比如，菱形的对角线相互垂直，故原命题为真命题，其否定为假命题． 4．[多选]使≥1成立的一个充分不必要条件是(　 ) A．0<x<1 B．0<x<2 C．x<2 D．0<x≤2 解析：选AB　由≥1得≥0，解得0<x≤2，使≥1成立的一个充分不必要条件是0<x<1或者0<x<2.故选AB. 5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　 ) A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 解析：选B　因为命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题，所以∀x∈[1,2]，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 6．在△ABC中，“cos A>0”是“△ABC为锐角三角形”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　因为0<A<π，所以cos A>0⇔A为锐角，但“cos A>0”“△ABC为锐角三角形”，“△ABC为锐角三角形”⇒“cos A>0”，所以“cos A>0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件． 7．(2024·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足；当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足．故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件． 8．已知p：>2，q：m－x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　 ) A．(－∞，3) B．(3，＋∞) C．(－∞，5) D．(5，＋∞) 解析：选C　命题p：因为>2，所以x－1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5. 9．(2024·德州模拟)[多选]下列命题不正确的是(　 ) A．“x<1”是“>1”的必要不充分条件 B．命题“∀x≥1，x2≥1”的否定是“∃x<1，x2<1” C．x＋y＝0的充要条件是＝－1 D．若x＋y>2，则x，y至少有一个大于1 解析：选BC　由>1得到0<x<1，故“x<1”是“>1”的必要不充分条件，故A正确；命题“∀x≥1，x2≥1”的否定是“∃x≥1，x2<1”，故B错误；由＝－1得到x＋y＝0且y≠0，故x＋y＝0的充分不必要条件是＝－1，故C错误；假设x，y全都不大于1，即x≤1且y≤1，则x＋y≤2，与条件矛盾，假设不成立，故D正确．故选BC. 10．若“∃x∈，使得2x2－λx＋2<0成立”是真命题，则实数λ的取值范围为(　 ) A．[4,5] B．[5，＋∞) C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：选D　若“∃x∈，使得2x2－λx＋2＜0成立”是真命题，即“∃x∈，使得λ＞2x＋成立”是真命题，设f(x)＝2x＋，由x∈得，当x＝1时，函数f(x)取最小值4，故实数λ的取值范围为(4，＋∞)，故选D. 11．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A＝{x|0<Δx<2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件．则“Δ”中的数字可以是(　 ) A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 解析：选C　因为此数为小于5的正整数，故A＝{x|0<Δx<2}＝，因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子集，故>且≤5，解得Δ∈，故“Δ”中的数字可以是1或2. 12．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021<a2 024”是“a2 023<a2 025”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　设等比数列公比为q，若a2 021<a2 024，因为a2 024＝q3a2 021，所以a2 021<q3a2 021，a2 021(1－q3)<0.因为a1＝1>0，所以a2 021＝a1q2 020>0，所以q3>1，所以q>1.若a2 023<a2 025，则a2 023－a2 025<0，即a2 023(1－q2)<0.因为a1＝1>0，所以a2 023＝a1q2 022>0，所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.所以“a2 021<a2 024”是“a2 023<a2 025”的充分不必要条件．故选A. 13．命题“∀x∈，sin x<cos x”的否定是______________________． 解析：因为“sin x<cos x”的否定是“sin x≥cos x”，所以“∀x∈，sin x<cos x”的否定是“∃x∈，sin x≥cos x”． 答案：∃x∈，sin x≥cos x 14．已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b＝________；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________． 解析：因为A是B的充要条件，所以A，B的解集相同．由B＝{x|bx>1}，得B＝，因为A＝，所以＝2，解得b＝.因为A是B的充分不必要条件，即AB，又因为A＝，且B≠∅，所以B＝，需要解得b>，即b的取值范围为. 答案：　 15．已知命题“∃x∈[－1,2]，x2－3x＋a>0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得，“∀x∈[－1,2]，x2－3x＋a≤0”是真命题，则a≤－x2＋3x对∀x∈[－1,2]恒成立，在区间[－1,2]上，－x2＋3x的最小值为－(－1)2＋3×(－1)＝－4，所以a≤(－x2＋3x)min＝－4，即a的取值范围是(－∞，－4]． 答案：(－∞，－4] 16．已知命题：“∃x≥2，不等式x2－x－m≤0”是假命题． (1)求实数m的取值集合B； (2)设不等式(x－a)(x－a－1)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：(1)∵“∃x≥2，不等式x2－x－m≤0”是假命题，∴命题：“∀x≥2，不等式x2－x－m>0”是真命题．∴∀x≥2，不等式m<x2－x恒成立．易知当x≥2时，f(x)＝x2－x单调递增，即f(x)＝x2－x≥2，∴m<2，即实数m的取值集合B＝{m|m<2}． (2)∵不等式(x－a)(x－a－1)<0的解集为 {x|a<x<a＋1}， ∴A＝{x|a<x<a＋1}．∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，即A是B的真子集， ∴a＋1≤2，即a≤1， ∴实数a的取值范围为(－∞，1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$