福建省福州市鼓山中学2023-2024学年高一下学期期末数学试卷

2023-2024学年福建省福州市鼓山中学高一（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数z满足方程，则z所对应的向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 2.在中，D为边BC的延长线上一点，且，记，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为(    ) A. 1 B. C. D. 4.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则是(    ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5.三个内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，且，，则的面积等于(    ) A. B. C. 2 D. 3 6.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为(    ) A. B. C. D. 7.下列说法正确的是(    ) A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 8.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，点D在AC上，，，则的面积的最大值为(    ) A. B. C. 4 D. 6 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知复数，，则(    ) A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. 复数的共轭复数为 D. 10.已知事件A，B满足，，则(    ) A. 事件A与B可能为对立事件 B. 若A与B相互独立，则 C. 若A与B互斥，则 D. 若A与B互斥，则 11.如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点.则下列结论正确的是(    ) A. 直线AM与BN是平行直线 B. 直线MN与AC所成的角为 C. 平面AMB与平面ABCD所成二面角的平面角为 D. 平面BMN截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，若，则______. 13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则__________. 14.甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响.则恰有一人面试合格的概率______；至少一人签约的概率______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：…，，并整理得到频率分布直方图如图所示. 从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； 估计测评成绩的分位数； 已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立？请证明你的结论. 16.本小题15分 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，路的宽度忽略不计，其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形.设， 当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积； 当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度. 17.本小题15分 如图①，在棱长为2的正方体木块中，E是的中点. 要经过点A将该木块锯开，使截面平行于平面，在该木块的表面应该怎样画线？请在图①中作图，写出画法，并证明. 求四棱锥的体积； 18.本小题17分 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：并整理得到如下频率分布直方图： 根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； 用分层随机抽样的方法从两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； 学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军.已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由. 19.本小题17分 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，，高，，将它沿对称轴折叠，使二面角为直二面角． 证明：； 求二面角的正弦值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：由已知，，解得， 则z所对应的向量的坐标为 故选： 化简复数z，进而可得z所对应的向量的坐标． 本题考查复数的运算，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：为边BC的延长线上一点，且，记，， 故选： 根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解． 本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：向量与的夹角为，且满足，， 则向量在上的投影为，向量在上的投影向量为 故选： 利用向量投影的公式求解． 本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：在中，若， 整理得：， 所以， 整理得：， 利用正弦定理：， 所以， 由于A、， 所以， ， 故 故为直角三角形． 故选： 直接利用三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，正弦定理的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 5.【答案】A  【解析】解：， 所以：， 所以：， 整理得：， 解得： 所以 则： 故选： 利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题． 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，属于中档题. 解题时要认真审题，记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，由此能求出所求概率． 【解答】 解：记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白， 则所求概率： 故选： 7.【答案】D  【解析】解：对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误； 对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误； 对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误； 对于D，如图，在长方体中， 当所在直线为a，所在直线为b时，a与b相交， 当所在直线为a，所在直线为b时，a与b异面， 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确． 故选： 对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面；对于B，这两直线异面或平行；对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线；对于D，以长方体为载体进行判断求解． 本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题． 8.【答案】A  【解析】解：在中，， 由正弦定理可得，可得， 即， 由于， 所以，由，可得， 设，则，， 在，，中分别利用余弦定理，可得，，， 由于，可得， 再根据，可得， 所以，根据基本不等式可得， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的面积 故选： 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求，结合范围，可得，设，则，，在，，中分别利用余弦定理，由，可得，再根据，可得，可得，根据基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了三角函数恒等变换以及基本不等式的应用，考查了化归和转化思想，考查了数学运算以及逻辑推理能力，属于中档题． 9.【答案】AC  【解析】解：对于A，是纯虚数，故A正确； 对于B，，对应的点的坐标为，位于第四象限，故B错误； 对于C，复数的共轭复数为，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选： 对于A，根据纯虚数的定义即可判断； 对于B，先计算，再根据复数的几何意义即可判断； 对于C，根据复数的共轭复数的定义即可判断； 对于D，根据乘法法则计算后即可判断． 