2024年北师大版中考数学专项复习08 ：反比例函数讲义

专题08 反比例函数 考点解读 反比例函数的图象和性质是中考数学命题的重要内容，试题新颖，题型灵活多样，难易度属于难．如果在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响． 【考纲要求】 1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式． 2．能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况． 3．结合具体情境体会反比例函数的意义． 4．能用反比例函数解决简单实际问题． 考 向 目 录 考向01 反比例函数的图象 考向02 反比例函数的性质 考向03 反比例函数中比例系数k的几何意义 考向04 用待定系数法求反比例函数的解析式 考向05 反比例函数的实际应用 考向06 反比例函数与一次函数综合 考向07 反比例函数综合题 01 反比例函数的图象 揭秘 母题 【母题1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是 　　 A．B． C．D． 【母题2】一次函数与反比例函数，为常数且均不等于在同一坐标系内的图象可能是　　 A．B． C．D． 【母题3】已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A．B． C．D． 方法技巧 对于反比例函数，因为x≠0，y≠0，所以它的图象不经过原点．反比例函数的图象由两个分支组成，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限． 02 反比例函数的性质 揭秘 母题 【母题1】关于反比例函数，下列结论正确的是　　 A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象经过点，则 【母题2】已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 【母题3】下列函数中，函数值随的增大而减小的是　　 A． B． C． D． 方法技巧 （1）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈反比例函数的增减性时，必须强调在“每一个象限内”，不能笼统地说，“当k>0时，y随x的增大而减小”，这样就会出现与事实不符的矛盾． （2）反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数太的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号． 03 反比例函数中比例系数k的几何意义 揭秘 母题 【母题1】如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【母题2】如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为3，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【母题3】如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点．若，则的值是　　 A． B． C． D． 方法技巧 在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是． 04 用待定系数法求反比例函数的解析式 揭秘 母题 【母题1】反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 　　． 【母题2】如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　 　． 【母题3】如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到△． （1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式． 方法技巧 1．确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数中只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x，y值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式； ②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数； ④将求得的待定系数的值代回所设的解析式． 05 反比例函数的实际应用 揭秘 母题 【母题1】某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 　 　． 【母题2】笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：会随着电磁波的频率（单位：的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 10 15 50 波长 30 20 6 （1）求波长关于频率的函数解析式． （2）当时，求此电磁波的波长． 【母题3】在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而 　　（填“增大”或“减小” ，随的增大而 　　（填“增大”或“减小” ，的图象可以由的图象向 　　（填“上”或“下”或“左”或“右” 平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 方法技巧 1．用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系； （2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； （4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （5）解——用函数解析式去解决实际问题． 2．跨学科问题中常见的反比例关系： （1）压力一定时，压强与受力面积成反比例． （2）当功率一定时，力与速度成反比例． （3）当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例． （4）当电压一定时，电流强度与电阻成反比例． 06 反比例函数与一次函数综合 揭秘 母题 【母题1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 【母题2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．，，为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）为轴上一点，若的面积为3，求点的坐标． 【母题3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值和一次函数的表达式； （2）已知为反比例函数图象上的一点，，求点的坐标． 方法技巧 反比例函数很少单独考查，与一次函数综合考查的情况较多，常见的考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象和性质，两函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数表达式及函数值的大小比较等问题． （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 07 反比例函数综合题 揭秘 母题 【母题1】综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和 　　，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或　　，　　． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由； 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值； 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【母题2】如图，直线与双曲线相交于点，． （1）求双曲线及直线对应的函数表达式； （2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【母题3】如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点，，，过点作直线轴，交轴于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）若点是轴上一点（不与点重合），的平分线交直线于点，请直接写出点的坐标． 方法技巧 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 模拟 中考 一、选择题 1．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 2．在如图，中，，，的面积为6，与轴负半轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为　　 A． B． C． D． 3．导体中的电流（A）、导体的电阻与导体两端的电压之间满足关系式．当时，下列说法错误的是　　 A．是的反比例函数 B．与的函数图象是双曲线的一支 C．当越来越大时，也越来越大 D．当为时，为 4．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是　　 A． B． C． D． 5．如图，在中，，为边上的中点，连接．在平面直角坐标系中，矩形满足，，、分别是边、上的点，且，将沿着翻折，的对应边与轴交于点．