精品解析：辽宁省七校协作体2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试卷

2023-2024学年度（下）七校协作体高一联考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出非让四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用正切函数单调性比较与的大小，再由切化弦得的大小. 【详解】，在单调递增， ，由知，即最大， 由，则，由得， 所以，故. 故选：C. 2. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边同时平方，将条件带入计算即可. 【详解】由已知， 所以， 得，又， 所以. 故选：C. 3. 下列是函数的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整体法求出函数的对称中心为，一一检验得到答案. 【详解】令，解得， 故函数的对称中心为， 故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， 经检验，C不满足要求. 故选：D 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式将变为正弦型函数，再根据三角函数平移规则判断即可. 【详解】因为， 所以将函数向左平移个单位长度得到： ，故A符合题意； 将函数向左平移个单位长度得到： ，故B不符合题意； 将函数向右平移个单位长度得到： ，故C不符合题意； 将函数向右平移个单位长度得到： ，故D不符合题意； 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合诱导公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】 . 故选：C. 6. 已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，继而求得，再利用题中条件可得，继而求得，即可求解. 【详解】因为对任意的，都有， 所以，故，则， 又在区间上单调，则， 所以，解得， 故当时，符合题意， 故选：D 7. 已知，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解. 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 8. 已知函数的最小正周期为π，则（ ） A. 在单调递增 B. 是的一个对称中心 C. 在的值域为 D. 是的一条对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的最小正周期为π，求出，再代入化简，画出的图象，再对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为函数的最小正周期为π，所以， 所以函数 即，作出函数图象， 如下图所示： 对于A，由图可知，在单调有增有减，故A错误； 对于B，由图象可知，无对称中心，故B错误； 对于C，由图象可知，为偶函数，当， ，所以， 所以，所以在的值域为，故C正确； 对于D，由图象可知，的对称轴为，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：由函数的最小正周期求出，再代入化简，画出的图象，再由三角函数的单调性，对称性，值域对选项一一判断即可得出答案. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分. 9. 计算下列各式的值，其结果为1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用辅助角公式、正弦两角和、差公式判断AB，利用同角三角函数关系、正弦、余弦的两角差公式判断C，利用正弦的二倍角公式和辅助角公式判断D. 【详解】，选项A正确； ，选项B错误； ， 分子分母同乘得，选项C错误； ，选项D正确； 故选：AD 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最小 B. 当最小时， C. 当时，与的夹角最小 D. 当与的夹角最小时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出的坐标，再由向量模的坐标表示得到，结合二次函数的性质求出，即可判断A、B，设向量与的夹角为，表示出，由，可得，求出的值，即可判断C、D. 【详解】由，，， 所以， 所以 当时，取得最小值，故A正确； 当最小时，，所以，所以，故B正确； 设向量与的夹角为，则， 要使向量与的夹角最小，则最大，由于， 所以的最大值为1，此时，则，解得， 此时，所以当时，与的夹角最小，此时，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当，时，的值域为 C. 当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为 D. 若在区间上有且仅有三个零点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】先化简得，然后利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】 ， 对于A：若相邻两条对称轴的距离为，则，得，错误； 对于B：当时，，因为，所以， 所以，所以的值域为，正确； 对于C：当时，，向右平移个单位长度得，错误； 对于D：，则， 因为在区间上有且仅有三个零点， 所以，所以，解得，正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的终边上有一点P的坐标是，，则______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义，求得，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由角的终边上有一点P的坐标是，可得， 则. 故答案为：. 13. 已知函数的图象的一个最高点是，最低点的纵坐标为2，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度可以得到的图象，则__________． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】利用的性质，结合题意可求得，再利用三角函数的平移伸缩变换得到，进而可求得. 【详解】根据题意，得， 又因为，所以， 将代入，得，可知， 故， 因此， 故. 故答案为：. 14. 在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，设，，则，根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为是的中点，点为上的一点，所以， 又，设，，则， 所以， 当时，此时， 当时，此时， 当时，与共线同向， 所以， 当且仅当时取等号， 综上可得的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知，，． （1）求； （2）求向量与的夹角． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合数量积运算律求，再结合关系求； （2）根据向量的夹角余弦公式求向量与的夹角余弦，再求其夹角. 【小问1详解】 因为，， 所以， 解得，． 所以， 所以． 【小问2详解】 ． 设向量与的夹角为，则 ． 因为，所以． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）若，求方程的解． 【答案】（1）； （2）； （3）或或. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简函数，再利用余弦函数周期公式求解即得. （2）由（1）中函数式，利用余弦函数的单调性列式求解. （3）由（1）中函数式求出方程的解. 【小问1详解】 依题意，函数， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，解得， 所以的单调递增区间是. 【小问3详解】 由（1）知，，由，得， 而，即，于是或或， 解得或或， 所以方程的解是或或. 17. 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值； （2）设，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算转化为两角差的三角函数即可求解； （2）通过向量平行，转化为求解角的大小即可. 【小问1详解】 因为，，，则， ， 由可得，即， 解得. 【小问2详解】 因为，所以，则， 由可得， 化简可得，即， 又，则，所以，即. 18. 的部分图像如图所示， （1）求函数的解析式. （2）若在区间上的值域为，求的取值范围. （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图象，直接求出，再由求得，再由求出即可求出函数解析式； （2）结合正弦函数的性质求得的取值范围即可. （3）由正弦函数的性质求出的值域，再分离参数得，求出的最大值即可得出答案. 【小问1详解】 由图可知， ，，，， ， ，即， 由图可知，即，可得， ，，. 【小问2详解】 ，， 值域为，，解得. 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，，则, 即，于是，则， 等价于， 由，得的最大值为， 故实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）求的对称中心； （2）设常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； （3）若函数在区间，上的最大值为2，求a的值． 【答案】（1）对称中心为；（2）；（3）或6． 【解析】 【分析】（1）化简函数即可得对称中心； （2）求出函数的增区间，根据是其子区间解不等式得解； （3）化简通过换元法转化为根据二次函数的最值求参数的取值. 【详解】（1） ． 对称中心为． （2），由， 解得， 的递增区间为， 在上是增函数， 当时，有， ，解得，的取值范围是． （3）， 令，则， ， ， ，，． ①当时，即时，． 令，解得（舍）． ②当时，即时， ，令，解得或（舍）． ③当时，即时，在处， 由，得．因此或6． 【点睛】此题考查三角函数的综合应用，涉及三角恒等变换，考查周期性和单调性，通过等价转化换元，根据二次函数的最值求参数的取值，综合性强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度（下）七校协作体高一联考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出非让四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列是函数的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为（ ） A. B. C. D. 7 已知，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为π，则（ ） A. 在单调递增 B. 是的一个对称中心 C. 在值域为 D. 是的一条对称轴 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分. 9. 计算下列各式的值，其结果为1的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最小 B. 当最小时， C. 当时，与的夹角最小 D. 当与的夹角最小时， 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当，时，的值域为 C. 当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为 D. 若在区间上有且仅有三个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的终边上有一点P的坐标是，，则______________________． 13. 已知函数的图象的一个最高点是，最低点的纵坐标为2，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度可以得到的图象，则__________． 14. 在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知，，． （1）求； （2）求向量与的夹角． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）若，求方程解． 17. 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值； （2）设，，且，求的值． 18. 的部分图像如图所示， （1）求函数的解析式. （2）若在区间上的值域为，求的取值范围. （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）求的对称中心； （2）设常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； （3）若函数在区间，上最大值为2，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$