本题主要考查复数的四则运算，纯虚数的定义，复数的几何意义，以及共轭分数复数的定义，属于基础题． 10.【答案】BC  【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，，，则事件A与B不可能为对立事件，A错误； 对于B，若A与B相互独立，则，B正确； 对于C，若A与B互斥，则，C正确； 对于D，若A与B互斥，则，D错误． 故选： 根据题意，由对立事件的定义分析A，由相互独立事件的性质分析B，由互斥事件的定义分析C和D，综合可得答案． 本题考查互斥事件、相互独立事件的性质，涉及概率的计算，属于基础题． 11.【答案】BC  【解析】解：对于A，由图可知直线AM，BN异面，故A错误； 对于B，连接，，则直线MN与AC所成角为或其补角， 为等边三角形，， 直线MN与AC所成角为，故B对； 对于C，分别取AB，CD的中点E，F，连接ME，MF，EF， 四边形ABCD为正方形，E，F分别为AB，CD的中点， ，且， ，四边形AEFD为矩形， ，且，同理可证，且， 平面ABCD，则平在ABCD， 平面ABCD，则， 平面AMB与平面ABCD所成二面角的平面角为， 平面ABCD，平面ABCD，， ，为等腰直角三角形，， 平面AMB与平面ABCD所成二面角的平面角为，故C正确； 对于D，由题意知，同理，， ，且，则四边形为等腰梯形， 分别过点M，N在平面内作，，垂足分别为P，Q， ，，， ，， ，，，则四边形MNQP为矩形， ，， ， 由A选项得平面BMN截正方体所得的截面为梯形， 故截面面积为，故D错误． 故选： 根据图形可直接判断A选项；利用异面直线所成角的定义可判断B选项；利用二面角的定义可判断C选项；计算出梯形的面积，可判断D选项． 本题考查空间中直线与直线的位置关系、异面直线所成角、二面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】2  【解析】解：已知向量，若， 则 故答案为： 根据向量的坐标运算与垂直关系的坐标表示求解即可． 本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题． 13.【答案】  【解析】【分析】 利用正弦定理，结合余弦定理，转化求解即可． 本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，是基础题． 【解答】 解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知， 可得，可得， 可得，因为B是三角形内角，所以 故答案为： 14.【答案】   【解析】解：由题意，恰有一个人面试合格的概率为： ， 甲签约，乙、丙没有签约的概率为， 甲未签约，乙、丙都签约的概率为， 甲乙丙三人都签约的概率为， 所以至少一人签约的概率为 故答案为：； 利用互斥事件的概率加法和相互独立事件的概率乘法公式，求得恰有一人面试合格的概率，在分别求得甲签约，乙、丙没有签约、甲未签约，乙、丙都签约和甲乙丙三人都签约的概率，即可求得至少一人签约的概率． 本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题． 15.【答案】解：由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为： ，则分数小于60的频率为， 所以从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率为； 由频率分布直方图可得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为， 则测试成绩的分位数落在区间上， 估计测评成绩的分位数为：； “抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件不独立． 证明：由已知可得分数小于30的学生有2人，其中1名男生，1名女生， 30分到40分的学生有3人，其中2名男生，1名女生， 设“抽到的学生分数小于30”为事件A，“抽到的学生是男生”为事件B， 则从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，“抽到的学生分数小于30”的概率为， 从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，“抽到的学生是男生”的概率为， 则从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，“抽到的学生分数小于30”且“抽到的学生是男生”的概率为， 则有， 则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件不独立．  【解析】本题考查概率、频数、众数、分位数、频率分布直方图，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题． 由对立事件结合频率分布直方图，即可求出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取1人，其分数小于60的概率估计值． 先得出从前到后的频率之和为是在哪个区间，再通过频率求出测评成绩的分位数． 验证独立性公式是否成立． 16.【答案】解：由，，故， 由余弦定理可得， 即，由正弦定理可得， 即， 则， 故有， 故， ； ， ， 故， 则， 其中，，则当， 即时，草坪ABCD的面积最大， 此时， 即此时小路BD的长度为  【解析】借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得； 借助表示出及后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得． 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题． 17.【答案】解：取棱的中点F，连接AF、CF、AC，则FC，FA，CA就是所求作的线． 证明如下：在正方体中， 是的中点，F为的中点，则，且， 于是得四边形是平行四边形，有，而平面，平面， 因此平面 连接EF，可得，且，得四边形ABEF为平行四边形，则， 又平面，平面，于是有平面， 而，CF，平面AFC，从而得平面平面 在正方体中，连接，交于O，可得平面， 是的中点，到平面的距离等于， 又四边形的面积， 四棱锥的体积  【解析】取棱的中点F，连接AF、CF、AC，则FC，FA，CA就是所求作的线，再由平面与平面平行的判定证明； 求出E到平面的距离及四边形的面积，再由棱锥体积公式求解． 本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题． 18.【答案】解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分． 解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为， 所以用分层随机抽样的方法从两个区间共抽取出4名学生， 可得从抽取1人，即为a，从中抽取3人，即为1，2，3， 从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有，，，，，，，，，，，，共有12个基本事件； 其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，，，共有3个， 所以概率为 解：甲最终获胜的可能性大． 理由如下：由题意，甲至少得分的概率是， 可得，其中，解得， 则甲的分或分的概率为：， 所以乙得分为分或分的概率为， 因为，所以甲最终获胜的可能性更大．  【解析】根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； 根据分层抽样的分法，得到从抽取1人，即为a，从中抽取3人，即为1，2，3，利用列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； 根据题意求得，分别求得甲乙得到分和分的概率，即可得到答案． 本题考查频率分布直方图、古典概率、列举法、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19.【答案】证明：由题知，， 所以是所折成的直二面角的平面角，即， 因为， 所以平面， 所以OC是AC在平面内的射影， 在四边形ABCD是等腰梯形中，，高，， 得，，， 在和中，，， 所以，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为， 所以平面AOC， 因为平面AOC， 所以； 解：由知，，所以平面AOC， 设，过点E作于点F，连接， 因为， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以是二面角的平面角， 由知得，，高，， 得，， 所以，，， 所以，， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以， 又， 所以， 所以二面角的正弦值为  【解析】由题意可知是所折成的直二面角的平面角，则平面，得OC是AC在平面内的射影，然后由已知的数据可求出，，所以得，从而可得结论； 设，过点E作于点F，连接，可得是二面角的平面角，然后结合已知数据在中求解即可． 本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$