已知反比例函数和分别经过点、点，若，则的值为　　 A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，反比例函数，的半径为2，则阴影部分的面积为 　 　． 7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，则点的横坐标为 　　． 8．如图，正方形的边长为5，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数 的图象过点，则的值为 　　． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和，与一次函数的图象交于点和，点的纵坐标是6，点的横坐标是3． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）填空： ①当时，的取值范围是 　或　； ②当时，的取值范围是 　　． 10．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点（点在第一象限）． （1）当点的横坐标为2时，求的值； （2）若，点为轴正半轴上一点，， ①求点的坐标及的面积； ②以、、、为顶点作平行四边形，请求出第四个顶点的坐标． 专题08 反比例函数 精选好题 一、选择题 1．若点，，在过点的反比例函数上，则　　 A． B． C． D． 2．如图，正比例函数和反比例函数的图象交于、两点，若，则的取值范围是　　 A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知反比例函数，下列结论不正确的是　　 A．图象必经过点 B．随的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若，则 4．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图），则下列说法错误的是　　 A．与之间满足的函数关系式为 B．点的坐标为 C．若面条的总长度为，则面条的横截面面积为 D．若面条的横截面面积不超过，则面条的总长度不超过 5．已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 6．如图，、两点分别在函数 和的图象上，线段轴，点在轴上，则的面积为　　 A．3 B．4 C．6 D．9 7．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点，在轴上，对角线的延长线交轴于点，连接，若的面积是6，则的值为　　 A． B． C． D． 8．驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．下列说法不正确的是　　 A．饮酒时间4小时以内，饮酒时间越长，血液中酒精浓度越大 B．当时，血液中酒精浓度的值为320 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．血液中酒精浓度不低于200微克毫升的持续时间7小时 9．如图，是的中线，，若点在反比例函数图象上，点在图象上，则的值是　　 A．1 B．3 C． D．2 10．如图，菱形的对角线，交于点，且过原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过，两点，则的值是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．如图，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，所在直线垂直轴于点，是轴上一点，连接，，若，则的值等于 　　 ． 12．如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则　 　． 13．在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 　　． 14．如图，的顶点在函数的图象上，，过边的三等分点、分别作轴的平行线交于点、．若四边形的面积为3，则的值为 　　． 15．已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为 　 　． 16．如图，点是反比例函数图象上的一点，经过点的直线与坐标轴分别交于点和点，过点作轴于点，，连接，若的面积为2，则的值为 　　 ． 17．如图，直线与反比例函数交于点，与轴交于点，点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，已知点为轴负半轴上的动点，连接，当点运动到，且时，点的坐标为 　 　． 18．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值为 　　． 19．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为 　　． 20．如图，等腰在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点在反比例函数的图象上，则的值为 　　． 三、解答题 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点． （1）求、的值； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式； （2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围． 23．当时，函数值；当时，函数值，若为正整数），则称为该函数的度区间．如是函数的3度区间． （1）若是函数的4度区间，则　　； （2）已知是函数的2度区间，、是函数图象上的两点，求的面积； （3）在函数的3度区间内，该函数的最大值与最小值的差为3，求，的值． 24．据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）抗生素服用　　小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有　　微克； （2）根据图象求出药物浓度达到最高值之后，与之间的函数解析式及定义域； （3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量． 25．如图，将函数图象向上平移个单位后恰好与有唯一公共点，并交于点，交轴于点． （1）求的值； （2）若，求的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第三象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 27．如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：，．已知为定值电阻，当变时，路电流也会发生变化，且干路电流与之间满足如下关系：． （1）【问题理解】 定值电阻的阻值为 　　． （2）【数学活动】 根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质． ①列表：下表列出与的几组对应值，请写出的值：　　． 3 4 5 6 2 1.5 1.2 1 3 2.2 2 ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来． （3）【数学思考】 观察图象发现：函数的图象是由的图象向 　　平移 　　个单位而得到． （4）【数学应用】 若关于的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出的值． 28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，过作轴于点，已知，，． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）将线段沿直线向下平移得到线段，使得平移后的的中点恰好落在双曲线上，求线段平移的距离． 29．如图，直线与反比例函数在第一象限内交于、两点，轴上的点满足． （1）若点坐标为，求点的坐标； （2）若的面积为，求实数的值； （3）设点，的坐标分别为，，，，求的值． 30．小明对某市出租汽车的计费问题进行研究他搜集了一些资料部分信息如下： 收费标准 收费项目 3公里以内收费 10元 超过3公里基本单价 2.3元公里 备注： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候以及其他情况）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，不足500米按500米计算，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元． ③出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 如，行驶3.1公里费用：四舍五入实付车费11元；行驶3.6公里费用：四舍五入实付车费12元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为（单位：公里），相应的实付车费为（单位：元） （1）根据上面的信息，补全表格中实付车费的值 行驶里程数 实付车费 10 　　 12 　　 15 　　 （2）在平面直角坐标系中，补全当时随变化的函数图象： （3）一次运营行驶公里的平均单价记为（单位：元公里），其中． ①当，3.4和3.6时，平均单价依次为，，，求，，的大小关系（结果用“”或“”连接）． ②若一次运营行驶公里的平均单价不大于行驶任意公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围是　　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$